Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc - Toán lớp 10



Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc

A. Phương pháp giải

Cho đường thẳng ∆ và điểm M(a; b). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với đường thẳng ∆ một góc α.

+ Cách 1:

    - Gọi n(A; B) là VTPT của đường thẳng d.

    Tìm VTPT n'( A’; B’) của đường thẳng ∆.

    - Do góc giữa đường thẳng d và ∆ bằng α nên:

    Cosα = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

    Giải phương trình trên ta được A = k.B. Chọn A =.... ⇒ B..

⇒ VTPT của đường thẳng d

⇒ Phương trình đường thẳng d.

+ Cách 2:

    - Đường thẳng ∆ có hệ số góc k1.

    - Giả sử đường thẳng d có hệ số góc k2.

    - Do góc giữa hai đường thẳng d và ∆ là α nên :

    Tanα = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

    Phương trình trên là phương trình ẩn k2. Giải hệ phương trình ta được k2

⇒ Phương trình đường thẳng d.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho đường thẳng d : 3x - 4y - 12 = 0. Phương trình các đường thẳng qua
M(2 ; -1) và tạo với d một góc Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

A. 7x - y - 15 = 0 ; x + 7y + 5 = 0    B. 7x + y - 15 = 0 ; x - 7y + 5 = 0

C. 7x - y + 15 = 0 ; x + 7y - 5 = 0    D. 7x + y + 15 = 0 ; x - 7y - 5 = 0

Lời giải

Gọi n( A , B) và A2 + B2 > 0 là véc tơ pháp tuyến của ∆

Đường thẳng d có VTPT n'( 3 ; -4)

Ta có: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇔ 7A2 + 48AB - 7B2 = 0 ⇔ Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Với B = 7A chọn A = 1 ; B = 7 ⇒ (d) : qua M(2 ; -1) và VTPT (1 ; 7)

⇒ Phương trình (d) : 1( x - 2) + 7( y + 1) = 0 hay x + 7y + 5 = 0

+ Với A = - 7B chọn A = 7 ; B = - 1 ⇒ (d) đi qua M( 2 ; -1) và VTPT ( 7 ; -1)

⇒ Phương trình (d) : 7( x - 2) – 1( y + 1) = 0 hay 7x - y - 15 = 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + 7y + 5 = 0 và 7x - y - 15 = 0.

Chọn A.

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M( -1; 2) và tạo với trục Ox một góc 600.

A. √3x - y + √3 + 2 = 0    B. √3x - y - √3 + 2 = 0

C. √3x - y + 2 = 0    D. √3x + y - √3 + 2 = 0

Lời giải

Do (d) tạo với trục Ox một góc 600 nên có hệ số góc k = tan 600 = √3.

Phương trình d là: y = √3(x + 1) + 2 ⇔ √3x - y + √3 + 2 = 0 .

Chọn A.

Ví dụ 3. Biết rằng có đúng hai giá trị của tham số k để đường thẳng d: y = kx tạo với đường thẳng ∆: y = x một góc 600. Tổng hai giá trị của k bằng:

A. - 8    B. - 4    C. - 1    D. 1

Lời giải

Ta có đường thẳng d : y = kx ⇔ kx - y = 0 nên d nhận VTPT nd( k; -1)

Đường thẳng ∆ : y = x hay x - y = 0 nên ∆ nhận VTPT n( 1; -1)

Để hai đường thẳng này tạo với nhau góc 600 thì:

( nd; n) = 600 ⇒ cos(nd; n)= cos 600

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = cos600 = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ k2 + 1 = 2k2 + 4k + 2 ⇔ k2 + 4k + 1 = 0

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt theo hệ thức Vi- et ta có: k1 + k2 = - 4

Chọn B.

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1;1) và tạo một góc 450 với đường thẳng d: x - y + 90 = 0

A. x - 1 = 0    B. y - 1 = 0    C. x + y - 2 = 0    D. Cả A và B đúng

Lời giải

+ Đường thẳng d có VTPT n(1; -1) .

+ Gọi VTPT của ∆ là n'(a; b) .

+ Do góc giữa hai đường thẳng d và ∆ là 450 nên:

cos450 = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = |a - b| ⇔ a2 + b2 = a2 - 2ab + b2

⇔ - 2ab = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0

+ Nếu a = 0; chọn b = 1.

Đường thẳng ∆: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình ∆: 0(x - 1) + 1( y - 1) = 0 hay y - 1 = 0

+ Nếu b = 0; chọn a = 1.

Đường thẳng ∆: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình ∆: 1(x - 1) + 0( y - 1) = 0 hay x - 1 = 0

Chọn D.

Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(5; 1) và tạo thành một góc 450 với đường thẳng d: y = -2x + 4

A. y = 3x - 10    B. y = 3x - 14    C. y = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án x + Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    D. Cả B và C đúng

Lời giải

Hệ số góc của đường thẳng d là k1 = -2.

Gọi hệ số góc của đường thẳng ∆ là k2.

Do góc giữa hai đường thẳng là 450 nên :

Tan450 = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ 1 = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Với k2 = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; đường thẳng ∆ qua M(5; 1) và hệ số góc k2 nên có phương trình :

y= Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ( x - 5) + 1 hay y = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án x + Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Với k2 = 3 đường thẳng ∆ qua M(5; 1) và hệ số góc k2 nên có phương trình :

y = 3( x - 5) + 1 hay y = 3x - 14

chọn D.

Ví dụ 6: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(2; 1) và tạo thành một góc 450 với đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0

A. y = -5x - 10    B. y = -5x + 11    C. y = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án x + Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    D. Cả B và C đúng

Lời giải

Hệ số góc của đường thẳng d là k1= - Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Gọi hệ số góc của đường thẳng ∆ là k2.

Do góc giữa hai đường thẳng là 450 nên :

Tan450 = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ 1 = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Với k2 = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; đường thẳng ∆ qua M(2; 1) và hệ số góc k2 nên có phương trình :

y = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ( x - 2) + 1 hay y = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án x + Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Với k2 = -5 đường thẳng ∆ qua M(2; 1) và hệ số góc k2 nên có phương trình :

y = - 5( x - 2) + 1 hay y = -5x + 11

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đường thẳng d có phương trình: x - 2y + 5 = 0. Có mấy phương trình đường thẳng qua M(2; 1) và tạo với (d) một góc 450.

A. 1    B. 2    C. 3    D. Không có.

Đáp án: B

Trả lời:

Đường thẳng d có VTPT nd( 1; -2)

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm; n( A; B) là VTPT của ∆ (A2 + B2 ≠ 0)

Để ∆ lập với d một góc 450 thì:

Cos450 = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ 2( A - 2B)2 = 5( A2 + B2)

⇔3A2 + 8AB - 3B2 = 0

Giả sử B ≠ 0 ⇒ 3.Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án + 8.Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án - 3 = 0 ⇔ Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Với A = -3B, chọn B = -1 thì A = 3 ta được phương trình ∆ qua M(2; 1) và VTPT
( 3; -1)

⇒ phương trình ∆: 3( x - 2) – 1(y - 1) = 0 hay 3x - y - 5 = 0.

+ Với B = 3A, chọn A = 1 thì B = 3 ta được phương trình ∆ qua M( 2; 1) và VTPT ( 1; 3)

⇒ Phương trình ∆: 1( x - 2) + 3( y - 1) = 0 hay x + 3y - 5 = 0

Câu 2: Cho đường thẳng (d) có phương trình: x + 3y - 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng qua A( -2; 0) và tạo với (d) một góc 450.

A. 2x + y + 4 = 0 hoặc x + 2y + 2 = 0    B. 2x + y + 4 = 0 hoặc x + 2y + 2 = 0

C. 2x + y + 4 = 0 hoặc x - 2y + 2 = 0    D. 2x - y + 4 = 0 hoặc x - 2y + 2 = 0.

Đáp án: C

Trả lời:

Đường thẳng d có VTPT nd( 1; 3) .

Gọi là đường thẳng cần tìm; n(A; B) là VTPT của ∆ (A2 + B2 ≠ 0)

Để ∆ lập với ( d) một góc 450 thì:

cos450 = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ 2(A + 3B)2 = 10(A2 + B2) ⇔ Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Với A = 2B, chọn B = 1 thì A = 2 ta được phương trình ∆:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒(∆) : 2( x + 2) + 1( y - 0) = 0 hay 2x + y + 4 = 0.

+ Với B = -2A, chọn A = 1;B = - 2 ta được phương trình ∆:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒(∆): 1( x + 2) – 2( y - 0) = 0 hay x - 2y + 2 = 0 .

Câu 3: Cho hai đường thẳng d1: 3x + 4y + 12 = 0 và d2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án . Tìm các giá trị của tham số a để d1 và d2 hợp với nhau một góc bằng 450.

A. a = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án hoặc a = -14    B. a = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án hoặc a = 3

C. a = 5 hoặc a = -14    D. a = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án hoặc a = 5

Đáp án: A

Trả lời:

Ta có

Đường thẳng d1 có VTPT n( 3; 4) và đường thẳng d2 có VTCP ( a; -2) nên có VTPT n'( 2; a) .

Để góc giữa hai đường thẳng là 450 thì:

|cos⁡( n; n' ) | = cos450Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ √2|6 + 4a| = 5.Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇔ 2( 36 + 48a + 16a2) = 25(4 + a2)

⇔ 72 + 96a + 32a2 = 100 + 25a2

⇔ 7a2 + 96a - 28 = 0 ⇔ Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Câu 4: Viết phương trình đường thẳng d qua N( 3; -2) và tạo với trục Ox một góc 450.

A. x - y - 1 = 0    B. x + y - 1 = 0    C. x - y - 5 = 0    D. Tất cả sai

Đáp án: C

Trả lời:

Do (d) tạo với trục Ox một góc 450 nên có hệ số góc của đường thẳng (d) là

k = tan 450 = 1

Phương trình d là: y = 1( x - 3) – 2 hay x - y - 5 = 0

Câu 5: Đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của hai đường thẳng (a) : 2x + y - 3 = 0 và
(b): x - 2y + 1 = 0 đồng thời tạo với đường thẳng (c): y - 1 = 0 một góc 450 có phương trình:

A. 2x + y = 0 hoặc x - y - 1 = 0 .    B. x + 2y = 0 hoặc x - 4y = 0.

C. x - y = 0 hoặc x + y - 2 = 0 .    D. 2x + 1 = 0 hoặc x - 3y = 0.

Đáp án: C

Trả lời:

+ Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng (a) và ( b) thì tọa độ điểm A là nghiệm hệ :

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ A( 1; 1)

+Ta có đường thẳng ( c) có VTPT n1( 0;1). Gọi VTPT của đường thẳng ∆ là n2( x; y)

Do góc giữa đường thẳng ∆ và đường thẳng (c) bằng 450 nên :

|cos⁡( n1; n2 ) | = cos⁡450

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ x2 + y2 = 2y2 ⇔ x2 = y2

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Nếu x = y thì chọn x = y = 1.

Đường thẳng ∆: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án nên phương trình ∆: 1( x - 1) + 1( y - 1) = 0

Hay x + y - 2 = 0.

+ Nếu x = -y. Chọn x = 1 thì y = -1

⇒ Đường thẳng ∆: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án nên phương trình ∆: 1( x - 1) - 1( y - 1) = 0

Hay x - y = 0.

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + y - 2 = 0 hoặc x - y = 0

Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm
A( 2; 0) và tạo với trục hoành một góc 450.

A. Có duy nhất.    B. 2    C. Vô số.    D. Không tồn tại.

Đáp án: B

Trả lời:

Cho đường thẳng d và một điểm A. Khi đó.

(i) Có duy nhất một đường thẳng đi qua A song song hoặc trùng hoặc vuông góc với d.

(ii) Có đúng hai đường thẳng đi qua A và tạo với d một góc α mà 00 < α < 900.

⇒ Có hai đường thẳng qua điểm A( 2; 0) và tạo với trục hoành một góc 450.

Câu 7: Đường thẳng ∆ tạo với đường thẳng d : x + 2y - 6 = 0 một góc 450. Tìm hệ số góc k của đường thẳng ∆.

A. k = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án hoặc k = -3    B. k = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án hoặc k = 3

C. k = - Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án hoặc k = -3    D. k = - Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án hoặc k = 3

Đáp án: A

Trả lời:

+ Đường thẳng d: x + 2y - 6 = 0 có VTPT nd( 1; 2) .

+ Gọi đường thẳng ∆ có VTPT n( a; b) ( với a2 + b2 > 0)

⇒ Phương trình đường thẳng ∆: ax + by + c = 0

+Nếu a= 0 thì đường thẳng ∆: y + c’ = 0 nhưng khi đó góc giữa d và ∆ là:

cosφ = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ φ ≠ 450.

⇒ a = 0 không thỏa mãn

+ Với a ≠ 0 thì đường thẳng ∆: y = - Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án x - Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án nên hệ số góc k = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Để hai đường thẳng d và ∆ tạo với nhau góc 450 thì :

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = cos450 = Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ 5(a2 + b2) = 2a2 + 8ab + 8b2

⇔ 3a2 - 8ab - 3b2 = 0 ⇔ Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp