Bài toán thực tế về hàm số mũ và hàm số lôgarit lớp 11 (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Bài toán thực tế về hàm số mũ và hàm số lôgarit lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Bài toán thực tế về hàm số mũ và hàm số lôgarit.

Bài toán thực tế về hàm số mũ và hàm số lôgarit lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Áp dụng các công thức lãi đơn, công thức lãi kép, tiền gửi hàng tháng, gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng, vay vốn trả góp, bài toán tăng lương, lãi kép liên tục,…

a) Bài toán lãi đơn: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ ℕ*) là:          

b) Bài toán lãi kép: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ ℕ*) là:

Từ công thức trên ta có thể tính được:

c) Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi lần hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.

Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có

$S_n=A{(1+r)}^n-X\frac{{(1+r)}^n-1}{r}$

Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì S_n = 0 nên $A{(1+r)}^n-X\frac{{(1+r)}^n-1}{r}$ = 0.        

d)  Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng. Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm r%/tháng. Hỏi sau kn tháng người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu?

Tổng số tiền nhận được sau kn tháng là: $S_n=Ak\frac{{(1+r)}^k-1}{r}.$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Bà Lan gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức tính lãi kép, sau 10 năm số tiền cả gốc và lãi bà Lan thu về là:

A.(1+ r)ⁿ = 100.(1 + 0,08)¹⁰ ≈ 215,892 (triệu)

Số tiền lãi bà Lan thu về sau 10 năm là:

A.(1+ r)ⁿ – A = 215,892 – 100 ≈ 115,892 (triệu)

Vậy số tiền lãi bà Lan thu được sau 10 năm là 115,892 triệu.

Ví dụ 2. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Inđônêsia là 1,5%. Năm 1998, dân số của nước này là 212 942 000 người. Hỏi dân số của Indonesia vào năm 2006 là bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức lãi kép liên tục: S = A.e^N.r

Với A = 212 942 000; r = 1,5% = 0,015; N = 2006 – 1998 = 8.

Ta có:

S = A.e^N.r = 212 942 000 . e^{8 . 0,015} ≈ 240 091 434,6 (người)

Vậy dân số của Indonesia vào năm 2006 là 240 091 434,6 người.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức s(t) = s(0).2^t, trong đó s(0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s(t) là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?

A. 5 phút;

B. 6 phút;

C. 7 phút;

D. 8 phút.

Bài 2. Bà Mai gửi tiết kiệm ngân hàng Vietcombank số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 0,79% một tháng, theo phương thức lãi kép. Tính số tiền cả vốn lẫn lãi bà Mai nhận được sau 2 năm? (làm tròn đến hàng nghìn)

A. 60 393 000 đồng;

B. 50 793 000 đồng;

C. 50 790 000 đồng;

D. 59 4 80 000 đồng.

Bài 3. Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1 000 000 đồng với lãi suất 0,58%/tháng (không kỳ hạn). Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1 300 000 đồng?

A. 46 tháng;

B. 44 tháng;

C. 45 tháng;

D. 47 tháng.

Bài 4. Một người được lãnh lương khởi điểm là 3 triệu đồng/tháng. Cứ 3 tháng thì lương người đó được tăng thêm 7%/tháng. Hỏi sau 36 năm người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu?

A. ≈ 641 triệu đồng;

B. ≈ 644 triệu đồng;

C. ≈ 41 triệu đồng;

D. ≈ 42 triệu đồng.

Bài 5. Một người có  58 000 000đ gửi tiết kiệm ngân hàng (theo hình thức lãi kép ) trong 8 tháng thì lĩnh về được 61 329 000đ. Lãi suất hàng tháng là:

A. 7%;

B. 0,7%;

C. 0,07%;

D. 0,007%.

Bài 6. Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ còn nhớ bao nhiêu phần trăm danh sách đó sau mỗi tháng. Giả sử sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó được tính theo công thức M(t) = 75 – 20ln(t + 1), 0 ≤ t ≤ 12 (đơn vị: %). Hãy tính khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng.

A. 36,08%;

B. 37,08%;

C. 38,08%;

D. 39,08%.

Bài 7. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 1,65% một quý, nếu hết quý người đó không rút tiền lãi ra thì số tiền lãi đó được tính là tiền gốc của quý tiếp theo. Nếu như người đó không rút lãi hàng quý, thì sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu ? (Giả sử lãi suất không thay đổi).

A. 4 năm;

B. 3 năm và 3 quý;

C. 4 năm và 2 quý;

D. 3 năm và 1 quý.

Bài 8. Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hóa và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là 5% một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau 1 năm chỉ còn là 950 đồng (vì đã giảm mất 5% của 1 triệu đồng, tức là 50000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là r% một năm thì tổng số tiền P ban đầu, sau n năm số tiền đó chỉ còn giá trị là:

$A=P.{(1-\frac{r}{100})}^n$

Nếu tỉ lệ lạm phát là 8% một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại bao nhiêu?

A. 84,64 triệu đồng;

B. 84,46 triệu đồng;

C. 76,176 triệu đồng;

D. 76,167 triệu đồng.

Bài 9. Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hóa và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là 5% một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau 1 năm chỉ còn là 950 đồng (vì đã giảm mất 5% của 1 triệu đồng, tức là 50000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là r% một năm thì tổng số tiền P ban đầu, sau n năm số tiền đó chỉ còn giá trị là:

$A=P.{(1-\frac{r}{100})}^n$

Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm chỉ còn 90 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là bao nhiêu?

A. 4,13%;

B. 5,13%;

C. 5,23;

D. 4,13.

Bài 10. Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hóa và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là 5% một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau 1 năm chỉ còn là 950 đồng (vì đã giảm mất 5% của 1 triệu đồng, tức là 50000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là r% một năm thì tổng số tiền P ban đầu, sau n năm số tiền đó chỉ còn giá trị là:

$A=P.{(1-\frac{r}{100})}^n$

Nếu tỉ lệ lạm phát là 5% một năm thì sau bao nhiêu năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại môt nửa?

A. 12 năm;

B. 13 năm;

C. 14 năm;

D. 13 năm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Phương trình mũ

• Phương trình lôgarit

• Bất phương trình mũ

• Bất phương trình lôgarit

• Bài toán thực tế về phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

---