Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc

---

---

Bài viết Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc.

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc

A. Phương pháp giải

Cho đường thẳng ∆ và điểm M(a; b). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với đường thẳng ∆ một góc α.

+ Cách 1:

    - Gọi n→(A; B) là VTPT của đường thẳng d.

    Tìm VTPT n'→( A’; B’) của đường thẳng ∆.

    - Do góc giữa đường thẳng d và ∆ bằng α nên:

    Cosα =

    Giải phương trình trên ta được A = k.B. Chọn A =.... ⇒ B..

⇒ VTPT của đường thẳng d

⇒ Phương trình đường thẳng d.

+ Cách 2:

    - Đường thẳng ∆ có hệ số góc k₁.

    - Giả sử đường thẳng d có hệ số góc k₂.

    - Do góc giữa hai đường thẳng d và ∆ là α nên :

    Tanα =

    Phương trình trên là phương trình ẩn k₂. Giải hệ phương trình ta được k₂

⇒ Phương trình đường thẳng d.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho đường thẳng d : 3x - 4y - 12 = 0. Phương trình các đường thẳng qua
M(2 ; -1) và tạo với d một góc là

A. 7x - y - 15 = 0 ; x + 7y + 5 = 0    B. 7x + y - 15 = 0 ; x - 7y + 5 = 0

C. 7x - y + 15 = 0 ; x + 7y - 5 = 0    D. 7x + y + 15 = 0 ; x - 7y - 5 = 0

Lời giải

Gọi n→( A , B) và A² + B² > 0 là véc tơ pháp tuyến của ∆

Đường thẳng d có VTPT n'→( 3 ; -4)

Ta có:

⇔ 7A² + 48AB - 7B² = 0 ⇔

+ Với B = 7A chọn A = 1 ; B = 7 ⇒ (d) : qua M(2 ; -1) và VTPT (1 ; 7)

⇒ Phương trình (d) : 1( x - 2) + 7( y + 1) = 0 hay x + 7y + 5 = 0

+ Với A = - 7B chọn A = 7 ; B = - 1 ⇒ (d) đi qua M( 2 ; -1) và VTPT ( 7 ; -1)

⇒ Phương trình (d) : 7( x - 2) – 1( y + 1) = 0 hay 7x - y - 15 = 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + 7y + 5 = 0 và 7x - y - 15 = 0.

Chọn A.

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M( -1; 2) và tạo với trục Ox một góc 60⁰.

A. √3x - y + √3 + 2 = 0    B. √3x - y - √3 + 2 = 0

C. √3x - y + 2 = 0    D. √3x + y - √3 + 2 = 0

Lời giải

Do (d) tạo với trục Ox một góc 60⁰ nên có hệ số góc k = tan 60⁰ = √3.

Phương trình d là: y = √3(x + 1) + 2 ⇔ √3x - y + √3 + 2 = 0 .

Chọn A.

Ví dụ 3. Biết rằng có đúng hai giá trị của tham số k để đường thẳng d: y = kx tạo với đường thẳng ∆: y = x một góc 60⁰. Tổng hai giá trị của k bằng:

A. - 8    B. - 4    C. - 1    D. 1

Lời giải

Ta có đường thẳng d : y = kx ⇔ kx - y = 0 nên d nhận VTPT n_d→( k; -1)

Đường thẳng ∆ : y = x hay x - y = 0 nên ∆ nhận VTPT n_∆→( 1; -1)

Để hai đường thẳng này tạo với nhau góc 60⁰ thì:

( n_d→; n_∆→) = 60⁰ ⇒ cos(n_d→; n_∆→)= cos 60⁰

= cos60⁰ = ⇔ k² + 1 = 2k² + 4k + 2 ⇔ k² + 4k + 1 = 0

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt theo hệ thức Vi- et ta có: k₁ + k₂ = - 4

Chọn B.

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1;1) và tạo một góc 45⁰ với đường thẳng d: x - y + 90 = 0

A. x - 1 = 0    B. y - 1 = 0    C. x + y - 2 = 0    D. Cả A và B đúng

Lời giải

+ Đường thẳng d có VTPT n→(1; -1) .

+ Gọi VTPT của ∆ là n'→(a; b) .

+ Do góc giữa hai đường thẳng d và ∆ là 45⁰ nên:

cos45⁰ =

⇔ = |a - b| ⇔ a² + b² = a² - 2ab + b²

⇔ - 2ab = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0

+ Nếu a = 0; chọn b = 1.

Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 0(x - 1) + 1( y - 1) = 0 hay y - 1 = 0

+ Nếu b = 0; chọn a = 1.

Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 1(x - 1) + 0( y - 1) = 0 hay x - 1 = 0

Chọn D.

Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(5; 1) và tạo thành một góc 45⁰ với đường thẳng d: y = -2x + 4

A. y = 3x - 10    B. y = 3x - 14    C. y = x +    D. Cả B và C đúng

Lời giải

Hệ số góc của đường thẳng d là k₁ = -2.

Gọi hệ số góc của đường thẳng ∆ là k₂.

Do góc giữa hai đường thẳng là 45⁰ nên :

Tan45⁰ = ⇔ 1 =

⇔

+ Với k₂ = ; đường thẳng ∆ qua M(5; 1) và hệ số góc k₂ nên có phương trình :

y= ( x - 5) + 1 hay y = x +

+ Với k₂ = 3 đường thẳng ∆ qua M(5; 1) và hệ số góc k₂ nên có phương trình :

y = 3( x - 5) + 1 hay y = 3x - 14

chọn D.

Ví dụ 6: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(2; 1) và tạo thành một góc 45⁰ với đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0

A. y = -5x - 10    B. y = -5x + 11    C. y = x +    D. Cả B và C đúng

Lời giải

Hệ số góc của đường thẳng d là k₁= -

Gọi hệ số góc của đường thẳng ∆ là k₂.

Do góc giữa hai đường thẳng là 45⁰ nên :

Tan45⁰ = ⇔ 1 =

⇔

+ Với k₂ = ; đường thẳng ∆ qua M(2; 1) và hệ số góc k₂ nên có phương trình :

y = ( x - 2) + 1 hay y = x +

+ Với k₂ = -5 đường thẳng ∆ qua M(2; 1) và hệ số góc k₂ nên có phương trình :

y = - 5( x - 2) + 1 hay y = -5x + 11

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đường thẳng d có phương trình: x - 2y + 5 = 0. Có mấy phương trình đường thẳng qua M(2; 1) và tạo với (d) một góc 45⁰.

A. 1    B. 2    C. 3    D. Không có.

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng d có VTPT n_d→( 1; -2)

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm; n→( A; B) là VTPT của ∆ (A² + B² ≠ 0)

Để ∆ lập với d một góc 45⁰ thì:

Cos45⁰ = ⇔ 2( A - 2B)² = 5( A² + B²)

⇔3A² + 8AB - 3B² = 0

Giả sử B ≠ 0 ⇒ 3. + 8. - 3 = 0 ⇔

+ Với A = -3B, chọn B = -1 thì A = 3 ta được phương trình ∆ qua M(2; 1) và VTPT
( 3; -1)

⇒ phương trình ∆: 3( x - 2) – 1(y - 1) = 0 hay 3x - y - 5 = 0.

+ Với B = 3A, chọn A = 1 thì B = 3 ta được phương trình ∆ qua M( 2; 1) và VTPT ( 1; 3)

⇒ Phương trình ∆: 1( x - 2) + 3( y - 1) = 0 hay x + 3y - 5 = 0

Câu 2: Cho đường thẳng (d) có phương trình: x + 3y - 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng qua A( -2; 0) và tạo với (d) một góc 45⁰.

A. 2x + y + 4 = 0 hoặc x + 2y + 2 = 0    B. 2x + y + 4 = 0 hoặc x + 2y + 2 = 0

C. 2x + y + 4 = 0 hoặc x - 2y + 2 = 0    D. 2x - y + 4 = 0 hoặc x - 2y + 2 = 0.

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng d có VTPT n_d→( 1; 3) .

Gọi là đường thẳng cần tìm; n→(A; B) là VTPT của ∆ (A² + B² ≠ 0)

Để ∆ lập với ( d) một góc 45⁰ thì:

cos45⁰ = ⇔ 2(A + 3B)² = 10(A² + B²) ⇔

+ Với A = 2B, chọn B = 1 thì A = 2 ta được phương trình ∆:

⇒(∆) : 2( x + 2) + 1( y - 0) = 0 hay 2x + y + 4 = 0.

+ Với B = -2A, chọn A = 1;B = - 2 ta được phương trình ∆:

⇒(∆): 1( x + 2) – 2( y - 0) = 0 hay x - 2y + 2 = 0 .

Câu 3: Cho hai đường thẳng d₁: 3x + 4y + 12 = 0 và d₂: . Tìm các giá trị của tham số a để d₁ và d₂ hợp với nhau một góc bằng 450.

A. a = hoặc a = -14    B. a = hoặc a = 3

C. a = 5 hoặc a = -14    D. a = hoặc a = 5

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có

Đường thẳng d₁ có VTPT n→( 3; 4) và đường thẳng d₂ có VTCP ( a; -2) nên có VTPT n'→( 2; a) .

Để góc giữa hai đường thẳng là 45⁰ thì:

|cos⁡( n→; n'→ ) | = cos45⁰ ⇔

⇔ ⇔ √2|6 + 4a| = 5.

⇔ 2( 36 + 48a + 16a²) = 25(4 + a²)

⇔ 72 + 96a + 32a² = 100 + 25a²

⇔ 7a² + 96a - 28 = 0 ⇔

Câu 4: Viết phương trình đường thẳng d qua N( 3; -2) và tạo với trục Ox một góc 45⁰.

A. x - y - 1 = 0    B. x + y - 1 = 0    C. x - y - 5 = 0    D. Tất cả sai

Lời giải:

Đáp án: C

Do (d) tạo với trục Ox một góc 45⁰ nên có hệ số góc của đường thẳng (d) là

k = tan 45⁰ = 1

Phương trình d là: y = 1( x - 3) – 2 hay x - y - 5 = 0

Câu 5: Đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của hai đường thẳng (a) : 2x + y - 3 = 0 và
(b): x - 2y + 1 = 0 đồng thời tạo với đường thẳng (c): y - 1 = 0 một góc 45⁰ có phương trình:

A. 2x + y = 0 hoặc x - y - 1 = 0 .    B. x + 2y = 0 hoặc x - 4y = 0.

C. x - y = 0 hoặc x + y - 2 = 0 .    D. 2x + 1 = 0 hoặc x - 3y = 0.

Lời giải:

Đáp án: C

+ Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng (a) và ( b) thì tọa độ điểm A là nghiệm hệ :

⇒ A( 1; 1)

+Ta có đường thẳng ( c) có VTPT n₁→( 0;1). Gọi VTPT của đường thẳng ∆ là n₂→( x; y)

Do góc giữa đường thẳng ∆ và đường thẳng (c) bằng 45⁰ nên :

|cos⁡( n₁→; n₂→ ) | = cos⁡45⁰

⇔ ⇔ x² + y² = 2y² ⇔ x² = y²

⇔

+ Nếu x = y thì chọn x = y = 1.

Đường thẳng ∆: nên phương trình ∆: 1( x - 1) + 1( y - 1) = 0

Hay x + y - 2 = 0.

+ Nếu x = -y. Chọn x = 1 thì y = -1

⇒ Đường thẳng ∆: nên phương trình ∆: 1( x - 1) - 1( y - 1) = 0

Hay x - y = 0.

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + y - 2 = 0 hoặc x - y = 0

Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm
A( 2; 0) và tạo với trục hoành một góc 45⁰.

A. Có duy nhất.    B. 2    C. Vô số.    D. Không tồn tại.

Lời giải:

Đáp án: B

Cho đường thẳng d và một điểm A. Khi đó.

(i) Có duy nhất một đường thẳng đi qua A song song hoặc trùng hoặc vuông góc với d.

(ii) Có đúng hai đường thẳng đi qua A và tạo với d một góc α mà 0⁰ < α < 90⁰.

⇒ Có hai đường thẳng qua điểm A( 2; 0) và tạo với trục hoành một góc 45⁰.

Câu 7: Đường thẳng ∆ tạo với đường thẳng d : x + 2y - 6 = 0 một góc 45⁰. Tìm hệ số góc k của đường thẳng ∆.

A. k = hoặc k = -3    B. k = hoặc k = 3

C. k = - hoặc k = -3    D. k = - hoặc k = 3

Lời giải:

Đáp án: A

+ Đường thẳng d: x + 2y - 6 = 0 có VTPT n_d→( 1; 2) .

+ Gọi đường thẳng ∆ có VTPT n_∆→( a; b) ( với a² + b² > 0)

⇒ Phương trình đường thẳng ∆: ax + by + c = 0

+Nếu a= 0 thì đường thẳng ∆: y + c’ = 0 nhưng khi đó góc giữa d và ∆ là:

cosφ = ⇒ φ ≠ 45⁰.

⇒ a = 0 không thỏa mãn

+ Với a ≠ 0 thì đường thẳng ∆: y = - x - nên hệ số góc k_∆ =

Để hai đường thẳng d và ∆ tạo với nhau góc 45⁰ thì :

= cos45⁰ = ⇔ 5(a² + b²) = 2a² + 8ab + 8b²

⇔ 3a² - 8ab - 3b² = 0 ⇔

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện
• Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
• Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía
• Cách xác định góc giữa hai đường thẳng
• Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---