Cách xác định góc giữa hai đường thẳng - Toán lớp 10



Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

A. Phương pháp giải

Để xác định góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có hai cách sau:

+ Cách 1: Gọi n(x; y) và n'( x'; y') lần lượt là VTPT của hai đường thẳng d và d’. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Ta có:

Cosα = |cos⁡( n; n' ) | = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Cách 2: Gọi k1 và k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Ta có:

tgα = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng (a): 3x + y - 2 = 0 và (b): 2x - y + 39 = 0.

A. 300    B. 600    C. 900    D. 450

Hướng dẫn giải

Đường thẳng: 3x + y - 2 = 0có VTPT n( 3; 1).

Đường thẳng: 2x - y + 39 = 0 có VTPT n( 2; -1)

cos(a; b) = |cos⁡( na; nb ) |
= Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ ( a; b) = 450

Chọn D.

Ví dụ 2: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng ∆1 : 10x + 5y - 1 = 0 và ∆2 : Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

A. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    B. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    C. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    D. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Hướng dẫn:

Vectơ pháp tuyến của ∆1; ∆2 lần lượt là n1 = (2; 1); n2 = (1; 1)

cos(∆1; ∆2) = |cos⁡( n1, n2 ) | = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Chọn B.

Ví dụ 3. Tính góc giữa hai đường thẳng: 3x + y - 8 = 0 và 4x – 2y + 10 = 0 .

A. 300    B. 600    C. 900    D. 450

Lời giải

Đường thẳng: 3x + y – 8 = 0 có VTPT n1(3; 1)

Đường thẳng: 4x - 2y + 10= 0 có VTPT n2(4; -2)

cos(d1, d2) = |cos⁡( n1, n2 ) | = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ (d1, d2) = 450

Chọn D.

Ví dụ 4: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: x + 3y - 9 = 0 và d2: Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

A. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    B. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    C. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    D. tất cả sai

Lời giải

Vectơ pháp tuyến của d1; d2 lần lượt là n1( 1; 3); n2(1; -1).

Cos( d1; d2) = |cos⁡( n1, n2 ) | = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Chọn C.

Ví dụ 5 : Tính góc giữa hai đường thẳng: (a): Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1 và (b): Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

A. 00    B. 450    C. 600    D. 900

Hướng dẫn giải

Đường thẳng (a) ⇔ 4x + 2y - 8 = 0 có VTPT n( 4; 2)

Đường thẳng (b) có VTCP u( 2; -4) nên VTPT n'( 4; 2)

⇒ cos(a; b) = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1

⇒ Góc giữa hai đường thẳng đã cho là 00.

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho đường thẳng (a): x + y - 10 = 0 và đường thẳng (b): 2x + my + 99 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450.

A. m = -1    B. m = 0    C. m = 1    D. m = 2

Lời giải

Đường thẳng (a) có VTPT n( 1; 1)

Đường thẳng (b) có VTPT n'( 2 ;m)

Để góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 450 thì

Cos450 = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇔ |2 + m| = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇔ 4 + 4m + m2 = 4 + m2

⇔ 4m = 0 ⇔ m = 0

Chọn B

Ví dụ 7: Cho đường thẳng (a): y = 2x + 3 và (b): y = -x + 6. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b)?

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải

Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).

Đường thẳng (a) có hệ số góc k1 = 2 và đường thẳng (b) có hệ số góc k2 = -1.

⇒ Tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Tgα = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 3

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng (d1): y = - 3x + 8 và (d2) : x + y - 10 = 0. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2?

A. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    B. 1    C. 3    D. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Lời giải

Đường thẳng (d1) có hệ số góc k1 = - 3.

Đường thẳng (d2) ⇔ y = -x + 10 có hệ số góc k2 = -1.

⇒ tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

tgα = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Chọn A.

Ví dụ 9: Cho đường thẳng (a): Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án và đường thẳng ( b): x + my - 4 = 0. Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 600.

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải

+ Đường thẳng (a) có VTCP u( m, 1) nên có VTPT n( 1; -m) .

+ Đường thẳng (b) có VTPT n'( 1; m).

+ Để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 600 thì:

Cos600 = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇔ 1 + m2 = 2.|1 - m2| (*)

+ Nếu -1 < m < 1 thì 1 - m2 > 0. Từ (*) suy ra: 1 + m2 = 2 (1 - m2)

⇔ 1+ m2 = 2- 2m2 ⇔ 3m2 = 1

⇔ m2 = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ m= ± Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ( thỏa mãn điều kiện) .

+ Nếu m ≥ 1 hoặc m ≤ -1 thì 1- m2 ≤ 0. Từ (*) suy ra:

1 + m2 = 2( m2 - 1) ⇔ 1 + m2 = 2m2 - 2

⇔ m2 = 3 ⇔ m = ±√3.

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: x + 2y - 7 = 0 và d2: 2x - 4y + 9 = 0.

A. - Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    B. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    C. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    D. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Đáp án: A

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1n1 = (1; 2)

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d2n2 = (2; -4)

Gọi φ là góc giữa 2 đường thẳng ta có:

cosφ = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = - Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Câu 2: Tìm góc giữa đường thẳng d: 6x - 5y + 15 = 0 và ∆2: Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

A. 900    B. 300    C. 450    D. 600

Đáp án: A

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n1 = (6; -5)

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆2n2 = (5; 6)

Ta có n1 . n2 ⇒ d ⊥ ∆2.

Câu 3: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án và d2: Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

A. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    B. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    C. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    D. tất cả sai

Đáp án: D

Trả lời:

Vectơ chỉ phương của d1; d2 lần lượt là u1(3; 4); u2(1; 1).

Cos( d1; d2) = |cos⁡(u1; u2) | = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Câu 4: Góc giữa hai đường thẳng: (a): Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1 và (b): Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án gần với số đo nào nhất?

A. 630    B. 250    C. 600    D. 900

Đáp án: A

Trả lời:

Đường thẳng (a) ⇔ 4x - 3y + 12 = 0 có VTPT n( 4; -3).

Đường thẳng (b) có VTCP u( 6; -12) nên VTPT n'( 2; 1)

⇒ cos(a; b) = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Góc giữa hai đường thẳng đã cho xấp xỉ 630.

Câu 5: Cho đường thẳng (a): x - y - 210 = 0 và đường thẳng (b): x + my + 47 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450.

A. m = -1    B. m = 0    C. m = 1    D. m = 2

Đáp án: B

Trả lời:

Đường thẳng (a) có VTPT n( 1; -1)

Đường thẳng (b) có VTPT n'( 1; m)

Để góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 450 thì

Cos450 = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇔ |1 - m| = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇔ 1- 2m + m2 = 1 + m2

⇔ -2m = 0 ⇔ m = 0

Câu 6: Cho đường thẳng (a): y = -x + 30 và (b): y = 3x + 600. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b)?

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).

Đường thẳng (a) có hệ số góc k1 = -1 và đường thẳng (b) có hệ số góc k2 = 3.

⇒ Tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Tgα = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 2

Câu 7: Cho hai đường thẳng (d1): y = -2x + 80 và (d2) : x + y - 10 = 0. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2?

A. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    B. 1    C. 3    D. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Đáp án: D

Trả lời:

Đường thẳng (d1) có hệ số góc k1 = - 2.

Đường thẳng (d2) ⇔ y = -x + 10 có hệ số góc k2 = -1.

⇒ tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

tgα = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Câu 8: Cho đường thẳng (a): Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án và đường thẳng ( b): 2x + y - 40 = 0.Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450.

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Đáp án: B

Trả lời:

+ Đường thẳng (a) có VTCP u( m; 2) nên có VTPT n( 2; -m) .

+ Đường thẳng (b) có VTPT n'( 2;1).

+ Để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450 thì:

Cos450 = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án .√5 = √2|4 - m|

⇔ ( 4 + m2).5 = 2(16 - 8m + m2)

⇔ 20 + 5m2 = 32 - 16m + 2m2

⇔ 3m2 + 16m - 12 = 0 ⇔ m = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án hoặc m = - 6

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp