Biến cố độc lập là gì? Bài tập biến cố độc lập cực hay

Bài viết Biến cố độc lập là gì? Bài tập biến cố độc lập với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Biến cố độc lập là gì? Bài tập biến cố độc lập.

Biến cố độc lập là gì? Bài tập biến cố độc lập cực hay

1. Định nghĩa:

- Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

- Nhận xét: Hai biến cố A, B độc lập với nhau thì A và cũng độc lập với nhau.

2. Quy tắc nhân xác suất

- Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì

    P(AB) = P(A).P(B)

- Quy tắc nhân xác suất cho nhiều biến cố: Nếu k biến cố A₁, A₂, …,A₃ độc lập với nhau thì

    P(A₁ A₂…A_k) = P(A₁).P(A₂) … P(A_k)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một chiếc máy bay có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,6 và 0,8. Hãy tính xác suất để

a) Cả hai động cơ đều chạy tốt

b) Cả hai động cơ đều chạy không tốt

Hướng dẫn

a) Gọi A là biến cố: “Động cơ I chạy tốt”

B là biến cố: “Động cơ II chạy tốt”

C là biến cố: “Cả hai động cơ đều chạy tốt”

Khi đó: C = AB

Vì hai động cơ I và II hoạt động độc lập nên A và B là hai biến cố độc lập.

Áp dụng quy tắc nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, ta có

    P(C) = P(A).P(B) = 0,6 . 0,8 = 0,48

b) là biến cố đối của biến cố A ⇒ P() = 1 – P(A) = 1 – 0,6 = 0,4

là biến cố đối của biến cố B ⇒ P() = 1 – P(B) = 1 – 0,8 = 0,2

Gọi D là biến cố: “Cả hai động cơ đều chạy không tốt”

Suy ra D =

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên là hai biến cố độc lập.

Áp dụng quy tắc nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, ta có

    

Ví dụ 2. Bốn khẩu pháo cao xạ A, B, C, D cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Biết xác suất bắn trúng của các khẩu pháo tương ứng là . Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng.

Hướng dẫn

Vì A, B, C, D cùng bắn độc lập nên ta có xác suất mục tiêu không bị bắn trúng là

Vậy xác suất để mục tiêu bị bắn trúng là

    

4. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một chiếc máy bay có hai động cơ A và B hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ A và động cơ B chạy tốt lần lượt là 0,5 và 0,9. Hãy tính xác suất để:

a) Cả hai động cơ đều chạy tốt;

b) Cả hai động cơ đều chạy không tốt.

Bài 2. Bốn xạ thủ X, Y, Z, W cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Biết xác suất bắn trúng của các xạ thủ tương ứng là $P\left(X\right)=\frac{1}{2};P\left(Y\right)=\frac{2}{3};P\left(Z\right)=\frac{4}{5};P\left(W\right)=\frac{5}{7}$. Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng.

Bài 3. Khẳng định đúng trong các khẳng định sau là:

A. Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì A và B là hai biến cố xung khắc.

B. Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì A và B là hai biến cố độc lập.

C. Nếu Ω_A ∩ Ω_B ≠ Ø thì A và B là hai biến cố không độc lập.

D. Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì Ω_A ∩ Ω_B  ≠ Ø .

Bài 4. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất các biến cố sau:

A: “Lần thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.

B: “Lần thứ hai xuất hiện mặt 4 chấm”.

Hỏi 2 biến cố A và B có phải là biến cố độc lập không?

Bài 5. Cho hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc với P(A) > 0, P(B) > 0. Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B không độc lập.

Bài 6. Có hai hộp quà tặng chứa bút màu. Hộp quà I có 5 bút màu đỏ và 10 bút màu trắng. Hộp quà II có 3 bút màu trắng và 7 bút màu đen. Từ mỗi hộp quà, lấy ngẫu nhiên ra một bút màu. Xét hai biến cố sau:

A: “Lấy được bút màu trắng từ hộp quà I”;

B: “Lấy được bút màu đen từ hộp quà II”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B độc lập.

Bài 7 Xét hai biến cố sau:

A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Mai gieo là số nguyên tố”;

B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Hoa gieo là số chia hết cho 3”.

Hỏi biến cố A và B độc lập hay không độc lập? Vì sao?

Bài 8. Giả sử A và B là hai biến cố cùng liên quan đến phép thử T. Khẳng định

nào trong các khẳng định sau là đúng?

(1) Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P(A∪B) = P(A) + P(B).

(2) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P(A∪B) = P(A) + P(B).

(3) P(AB) = P(A).P(B).

A. Chỉ (1) đúng.

B. Chỉ (2) đúng.

C. Chỉ (3) đúng.

D. Cả (1), (2), (3) đều sai.

Bài 9. Cho A, B là hai biến cố độc lập của phép thử T. Xác suất xảy ra biến cố A là 0,5 và xác suất xảy ra biến cố B là 0,25. Tính xác suất để xảy ra biến cố A và B.

Bài 10. Cho A, B là hai biến cố trong cùng một phép thử T nào đó. Biết P(A) = 0,2; P(B) = 0,4 và P(AB) = 0,06. Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. A, B là hai biến cố không xung khắc.

B. A, B là hai biến cố độc lập.

C. Ω_A ∩ Ω_B = ∅.

D. A, B là hai biến cố xung khắc.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách giải bài tập về Hai qui tắc đếm cơ bản (cực hay, chi tiết)
• Cách giải bài tập qui tắc hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp (cực hay, chi tiết)
• Biến cố xung khắc là gì? Bài tập biến cố xung khắc (cực hay, chi tiết)
• Biến cố đối là gì? Bài tập về biến cố đối (cực hay, chi tiết)

---