Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10



Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

A. Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau. Khoảng cách hai đường thẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng này đến đường thẳng kia.

d( d; d’) = d( A; d’) trong đó A là một điểm thuộc đường thẳng d.

⇒ Để tính khoảng cách hai đường thẳng song song ta cần:

+ Đưa phương trình hai đường thẳng về dạng tổng quát.

+ Lấy một điểm A bất kì thuộc đường thẳng d.

+ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d’ .

+ Kết luận: d( d; d’) = d( A; d’) .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆: 6x - 8y - 101 = 0 và d: 3x - 4y = 0 là:

A. 10, 1    B. 1,01    C. 12    D. √101 .

Hướng dẫn giải

+ Ta có: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau: d // ∆.

+ Lấy điểm O( 0;0) thuộc đường thẳng d.

+ Do hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau nên

d(∆; d) = d ( O; ∆) = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 10,1

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d: 7x + y - 3 = 0 và ∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án .

A. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    B. 15    C. 9    D. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng ∆ về dạng tổng quát:

∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình ∆: 7( x + 2) + 1( y - 2) = 0 hay 7x + y + 12 = 0

Ta có: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án nên d // ∆

⇒ d(d;Δ) = d(A;d) = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Chọn A.

Ví dụ 3. Tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: 3x - 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. 3x - 4y + 8 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0.    B. 3x - 4y - 8 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0.

C. 3x - 4y - 8 = 0 hoặc 3x - 4y - 12 = 0.    D. 3x - 4y + 8 = 0 hoặc 3x - 4y - 12 = 0.

Lời giải

Gọi điểm M (x ; y) là điểm cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 2. Suy ra :

d(M(x; y); Δ) = 2 ⇔ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 2

|3x - 4y + 2| = 10 ⇒ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy tập hợp các điểm cách ∆ một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng :

3x - 4y + 12 = 0 và 3x - 4y - 8 = 0

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 5x + 3y - 3 = 0 và d2: 5x + 3y + 7 = 0 song song nhau. Đường thẳng d vừa song song và cách đều với d1; d2 là:

A. 5x + 3y - 2 = 0    B. 5x + 3y + 4 = 0    C. 5x + 3y + 2 = 0    D. 5x + 3y - 4 = 0

Lời giải

Lấy điểm M ( x; y) thuộc đường thẳng d. Suy ra:

d(M(x; y); d1)=d(M(x; y); d2) ⇔ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Đường thẳng d: 5x + 3y + 2 song song với hai đường thẳng d1 và d2.

Vậy đường thẳng d thỏa mãn là: 5x + 3y + 2 = 0

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án và đường thẳng ∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án . Tính khoảng cách hai đường thẳng này.

A. 1    B. 0.    C. 2    D. 3

Lời giải

+ Đường thẳng d: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình d: 3(x - 2) – 2(y + 1) = 0 hay 3x - 2y - 8 = 0

+ Đường thẳng ∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình ∆: 3(x - 0) – 2(y + 4) = 0 hay 3x - 2y - 8 = 0

⇒ hai đường thẳng này trùng nhau nên khoảng cách hai đường thẳng này là 0.

Chọn B.

Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng d: x + y - 2 = 0 và đường thẳng ∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án . Viết phương trình đường thẳng d’// d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √2.

A. x + y - 1 = 0    B. x + y + 1= 0    C. x + y - 3 = 0    D. Cả B và C đúng.

Lời giải

+ Do đường thẳng d’// d nên đường thẳng d có dạng (d’) : x + y + c = 0( c ≠ -2)

+ Đường thẳng ∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình ∆: 1(x + 2) + 1(y - 3) = 0 hay x + y - 1 = 0.

+ Lấy điểm M ( 1; 0) thuộc ∆.

Để khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ bằng 2 khi và chỉ khi:

d( d’; ∆) = d( M; d’) = 2

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = √2 ⇔ |1 + c| = 2

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + y + 1 = 0 và x + y - 3 = 0

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có B( 1; -2) và C( 0; 1). Điểm A thuộc đường thẳng
d: 3x+ y= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1    B. 3    C. 0,5    D. 2

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình BC: 3(x - 1) + 1(y + 2) = 0 hay 3x + y - 1 = 0 .

+ ta có; BC = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = √10

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:

Ta có: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d( A; BC) = d( d; BC) . (1)

+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

Lấy điểm O(0; 0) thuộc d.

⇒ d(d; BC) = d(O;BC) = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra d( A; BC) = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án .

+ Diện tích tam giác ABC là S = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án d( A,BC).BC = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án .Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án .√10 = 0, 5

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hai đường thẳng d: x + y - 4 = 0 và đường thẳng ∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này?

A. 1    B. 2    C. √2    D. Đáp án khác

Đáp án: C

Trả lời:

+Đường thẳng ∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình đường thẳng ∆: 1( x - 1) + 1( y - 1) = 0 hay x + y - 2 = 0.

+ Ta có: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án nên hai đường thẳng d//∆.

+ Lấy điểm A( 1; 1) thuộc ∆. Do d // ∆ nên :

d(d; ∆) = d(A; d) = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = √2

Câu 2: Cho đường thẳng d: x - 2y + 2 = 0 . Phương trình các đường thẳng song song với d và cách d một đoạn bằng √5 là

A. x - 2y - 3 = 0; x - 2y + 7 = 0    B. x - 2y + 3 = 0 và x - 2y + 7 = 0

C. x - 2y - 3 = 0; x - 2y - 7 = 0    D. x - 2y + 3 = 0; x - 2y - 7 = 0 .

Đáp án: A

Trả lời:

+ Gọi ∆ là đường thẳng song song với d: x - 2y + 2 = 0

⇒ Đường thẳng ∆ có dạng: x - 2y + c = 0 ( c ≠ 2 ) .

+ Lấy một điểm A( -2 ; 0) thuộc d.

⇒ d( d ; ∆) = d( A ; ∆) = √5

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = √5 ⇔ |c - 2| = 5 nên Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là x - 2y + 7 = 0 hoặc x - 2y - 3 = 0.

Câu 3: Cho đường thẳng d: 3x + 4y + 1 = 0. Có 2 đường thẳng d1 và d2 cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A. 3x + 4y - 7 = 0; 3x - 4y + 3 = 0.    B. 3x - 4y + 7 = 0; 3x - 4y - 3 = 0

C. 3x + 4y + 4 = 0; 3x + 4y + 3 = 0.    D. 3x + 4y - 4 = 0; 3x + 4y + 6 = 0 .

Đáp án: D

Trả lời:

+ Do đường thẳng song song với d nên ∆ có dạng là : ∆ : 3x + 4y + c = 0 ( c ≠ 1) .

Lấy điểm M(-3 ; 2) thuộc d

Do d(d ; ∆) = d( M ; ∆) =1 ⇔ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1

⇔ |c - 1| = 5 ⇔ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x + 4y + 6 = 0 hoặc 3x + 4y - 4 = 0

Câu 4: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng (a): 7x + y - 3 = 0 và (b): 7x + y + 12 = 0 là

A. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    B. 9.    C. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    D. 15.

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có : Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án nên a // b

Lây điểm M (0 ; 3) thuộc( a) .

Do a // b nên d(M ; b) = d( a ; b) = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Câu 5: Cho đường thẳng d: 3x - 4y + 2 = 0. Có đường thẳng a và b cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A. 3x + 4y - 1 = 0 ; 3x + 4y + 5 = 0    B. 3x - 4y + 7 = 0 ; 3x - 4y - 3 = 0

C. 3x + 4y - 3 = 0 ; 3x + 4y + 7 = 0    D. 3x - 4y + 6 = 0; 3x - 4y - 4 = 0

Đáp án: B

Trả lời:

Giả sử đường thẳng ∆ song song với d : 3x - 4y + 2 = 0

Khi đó ; ∆ có phương trình là ∆ : 3x - 4y + C = 0.

Lấy điểm M( -2 ; -1) thuộc d.

Do d(d; ∆) = 1 ⇔ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1 ⇔ |C - 2| = 5 ⇔ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Do đó hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x - 4y + 7 = 0 và 3x - 4y - 3 = 0.

Câu 6: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 6 = 0 và đường thẳng ∆: 4x - 6y + 20 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ // d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √13

A. 2x - 3y + 23 = 0    B. 2x - 3y - 3 = 0.

C. 2x - 3y – 8 = 0 và 2x - 3y = 0    D. Cả A và B đúng

Đáp án: D

Trả lời:

+ Ta có đường thẳng d’// d nên đường thẳng d’ có dạng : 2x - 3y + c = 0 ( c ≠ 6)

+ Xét vị trí của hai đường thẳng d và ∆: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau .

Mà d // d’ nên d’ // ∆.

+ Lấy điểm A( -5; 0) thuộc ∆.

+ Do d’ // ∆ nên d( d’; ∆) = d( A; d’) = √13

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = √13 ⇔ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là 2x - 3y + 23 = 0 và 2x - 3y - 3 = 0.

Câu 7: Cho tam giác ABC có B( - 2; 1) và C( 2; 0). Điểm A thuộc đường thẳng
d: x+ 4y- 10= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1    B. 3    C. 0,5    D. 2

Đáp án: A

Trả lời:

+ Phương trình đường thẳng BC:

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình BC: 1( x + 2) + 4( y - 1) = 0 hay x + 4y - 2 = 0 .

+ ta có; BC = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = √17

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:

Ta có: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d( A; BC) = d( d; BC) . (1)

+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

Lấy điểm H( 10; 0) thuộc d.

⇒ d(d; BC) = d(H;BC) = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra d( A; BC) = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Diện tích tam giác ABC là S = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án d( A,BC).BC = Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án . Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án .√17= 1

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp