Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song



Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Cho hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau. Khoảng cách hai đường thẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng này đến đường thẳng kia.

d( d; d’) = d( A; d’) trong đó A là một điểm thuộc đường thẳng d.

⇒ Để tính khoảng cách hai đường thẳng song song ta cần:

+ Đưa phương trình hai đường thẳng về dạng tổng quát.

+ Lấy một điểm A bất kì thuộc đường thẳng d.

+ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d’ .

+ Kết luận: d( d; d’) = d( A; d’) .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆: 6x - 8y - 101 = 0 và d: 3x - 4y = 0 là:

A. 10, 1    B. 1,01    C. 12    D. √101 .

Hướng dẫn giải

+ Ta có: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau: d // ∆.

+ Lấy điểm O( 0;0) thuộc đường thẳng d.

+ Do hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau nên

d(∆; d) = d ( O; ∆) = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 = 10,1

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d: 7x + y - 3 = 0 và ∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 .

A. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10    B. 15    C. 9    D. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng ∆ về dạng tổng quát:

∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

⇒ Phương trình ∆: 7( x + 2) + 1( y - 2) = 0 hay 7x + y + 12 = 0

Ta có: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 nên d // ∆

⇒ d(d;Δ) = d(A;d) = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

Chọn A.

Ví dụ 3. Tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: 3x - 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. 3x - 4y + 8 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0.    B. 3x - 4y - 8 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0.

C. 3x - 4y - 8 = 0 hoặc 3x - 4y - 12 = 0.    D. 3x - 4y + 8 = 0 hoặc 3x - 4y - 12 = 0.

Lời giải

Gọi điểm M (x ; y) là điểm cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 2. Suy ra :

d(M(x; y); Δ) = 2 ⇔ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 = 2

|3x - 4y + 2| = 10 ⇒ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

Vậy tập hợp các điểm cách ∆ một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng :

3x - 4y + 12 = 0 và 3x - 4y - 8 = 0

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 5x + 3y - 3 = 0 và d2: 5x + 3y + 7 = 0 song song nhau. Đường thẳng d vừa song song và cách đều với d1; d2 là:

A. 5x + 3y - 2 = 0    B. 5x + 3y + 4 = 0    C. 5x + 3y + 2 = 0    D. 5x + 3y - 4 = 0

Lời giải

Lấy điểm M ( x; y) thuộc đường thẳng d. Suy ra:

d(M(x; y); d1)=d(M(x; y); d2) ⇔ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

Đường thẳng d: 5x + 3y + 2 song song với hai đường thẳng d1 và d2.

Vậy đường thẳng d thỏa mãn là: 5x + 3y + 2 = 0

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 và đường thẳng ∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 . Tính khoảng cách hai đường thẳng này.

A. 1    B. 0.    C. 2    D. 3

Lời giải

+ Đường thẳng d: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

⇒ Phương trình d: 3(x - 2) – 2(y + 1) = 0 hay 3x - 2y - 8 = 0

+ Đường thẳng ∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

⇒ Phương trình ∆: 3(x - 0) – 2(y + 4) = 0 hay 3x - 2y - 8 = 0

⇒ hai đường thẳng này trùng nhau nên khoảng cách hai đường thẳng này là 0.

Chọn B.

Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng d: x + y - 2 = 0 và đường thẳng ∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 . Viết phương trình đường thẳng d’// d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √2.

A. x + y - 1 = 0    B. x + y + 1= 0    C. x + y - 3 = 0    D. Cả B và C đúng.

Lời giải

+ Do đường thẳng d’// d nên đường thẳng d có dạng (d’) : x + y + c = 0( c ≠ -2)

+ Đường thẳng ∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

⇒ Phương trình ∆: 1(x + 2) + 1(y - 3) = 0 hay x + y - 1 = 0.

+ Lấy điểm M ( 1; 0) thuộc ∆.

Để khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ bằng 2 khi và chỉ khi:

d( d’; ∆) = d( M; d’) = 2

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 = √2 ⇔ |1 + c| = 2

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + y + 1 = 0 và x + y - 3 = 0

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có B( 1; -2) và C( 0; 1). Điểm A thuộc đường thẳng
d: 3x+ y= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1    B. 3    C. 0,5    D. 2

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

⇒ Phương trình BC: 3(x - 1) + 1(y + 2) = 0 hay 3x + y - 1 = 0 .

+ ta có; BC = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 = √10

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:

Ta có: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 ⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d( A; BC) = d( d; BC) . (1)

+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

Lấy điểm O(0; 0) thuộc d.

⇒ d(d; BC) = d(O;BC) = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra d( A; BC) = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 .

+ Diện tích tam giác ABC là S = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 d( A,BC).BC = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 .Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 .√10 = 0, 5

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hai đường thẳng d: x + y - 4 = 0 và đường thẳng ∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này?

A. 1    B. 2    C. √2    D. Đáp án khác

Đáp án: C

Trả lời:

+Đường thẳng ∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

⇒ Phương trình đường thẳng ∆: 1( x - 1) + 1( y - 1) = 0 hay x + y - 2 = 0.

+ Ta có: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 nên hai đường thẳng d//∆.

+ Lấy điểm A( 1; 1) thuộc ∆. Do d // ∆ nên :

d(d; ∆) = d(A; d) = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 = √2

Câu 2: Cho đường thẳng d: x - 2y + 2 = 0 . Phương trình các đường thẳng song song với d và cách d một đoạn bằng √5 là

A. x - 2y - 3 = 0; x - 2y + 7 = 0    B. x - 2y + 3 = 0 và x - 2y + 7 = 0

C. x - 2y - 3 = 0; x - 2y - 7 = 0    D. x - 2y + 3 = 0; x - 2y - 7 = 0 .

Đáp án: A

Trả lời:

+ Gọi ∆ là đường thẳng song song với d: x - 2y + 2 = 0

⇒ Đường thẳng ∆ có dạng: x - 2y + c = 0 ( c ≠ 2 ) .

+ Lấy một điểm A( -2 ; 0) thuộc d.

⇒ d( d ; ∆) = d( A ; ∆) = √5

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 = √5 ⇔ |c - 2| = 5 nên Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

+ Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là x - 2y + 7 = 0 hoặc x - 2y - 3 = 0.

Câu 3: Cho đường thẳng d: 3x + 4y + 1 = 0. Có 2 đường thẳng d1 và d2 cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A. 3x + 4y - 7 = 0; 3x - 4y + 3 = 0.    B. 3x - 4y + 7 = 0; 3x - 4y - 3 = 0

C. 3x + 4y + 4 = 0; 3x + 4y + 3 = 0.    D. 3x + 4y - 4 = 0; 3x + 4y + 6 = 0 .

Đáp án: D

Trả lời:

+ Do đường thẳng song song với d nên ∆ có dạng là : ∆ : 3x + 4y + c = 0 ( c ≠ 1) .

Lấy điểm M(-3 ; 2) thuộc d

Do d(d ; ∆) = d( M ; ∆) =1 ⇔ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 = 1

⇔ |c - 1| = 5 ⇔ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x + 4y + 6 = 0 hoặc 3x + 4y - 4 = 0

Câu 4: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng (a): 7x + y - 3 = 0 và (b): 7x + y + 12 = 0 là

A. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10    B. 9.    C. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10    D. 15.

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có : Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 nên a // b

Lây điểm M (0 ; 3) thuộc( a) .

Do a // b nên d(M ; b) = d( a ; b) = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

Câu 5: Cho đường thẳng d: 3x - 4y + 2 = 0. Có đường thẳng a và b cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A. 3x + 4y - 1 = 0 ; 3x + 4y + 5 = 0    B. 3x - 4y + 7 = 0 ; 3x - 4y - 3 = 0

C. 3x + 4y - 3 = 0 ; 3x + 4y + 7 = 0    D. 3x - 4y + 6 = 0; 3x - 4y - 4 = 0

Đáp án: B

Trả lời:

Giả sử đường thẳng ∆ song song với d : 3x - 4y + 2 = 0

Khi đó ; ∆ có phương trình là ∆ : 3x - 4y + C = 0.

Lấy điểm M( -2 ; -1) thuộc d.

Do d(d; ∆) = 1 ⇔ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 = 1 ⇔ |C - 2| = 5 ⇔ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

Do đó hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x - 4y + 7 = 0 và 3x - 4y - 3 = 0.

Câu 6: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 6 = 0 và đường thẳng ∆: 4x - 6y + 20 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ // d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √13

A. 2x - 3y + 23 = 0    B. 2x - 3y - 3 = 0.

C. 2x - 3y – 8 = 0 và 2x - 3y = 0    D. Cả A và B đúng

Đáp án: D

Trả lời:

+ Ta có đường thẳng d’// d nên đường thẳng d’ có dạng : 2x - 3y + c = 0 ( c ≠ 6)

+ Xét vị trí của hai đường thẳng d và ∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

⇒ Hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau .

Mà d // d’ nên d’ // ∆.

+ Lấy điểm A( -5; 0) thuộc ∆.

+ Do d’ // ∆ nên d( d’; ∆) = d( A; d’) = √13

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 = √13 ⇔ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là 2x - 3y + 23 = 0 và 2x - 3y - 3 = 0.

Câu 7: Cho tam giác ABC có B( - 2; 1) và C( 2; 0). Điểm A thuộc đường thẳng
d: x+ 4y- 10= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1    B. 3    C. 0,5    D. 2

Đáp án: A

Trả lời:

+ Phương trình đường thẳng BC:

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

⇒ Phương trình BC: 1( x + 2) + 4( y - 1) = 0 hay x + 4y - 2 = 0 .

+ ta có; BC = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 = √17

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:

Ta có: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 ⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d( A; BC) = d( d; BC) . (1)

+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

Lấy điểm H( 10; 0) thuộc d.

⇒ d(d; BC) = d(H;BC) = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra d( A; BC) = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

+ Diện tích tam giác ABC là S = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 d( A,BC).BC = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 . Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10 .√17= 1

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 199K cho teen 2k5 tại khoahoc.vietjack.com

Toán lớp 10 - Thầy Phạm Như Toàn

4.5 (243)

799,000đs

399,000 VNĐ

Vật Lý 10 - Thầy Quách Duy Trường

4.5 (243)

799,000đ

399,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 10 - Thầy Quang Hưng

4.5 (243)

799,000đ

399,000 VNĐ

Hóa Học lớp 10 - Cô Nguyễn Thị Thu

4.5 (243)

799,000đs

399,000 VNĐ

Hóa học lớp 10 - cô Trần Thanh Thủy

4.5 (243)

799,000đ

399,000 VNĐ

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp


Nhóm hỏi bài 2k6