Các bài toán về phép vị tự và cách giải

---

---

Với Các bài toán về phép vị tự và cách giải môn Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết phương pháp làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

Các bài toán về phép vị tự và cách giải

                           

I. Lý thuyết ngắn gọn

- Cho điểm I và một số thực và k ≠ 0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M′ sao cho  được gọi là phép vị tự tâm I, tỉ số k

Kí hiệu: v_(I;k) 

 

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho I(x₀;y₀), M(x;y) gọi M^'(x^';y^') = V_(I,k)thì  

- Nếu V_(I,k)(M) = M^'; V_(I,k)(N)  = N^' thì và M^'N^' = |k|MN 

- Phép vị tự tỉ số k:

+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó

+ Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

+ Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng góc đã cho

+ Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|R 

- Tâm vị tự của hai đường tròn:

+ Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia, tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn

Cho hai đường tròn (I; R) và (I’; R’)

+ Nếu I ≡ I^'  thì các phép vị tự  biến (I;R) thành (I’;R’)

+ Nếu I ≠ I^' và R ≠ R^' thì các phép vị tự biến (I;R) thành (I’;R’). Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn O₁ là tâm vị tự trong của hai đường tròn

+ Nếu I ≠ I^' và R = R’ thì có V_(O1;-1)  biến (I;R) thành (I’;R’)

II. Các dạng toán phép vị tự

Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép vị tự

Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của phép vị tự

Ví dụ 1: Cho điểm A (1; 2) và điểm I (2; 3). Tìm tọa độ A’ là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số 2

Lời giải

Gọi A’ (x’;y’) suy ra  

Vì A’ là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k=2 nên ta có: 

 

Ví dụ 2: Cho điểm M (-2; 5) và điểm E (2; -1). Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm E tỉ số -2

Lời giải

Gọi  

Vì M’ là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm E tỉ số k = 2 nên ta có:

 

Dạng 2: Tìm tâm vị tự của hai đường tròn

Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp tìm tâm vị tự của hai đường tròn

Ví dụ 3: Cho đường tròn (C) có phương trình (x - 2)² + (y + 3)² = 9 và đường tròn (C’) có phương trình x² + y² - 2x - 8y + 1 = 0. Tìm tọa độ tâm vị tự biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) biết tỉ số vị tự bằng 2

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm là A (2; -3) bán kính R = 3

Đường tròn (C’) có tâm là A’ (1; 4) bán kính R’ = 4

Hai đường tròn (C) và (C’) có tâm không trùng nhau, bán kính khác nhau. Do đó tồn tại hai phép vị tự tâm I₁ tỉ số k = 2 và tâm I₂ tỉ số k = -2 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’)

TH1: Xét k = 2

Gọi I₁(x;y) là tâm vị tự, ta có:  

 

 

Do đó với k = 2 ta có một tâm vị tự ngoài là I₁(3,-10) 

TH2: Xét k = -2

Gọi I₂(x;y) là tâm vị tự ta có:  

Ta có:  

 

Do đó với k = -2 ta có một tâm vị tự trong là  

Ví dụ 4:  Cho hai đường tròn (C): (x - 2)² + (y - 1)² = 4 và (C^'): (x - 8)² + (y - 4)² = 16. Tìm tâm vị tự của hai đường tròn

Lời giải

Ta có: Đường tròn (C) có tâm I (2; 1) bán kính R = 2, đường tròn (C’) có tâm I’ (8; 4) bán kính R’ = 4

Do I ≠ I^'; R ≠ R^'nên có hai phép vị tự V_(J;2) và V_(J;-2) biến (C) thành (C’)

Gọi J (x; y)

Với k = 2 ta có:  

Tương tự với k = -2 ta được J’ (4; 2)

Dạng 3: Sử dụng phép vị tự để giải các bài toán dựng hình

Phương pháp giải: Để dựng một hình (H) nào đó ta quy về dựng một số điểm (đủ để xác định hình (H)) khi đó ta xem các điểm cần dựng đó là giao của hai đường trong đó một đường có sẵn và một đường là ảnh vị tự của một đường khác

Ví dụ 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường tròn, hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB của nửa đường tròn đó

Lời giải

- Phân tích

Giả sử hình vuông MNPQ đã dựng xong thỏa mãn yêu cầu bài toán (với M, N nằm trên AB, còn P,Q nằm trên nửa đường tròn)

Gọi O là trung điểm của AB. Nối OQ và OP, dựng hình vuông M’N’P’Q’ sao cho M’, N’ nằm trên AB và O là trung điểm của M’N’ . Khi đó ta có: 

 

Ta xem như MNPQ là ảnh của M’N’P’Q’ qua phép vị tự tâm O tỉ số  

- Cách dựng:

Dựng hình vuông M’N’P’Q’ ( có M’N’ thuộc AB và O là trung điểm của M’N’)

Nối OP’ và OQ’. Chúng cắt (O, AB) tại P và Q

Hình chiếu của P và Q trên AB là N và M. Khi đó MNPQ chính là hình vuông cần dựng

                                 

Dạng 4: Sử dụng phép vị tự để giải các bài toán tìm tập hợp điểm

Phương pháp giải: Để tìm tập hợp điểm M ta có thể quy về tìm tập hợp điểm N và tìm một phép vị tự V_(J;K) nào đó sao cho V_(J;K)(N) = M. Suy ra quỹ tích điểm M là ảnh của quỹ tích N qua V_(J;K)

Ví dụ 6: Cho đường tròn (O; R) và một điểm I nằm ngoài đường tròn sao cho OI = 3R, A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O; R). Phân giác trong góc cắt IA tại điểm M. Tìm tập hợp điểm M khi A di động trên (O; R)

Lời giải

Theo tính chất đường phân giác ta có:  

Suy ra  mà A thuộc đường tròn (O; R) nên M thuộc ảnh của (O; R) qua

Vậy tập hợp điểm M là  ảnh của (O; R) qua

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC. Qua điểm M trên cạnh AB vẽ các đường song song với các đường trung tuyến AE và BF, tương ứng cắt BC và CA tai P, Q. Tìm tập hợp điểm R sao cho MPRQ là hình bình hành

Lời giải

Gọi I = MQ ∩ AE, K = MP ∩ BF và G là trọng tâm của tam giác ABC

 

Tương tự ta có:  

Suy ra:  

Do đó:  

Mà M thuộc cạnh AB nên R thuộc ảnh của cạnh AB qua  đoạn chính là đoạn EF

Vậy tập hợp điểm R là đoạn EF

III. Bài tập áp dụng

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxỵ cho đường tròn (C) có phương trình (x - 3)² + (y + 1)² = 9 

Hãy viết phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I (1; 2) tỉ số k = -2

Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 4 = 0. Hãy viết phương trình của đường thẳng d₁ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3

Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A (có bán kính khác nhau). Một điểm M nằm trên đường tròn (O). Dựng đường tròn đi qua M và tiếp xúc với O và O’

Bài 4: Gọi A là giao hai đường đường tròn cắt nhau O và O’ Hãy dựng qua A một đường thẳng cắt hai đường tròn tại B và C sao cho AC = 2AB

Bài 5: Cho đường tròn (O; R). Có bao nhiêu phép vị tự biến (O; R) thành chính nó?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Bài 6: Có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’) với R ≠ R^' ?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Bài 7: Có hai đường thẳng song song d và d’. Có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số k = 20 biến đường thẳng d thành đường thẳng d’?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Bài 8: Có hai đường thẳng song song d và d’ và một điểm O không nằm trên chúng. Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành đường thẳng d’?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Bài 9: Cho hình thang ABCD với hai cạnh đáy AB và CD thỏa mãn AB = 3CD. Phép vị tự biến điểm A thành điểm C và biến điểm B thành điểm D có tỉ số k là?

A. 3

B. -3

C.  

D. - 

Bài 10: Một hình vuông có diện tích bằng 4. Qua phép vị tự  thì ảnh của hình vuông trên có diện tích tăng gấp mấy lần diện tích ban đầu?

A.  

B. 2

C. 4

D. 8

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Các bài toán về phép đồng dạng
• Các bài toán về phép tịnh tiến
• Các bài toán về phép đối xứng tâm
• Các bài toán về phép đối xứng trục
• Các bài toán về phép quay

---

---

---