Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

---

---

Bài viết Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

A. Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau. Khoảng cách hai đường thẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng này đến đường thẳng kia.

d( d; d’) = d( A; d’) trong đó A là một điểm thuộc đường thẳng d.

⇒ Để tính khoảng cách hai đường thẳng song song ta cần:

+ Đưa phương trình hai đường thẳng về dạng tổng quát.

+ Lấy một điểm A bất kì thuộc đường thẳng d.

+ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d’ .

+ Kết luận: d( d; d’) = d( A; d’) .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆: 6x - 8y - 101 = 0 và d: 3x - 4y = 0 là:

A. 10, 1    B. 1,01    C. 12    D. √101 .

Hướng dẫn giải

+ Ta có:

⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau: d // ∆.

+ Lấy điểm O( 0;0) thuộc đường thẳng d.

+ Do hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau nên

d(∆; d) = d ( O; ∆) = = 10,1

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d: 7x + y - 3 = 0 và ∆: .

A.    B. 15    C. 9    D.

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng ∆ về dạng tổng quát:

∆:

⇒ Phương trình ∆: 7( x + 2) + 1( y - 2) = 0 hay 7x + y + 12 = 0

Ta có: nên d // ∆

⇒ d(d;Δ) = d(A;d) =

Chọn A.

Ví dụ 3. Tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: 3x - 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. 3x - 4y + 8 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0.    B. 3x - 4y - 8 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0.

C. 3x - 4y - 8 = 0 hoặc 3x - 4y - 12 = 0.    D. 3x - 4y + 8 = 0 hoặc 3x - 4y - 12 = 0.

Lời giải

Gọi điểm M (x ; y) là điểm cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 2. Suy ra :

d(M(x; y); Δ) = 2 ⇔ = 2

|3x - 4y + 2| = 10 ⇒

Vậy tập hợp các điểm cách ∆ một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng :

3x - 4y + 12 = 0 và 3x - 4y - 8 = 0

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: 5x + 3y - 3 = 0 và d₂: 5x + 3y + 7 = 0 song song nhau. Đường thẳng d vừa song song và cách đều với d₁; d₂ là:

A. 5x + 3y - 2 = 0    B. 5x + 3y + 4 = 0    C. 5x + 3y + 2 = 0    D. 5x + 3y - 4 = 0

Lời giải

Lấy điểm M ( x; y) thuộc đường thẳng d. Suy ra:

d(M(x; y); d₁)=d(M(x; y); d₂) ⇔

⇔

Đường thẳng d: 5x + 3y + 2 song song với hai đường thẳng d₁ và d₂.

Vậy đường thẳng d thỏa mãn là: 5x + 3y + 2 = 0

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: và đường thẳng ∆: . Tính khoảng cách hai đường thẳng này.

A. 1    B. 0.    C. 2    D. 3

Lời giải

+ Đường thẳng d:

⇒ Phương trình d: 3(x - 2) – 2(y + 1) = 0 hay 3x - 2y - 8 = 0

+ Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 3(x - 0) – 2(y + 4) = 0 hay 3x - 2y - 8 = 0

⇒ hai đường thẳng này trùng nhau nên khoảng cách hai đường thẳng này là 0.

Chọn B.

Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng d: x + y - 2 = 0 và đường thẳng ∆: . Viết phương trình đường thẳng d’// d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √2.

A. x + y - 1 = 0    B. x + y + 1= 0    C. x + y - 3 = 0    D. Cả B và C đúng.

Lời giải

+ Do đường thẳng d’// d nên đường thẳng d có dạng (d’) : x + y + c = 0( c ≠ -2)

+ Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 1(x + 2) + 1(y - 3) = 0 hay x + y - 1 = 0.

+ Lấy điểm M ( 1; 0) thuộc ∆.

Để khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ bằng 2 khi và chỉ khi:

d( d’; ∆) = d( M; d’) = 2

⇔ = √2 ⇔ |1 + c| = 2

⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + y + 1 = 0 và x + y - 3 = 0

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có B( 1; -2) và C( 0; 1). Điểm A thuộc đường thẳng
d: 3x+ y= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1    B. 3    C. 0,5    D. 2

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ Phương trình BC: 3(x - 1) + 1(y + 2) = 0 hay 3x + y - 1 = 0 .

+ ta có; BC = = √10

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:

Ta có: ⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d( A; BC) = d( d; BC) . (1)

+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

Lấy điểm O(0; 0) thuộc d.

⇒ d(d; BC) = d(O;BC) = = ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra d( A; BC) = .

+ Diện tích tam giác ABC là S = d( A,BC).BC = . .√10 = 0, 5

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hai đường thẳng d: x + y - 4 = 0 và đường thẳng ∆: . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này?

A. 1    B. 2    C. √2    D. Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: C

+Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình đường thẳng ∆: 1( x - 1) + 1( y - 1) = 0 hay x + y - 2 = 0.

+ Ta có: nên hai đường thẳng d//∆.

+ Lấy điểm A( 1; 1) thuộc ∆. Do d // ∆ nên :

d(d; ∆) = d(A; d) = = √2

Câu 2: Cho đường thẳng d: x - 2y + 2 = 0 . Phương trình các đường thẳng song song với d và cách d một đoạn bằng √5 là

A. x - 2y - 3 = 0; x - 2y + 7 = 0    B. x - 2y + 3 = 0 và x - 2y + 7 = 0

C. x - 2y - 3 = 0; x - 2y - 7 = 0    D. x - 2y + 3 = 0; x - 2y - 7 = 0 .

Lời giải:

Đáp án: A

+ Gọi ∆ là đường thẳng song song với d: x - 2y + 2 = 0

⇒ Đường thẳng ∆ có dạng: x - 2y + c = 0 ( c ≠ 2 ) .

+ Lấy một điểm A( -2 ; 0) thuộc d.

⇒ d( d ; ∆) = d( A ; ∆) = √5

⇔ = √5 ⇔ |c - 2| = 5 nên

+ Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là x - 2y + 7 = 0 hoặc x - 2y - 3 = 0.

Câu 3: Cho đường thẳng d: 3x + 4y + 1 = 0. Có 2 đường thẳng d₁ và d₂ cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A. 3x + 4y - 7 = 0; 3x - 4y + 3 = 0.    B. 3x - 4y + 7 = 0; 3x - 4y - 3 = 0

C. 3x + 4y + 4 = 0; 3x + 4y + 3 = 0.    D. 3x + 4y - 4 = 0; 3x + 4y + 6 = 0 .

Lời giải:

Đáp án: D

+ Do đường thẳng song song với d nên ∆ có dạng là : ∆ : 3x + 4y + c = 0 ( c ≠ 1) .

Lấy điểm M(-3 ; 2) thuộc d

Do d(d ; ∆) = d( M ; ∆) =1 ⇔ = 1

⇔ |c - 1| = 5 ⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x + 4y + 6 = 0 hoặc 3x + 4y - 4 = 0

Câu 4: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng (a): 7x + y - 3 = 0 và (b): 7x + y + 12 = 0 là

A.    B. 9.    C.    D. 15.

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có : nên a // b

Lây điểm M (0 ; 3) thuộc( a) .

Do a // b nên d(M ; b) = d( a ; b) =

Câu 5: Cho đường thẳng d: 3x - 4y + 2 = 0. Có đường thẳng a và b cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A. 3x + 4y - 1 = 0 ; 3x + 4y + 5 = 0    B. 3x - 4y + 7 = 0 ; 3x - 4y - 3 = 0

C. 3x + 4y - 3 = 0 ; 3x + 4y + 7 = 0    D. 3x - 4y + 6 = 0; 3x - 4y - 4 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

Giả sử đường thẳng ∆ song song với d : 3x - 4y + 2 = 0

Khi đó ; ∆ có phương trình là ∆ : 3x - 4y + C = 0.

Lấy điểm M( -2 ; -1) thuộc d.

Do d(d; ∆) = 1 ⇔ = 1 ⇔ |C - 2| = 5 ⇔

Do đó hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x - 4y + 7 = 0 và 3x - 4y - 3 = 0.

Câu 6: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 6 = 0 và đường thẳng ∆: 4x - 6y + 20 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ // d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √13

A. 2x - 3y + 23 = 0    B. 2x - 3y - 3 = 0.

C. 2x - 3y – 8 = 0 và 2x - 3y = 0    D. Cả A và B đúng

Lời giải:

Đáp án: D

+ Ta có đường thẳng d’// d nên đường thẳng d’ có dạng : 2x - 3y + c = 0 ( c ≠ 6)

+ Xét vị trí của hai đường thẳng d và ∆:

⇒ Hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau .

Mà d // d’ nên d’ // ∆.

+ Lấy điểm A( -5; 0) thuộc ∆.

+ Do d’ // ∆ nên d( d’; ∆) = d( A; d’) = √13

⇔ = √13 ⇔

⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là 2x - 3y + 23 = 0 và 2x - 3y - 3 = 0.

Câu 7: Cho tam giác ABC có B( - 2; 1) và C( 2; 0). Điểm A thuộc đường thẳng
d: x+ 4y- 10= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1    B. 3    C. 0,5    D. 2

Lời giải:

Đáp án: A

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ Phương trình BC: 1( x + 2) + 4( y - 1) = 0 hay x + 4y - 2 = 0 .

+ ta có; BC = = √17

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:

Ta có: ⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d( A; BC) = d( d; BC) . (1)

+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

Lấy điểm H( 10; 0) thuộc d.

⇒ d(d; BC) = d(H;BC) = = ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra d( A; BC) =

+ Diện tích tam giác ABC là S = d( A,BC).BC = . .√17= 1

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆: 3x – 5y – 10 = 0 và d: 6x – 10y = 0.

Bài 2. Tìm đường thẳng song song và cách đường thẳng d: 2x + 3y – 6 = 0 một khoảng bẳng 3.

Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: 3x + 6y – 5 = 0 và d₂: 3x + 6y + 7 = 0 song song nhau. Tìm đường thẳng d vừa song song và cách đều với d₁; d₂.

Bài 4. Cho đường thẳng d: {x = 1 + 2t; y = 3 – 2t}. Tìm phương trình đường thẳng song song với d và cách d một khoảng bằng 5.

Bài 5. Cho đường thẳng d: 2x + 3y + 5 = 0. Có 2 đường thẳng d₁ và d₂ cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 3. Tìm phương trình hai đường thẳng đó.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện
• Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía
• Cách xác định góc giữa hai đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc
• Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---