Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài viết Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.
Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
A. Phương pháp giải
Muốn tìm tọa độ điểm A thỏa mãn điều kiện T có 2 hướng:
Hướng 1: Tìm hai đường thẳng d và ∆ cùng đi qua điểm A. Khi đó; tọa độ A là nghiệm hệ phương trình :
Hướng 2: Nếu điểm A thuộc đường thẳng d: ax + by + c = 0 cho trước và cách điểm B một khoảng là h
⇒ 
Giải hệ phương trình ta được tọa độ điểm A.
Chú ý: Tính chất các đường trung tuyến; đường cao.. của tam giác. Tính chất các đường chéo của hình bình hành; hình thoi...
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tam giác ABC có đỉnh A(-1; -3) . Phương trình đường cao BB’:
5x + 3y - 25 = 0; phương trình đường cao
CC’: 3x + 8y - 12 = 0. Toạ độ đỉnh B là
A. (5; 2) B. (2; 5) C. ( 2; -5) D. (-5; 2)
Lời giải
+ Đường thẳng AB vuông góc với CC’ nên nhận u→(3; 8) làm VTCP và n→(8; -3) làm VTPT.
+ Do đó d có phương trình: 8( x + 1) - 3( y + 3) = 0 hay 8x - 3y - 1 = 0
+ Hai đường thẳng BB’ và BC cắt nhau tại B nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
Chọn B.
Ví dụ 2. Cho A( -2; 5) và B(2 ; 3). Đường thẳng d: x - 4y + 4 = 0 cắt AB tại M. Toạ độ điểm M là:
A. (8; 3) B. (0; 1) C. (4; 2) D. (4; -2)
Lời giải:
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B: đi qua A( -2; 5), vectơ chỉ phương AB→ = (4; -2) nên vectơ pháp tuyến n→ = (2; 4)
⇒ Phương trình: AB. 2( x + 2) + 4( y - 5) = 0 hay 2x + 4y - 16 = 0
+ Gọi M là giao điểm của 2 đường thẳng AB và đường thẳng d. Tọa độ M thỏa mãn hệ
⇒ M(4; 2)
Chọn C.
Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có A(1; -2) , đường cao CH: x - y + 1 = 0, đường phân giác trong BN: 2x + y + 5 = 0. Tọa độ điểm B là
A. ( 4 ; 3) B. ( 4 ; -3) C. (-4 ; 3) D. ( -4 ; -3)
Lời giải
Ta cón đường thẳng AB : 
⇒ ( AB) : 1( x - 1) + 1(y + 2) = 0 hay x + y + 1 = 0
Mà AB và BN cắt nhau tại B nên toạ độ B là nghiệm hệ phương trình .
⇒ B( - 4; 3)
Chọn C.
Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A có A(-1 ; 4) ; B( 1 ; -4) và đường thẳng BC đi qua điểm
K( 
; 2) . Tìm tọa độ điểm C ?
A. ( 1 ; -2) B. ( -2 ; 3) C. ( 3 ; 5) D. ( -2 ; -1)
Lời giải
+ Phương trình ( BK) : 
⇒ Phương trình BK : 
+ Điểm C thuộc BK nên C( 1 + 2t ; - 4 + 9t) .
+ ta có : AB→( 2; -8); AC→( 2t + 2; 9t - 8)
Do tam giác ABC vuông tại A nên AB→. AC→ = 0
⇒ 2( 2t + 2) – 8( 9t - 8) = 0 ⇔ 4t + 4 - 72t + 64 = 0
⇔ t= 1 ⇒ C( 3 ; 5)
Chọn C.
Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: x - y + 2 = 0 và hai điểm A( 0; 4) ; B( 4; -8) . Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho C cách đều hai điểm A và B?
A. ( -7; -5) B. ( 1; -4) C. ( -2; -5) D. ( 4; 7)
Lời giải
+ Do điểm C cách đều hai điểm A và B nên C thuộc đường thẳng ∆: đường trung trực của AB.
+ Trung điểm của AB là I ( 2; - 2) .
Đường thẳng ∆: 
⇒ Phương trình ∆: 1( x - 2) – 3( y + 2) = 0 hay x - 3y - 8 = 0.
+ Hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại C nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ:
⇒ C( -7; -5)
Chọn A.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC biết AB: x + y - 1 = 0; AC: x - y + 3 = 0 và trọng tâm
G(1; 2). Tìm tọa độ điểm B?
A. ( -2; 1) B. ( 2 ; -1) C. ( 3; 2) D. ( 1; -3)
Lời giải
+ Hai đường thẳng AB và AC cắt nhau tại A nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ
⇒ A( -1; 2).
+ Điểm B( a; 1 - a) thuộc đường thẳng AB và điểm C( b; b + 3) thuộc đường thẳng AC.
+ Do G( 1; 2) là trọng tâm tam giác nên ta có:
⇔ a = b = 2
⇒ Điểm B( 2; - 1) và C( 2; 5)
Chọn B.
Ví dụ 7. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình của AB: 2x - y + 5 = 0, đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , và tâm hình chữ nhật là I( 4; 5 ). Tìm tọa độ điểm D.
A. D(22; 11)
B. D( 
; 
)
C. D( 3 ; - 5)
D. D( 4; 8)
Lời giải
+ Đường thẳng AD: 
⇒ Phương trình AD: 1( x - 0) + 2( y - 0) = 0 hay x + 2y = 0.
+ Hai đường thẳng AB và AD cắt nhau tại A nên tọa độ A là nghiệm hệ :
⇒ A ( -2; 1) .
+ Do I là tâm hình chữ nhật nên I là trung điểm AC.
⇒ Tọa độ C( 10; 9) .
+ Đường thẳng CD // AB nên có dạng ( CD) : 2x - y + c = 0 ( c ≠ 5) .
Mà C( 10; 9) thuộc CD nên 2.10 - 9 + c = 0 ⇒ c = - 11
Vậy phương trình CD: 2x - y - 11 = 0.
+ Hai đường thẳng AD và CD cắt nhau tại D nên tọa độ D là nghiệm hệ :
⇒ D(
;
)
Chọn B.
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có AB = 1; BC = 1√2 và góc B = 450.Gọi A’ là điểm đối xứng với A( 2; 0) qua BC; M( -1; 1) là trung điểm của BC. Tìm tọa độ điểm A’?
A. ( 1; 0) B. ( -4; 2) C. ( 1; 1) D. Không đủ dữ liệu
Lời giải
+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2.AC.BC.CosB
= 12 + (1√2)2 - 2.1.1√2.cos450 = 1
⇒ AC = 1 nên AB = AC = 1 và AB2 + AC2 = BC2
⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.
⇒ AM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.
+ Do A’ đối xứng với điểm A qua BC nên M là trung điểm của AA’.
⇒ Tọa độ của A’ là: 
⇒ A’( - 4; 2)
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là I( 1; 3) , trung điểm AC là J( -3; 1). Điểm A thuộc Oy và đường BC qua gốc tọa độ O . Tìm tọa độ điểm A ?
A. ( 0; 1) B. (0; -2) C. (0; 5) D. (0; 8)
Lời giải:
Đáp án: C
+ Phương trình IJ: 
⇒ Phương trình IJ: 1( x - 1) – 2( y - 3) = 0 hay x - 2y + 5 = 0.
+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và CA nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra: IJ// BC
+ Đường thẳng IJ// BC nên BC có dạng: x - 2y + c = 0 (c ≠ 5) .
Do BC qua O nên : 0 - 2. 0 + c = 0 ⇔ c = 0
Vậy phương trình BC: x - 2y = 0.
+ Điểm A( 0; a) thuộc trục Oy.
Do J ( - 3; 1) là trung điểm của AC nên C( - 6; 2 - a).
Mà điểm C thuộc BC nên : - 6 - 2( 2 - a) = 0 ⇔ a = 5.
Vậy tọa độ điểm A( 0; 5) .
Câu 2: Cho đường thẳng ∆: x + y - 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A thuộc ∆ và cách gốc tọa độ một khoảng bằng √17?
A. ( 4; -1) B. ( -1; 4) C. ( 2; 1) hoặc ( -2; 5) D. Cả A và B đúng
Lời giải:
Đáp án: D
+ Gọi điểm A( a; b) .
Do điểm A thuộc đường thẳng ∆ nên a + b - 3 = 0. ( 1)
+ Khoảng cách từ điểm A đến điểm O là:
AO = 
= √17 ⇔ a2 + b2 = 17 (2)
Từ ( 1) suy ra: a = 3 - b thay vào ( 2) ta được:
( 3-b)2 + b2 = 17 ⇔ 2b2 - 6b - 8 = 0
⇔ b = - 1 hoặc b = 4.
Với b = - 1 ⇒ a = 4 ⇒ A( 4; -1)
Với b = 4 ⇒ a = - 1 ⇒ A( -1; 4) .
Vậy có hai điểm thỏa mãn là A( 4; -1) và A( -1; 4) .
Câu 3: Cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1) , đường cao BH có phương trình x - 3y - 7 = 0 và đường trung tuyến CM có phương trình x + y + 1 = 0. Xác định toạ độ các đỉnh B
A. (-2; -3) B. (1; -2) C. (4; - 1) D. (6; 3)
Lời giải:
Đáp án: A
+ Điểm M ( m; - m - 1) thuộc đường thẳng CM.
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm B là:
⇒ B( 2m - 2; - 2m - 3)
+ Điểm B thuộc đường thẳng BH nên ta có:
2m - 2 - 3(-2m - 3) – 7= 0 ⇔ 2m - 2 + 6m + 9 - 7 = 0
⇔ 8m = 0 ⇔ m = 0
⇒ Tọa độ điểm B( -2; - 3) .
Câu 4: Phương phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4 ; -1) ; đường cao và đường trung
tuyến xuất phát từ A có phương trình (d1): 2x - 3y + 12 = 0 và
(d2): 2x + 3y = 0. Tìm tọa độ điểm B ?
A. ( 4 ; -6) B. ( 8 ; -7) C. (4 ; 2) D. (-4 ; -9)
Lời giải:
Đáp án: B
+ Hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại A nên tọa độ A là nghiệm hệ :
⇒ A(-3 ; 2).
+ Đường thẳng BC : 
( vì BC vuông d1).
⇒ Phương trình BC : 3(x - 4)+ 2( y + 1) = 0 hay 3x + 2y - 10 = 0.
+ Hai đường thẳng BC và (d2) cắt nhau tại trung điểm M của BC nên tọa độ M là nghiệm hệ :
⇒ M( 6 ; -4).
+ Do M là trung điểm của BC nên tọa độ điểm B là :
⇒ B( 8 ; -7)
Câu 5: Cho hình thoi ABCD có tâm I. Đường thẳng AC có phương trình : 2x + y - 5 = 0. Biết đường thẳng BD đi qua gôc tọa độ O. Tìm tọa độ điểm I ?
A. (-2 ; -1) B. (1 ; 3) C. (2 ; 1) D. (-3 ; 0)
Lời giải:
Đáp án: C
+ Đường thẳng BD : 
⇒ Phương trình BD : 1(x - 0) – 2(y - 0) = 0 hay x - 2y = 0.
+ Hai đường thẳng AC và BD cắt nhạu tại I nên tọa độ I là nghiệm hệ :
Vậy tọa độ điểm I(2 ; 1).
Câu 6: Cho hình thoi ABCD có điểm A( 1 ; 0) ; phương trình cạnh BC : x + 7y - 7 = 0 và phương trình BD : x + 2y + 9 = 0. Tìm tọa độ điểm D ?
A. (-1 ; 7) B. (-9 ; 0) C. (1 ; -5) D. ( -13 ; 2)
Lời giải:
Đáp án: D
+ Đường thẳng AD// BC : x + 7y - 7 = 0 nên đường thẳng AD có dạng :
x + 7y + c = 0 ( c ≠ -7) .
Mà điểm A thuộc AD nên : 1 + 7.0 + c = 0 ⇔ c = -1
⇒ Phương trình AD : x + 7y - 1 = 0.
+ Hai đường thẳng AD và BD cắt nhau tại D nên tọa độ D là nghiệm hệ :
⇒ D( -13 ; 2)
Câu 7: Trên đường thẳng ( d) : x + 2y - 5 = 0. Tìm điểm M cách đều hai điểm A( 2 ; -3) và B ( -1 ; 2) ?
A. ( -2 ; 1) B. (3 ;1) C. (-2 ; -4) D. Đáp án khác
Lời giải:
Đáp án: B
Gọi tọa độ điểm M(a ; b) .
+ Điểm M thuộc đường thẳng d nên a + 2b - 5 = 0. ( 1)
+ Độ dài : MA = 
; MB = 
+ Do M cách đều hai điểm A và B nên MA= MB
⇔ MA2 = MB2 ⇔ ( a - 2)2 + (b + 3)2 = (a + 1)2 + (b - 2)2
⇔ a2 – 4a + 4 + b2 + 6b + 9 = a2 + 2a + 1 + b2 – 4b + 4
⇔ - 6a + 10b + 8 = 0 ( 2)
+ Từ ( 1) và ( 2) có hệ phương trình : 
Vậy tọa độ điểm M( 3; 1)
Câu 8: Cho tam giác ABC có A( 1 ; -2) ; B( -2 ; 0). Có bao nhiêu điểm C để tam giác ABC vuông cân tại C ?
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
Lời giải:
Đáp án: B
+ Gọi tọa độ điểm C( a ; b).
⇒ AC→(a - 1; b + 2); BC→( a + 2; b)
AC = 
; BC = 
+ Để tam giác ABC vuông cân tại C thì :
+ Từ (2) suy ra : b = 
thay vào ( 1) ta được :
a2 + a + (
)2 + 2.
- 2 = 0
⇔ a2 + a + 
- 
a + 
+ 3a - 
- 2 = 0
⇔ 
Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt nên có hai điểm C thỏa mãn bài toán.
Câu 9: Tam giác ABC đều có A(-1; -3) và đường cao BB’: 5x + 3y - 15 = 0. Tọa độ đỉnh C là:
A. C(
; 
)
B. C( -
; -
)
C. C(
; -
)
D. C(-
;
)
Lời giải:
Đáp án: A
+ Vì tam giác ABC đều nên A và C đối xứng nhau qua BB’.
+ Gọi d là đường thẳng qua A và d ⊥ BB' ⇒ d: 3x - 5y - 12 = 0
H = d ∩ BB' ⇒ tọa độ điểm H là nghiệm của hệ:
H là trung điểm AC suy ra C(
;
)
D. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho A(5; 9) và B(–2; –8). Đường thẳng d: 6x – 7y + 7 = 0 cắt AB tại M. Tìm toạ độ điểm M.
Bài 2. Cho tam giác ABC có A(–2; –2), đường cao CH: –6x + 2y - 10 = 0, đường phân giác trong BN: 6x + 4y – 5 = 0. Tìm tọa độ điểm B.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có A(–3; 7) ; B(–6; –2) và đường thẳng BC đi qua điểm K(9; 2) . Tìm tọa độ điểm C.
Bài 4. Cho tam giác ABC biết AB: 3x – 6y + 5 = 0; AC: –x – 10y – 6 = 0 và trọng tâm G(–3; 7). Tìm tọa độ điểm B.
Bài 5. Cho đường thẳng ∆: 2x – 5y – 5 = 0. Tìm tọa độ điểm A thuộc ∆ và cách gốc tọa độ một khoảng bằng 13.
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
- Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng
- Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
- Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm
- Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 10 Global Success
- Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
- Lớp 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 10 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - KNTT
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - KNTT
- Giải sgk Toán 10 - KNTT
- Giải sgk Vật lí 10 - KNTT
- Giải sgk Hóa học 10 - KNTT
- Giải sgk Sinh học 10 - KNTT
- Giải sgk Địa lí 10 - KNTT
- Giải sgk Lịch sử 10 - KNTT
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - KNTT
- Giải sgk Tin học 10 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 10 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - KNTT
- Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
- Giải Toán 10 - CTST
- Giải sgk Vật lí 10 - CTST
- Giải sgk Hóa học 10 - CTST
- Giải sgk Sinh học 10 - CTST
- Giải sgk Địa lí 10 - CTST
- Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST
- Lớp 10 - Cánh diều
- Soạn văn 10 (hay nhất) - Cánh diều
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - Cánh diều
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - Cánh diều
- Giải sgk Toán 10 - Cánh diều
- Giải sgk Vật lí 10 - Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 10 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 10 - Cánh diều
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 10 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - Cánh diều
