Cách tìm vi phân của hàm số - Toán lớp 11

Cách tìm vi phân của hàm số

A. Phương pháp giải

Cho hàm số y= f( x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x ∈(a;b ).

Ta gọi tích f' (x).∆ x là vi phân của hàm số y= f( x) tại x ứng với số gia ∆ x.

Kí hiệu: dy=df(x)=f' (x).∆ x

⇒ Để tính vi phân của hàm số y= f(x) ( trong trường hợp tại điểm đó hàm số có đạo hàm) ta làm như sau:

+ Bước 1. Tính đạo hàm f' (x) của hàm số.

+ Bước 2. Vi phân của hàm số là: dy=d(f(x))=f' (x).dx

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y= x3 +3x2 + 10x+ 90. Tìm vi phân của hàm số

A. dy=3x2 + 6x+ 10         B. dy= ( 3x2 + 6x+ 10).dx

C.dy = ( x2 + 3x+ 10).dx         D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm và y'= 3x2 +6x+ 10

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là :

dy=d( x3+ 3x2 + 10x+ 90)= ( 32 + 6x+ 10).dx

chọn B.

Ví dụ 2. Cho hàm số y= √(x2-4) . Tìm dy?

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x2- 4 > 0 hay x > 2 hoặc x <-2 .

Tại các diểm đó hàm số có đạo hàm là:

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Ví dụ 3. Cho hàm số y= cos2x+ sin (x- 3). Tìm vi phân của hàm số?

A.dy= [- 2sin2x+ cos( x- 3)] dx         B. dy= [2sin2x+ cos( x- 3)] ∆x

C. dy= [2sin2x+ cos( x- 3)] dx         D.dy= [ 2sin2x – cos( x- 3)] dx

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định và có đạo hàm tại mọi điểm.

Đạo hàm của hám số là; y^'= -2sin2x+cos⁡( x-3)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là ;

dy= d[ cos2x+ sin( x- 3) ] = [- 2sin2x+ cos( x- 3)] dx

Chọn A.

Ví dụ 4. Tìm vi phân của hàm số: y= (x-1)/(2x-4)?

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x≠2

Tại các điểm x≠2 hàm số có đạo hàm là ;

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Ví dụ 5. Tìm vi phân của hàm số: y=(x2-2x+3)/(x-2)?

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: x≠2

Với x≠2 hàm số có đạo hàm là;

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Ví dụ 6. Tìm vi phân của hàm số: y= (x3+2x-3)2

A. dy= (x3+2x-3).(x2+2x-3).dx

B. dy= (x3+2x-3).dx

C. dy= (x3+2x-3).(3x2+2).dx

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= (x3+2x-3)(x3+2x-3) '

⇒y'=(x3+2x-3).(3x2+2)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d((x3+2x-3)2 )= (x3+2x-3).(3x2+2).dx

chọn C.

Ví dụ 7. Tìm vi phân của hàm số y= sin( x2 + 3x+ 1) .

A. dy=cos⁡( x2+3x+1) dx         B.dy=cos⁡( x2+3x+1).( 2x+3) dx

C.dy= -cos⁡( x2+3x+1).( 2x+3) dx         D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=cos⁡( x2+3x+1).(x2+3x+1)'= cos⁡( x2+3x+1).( 2x+3)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d[sin( x2 + 3x+ 1)]= cos⁡( x2+3x+1).( 2x+3) dx

chọn B.

Ví dụ 8. Tìm vi phân của hàm số y= ( x2 – 1) . sin x.

A. dy= [2x.sinx+(x2-1).cosx] dx         B. dy= [-2x.sinx+(x2-1).cosx] dx

C.dy= [2x.sinx-(x2-1).cosx] dx         D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số:

y'=( x2-1)'.sinx+(x2-1).( sinx)'

⇒y'=2x.sinx+(x2-1).cosx

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy=d(x2 – 1) . sin x= [2x.sinx+(x2-1).cosx] dx

Chọn A.

Ví dụ 9. Tìm vi phân của hàm số: y=(√(x2-1)-1)(x2-2x)

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x> 1 hoặc x < - 1 ( khi đó x2-1> 0 )

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Ví dụ 10. Tìm dy của hàm số: y= tan( x2+ 2x). cotx.

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Ví dụ 11. Tìm dy của hàm số : y= sin2x/cos⁡( 3x+1)

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Ví dụ 12. Tìm dy của hàm số: cos( √(( x-1)4-1 )+x+1)

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= -sin⁡( √(( x-1)4-1 )+x+1).(√(( x-1)4-1 )+x+1)'

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Ví dụ 13. Tìm vi phân của hàm số y= cos( sin( 2x+ 1) )

A. - sin⁡(sin⁡(2x+1) ).cos⁡(2x+1) dx

B. -2 sin⁡(sin⁡(2x+1) ).cos⁡(2x+1) dx

C. sin⁡(sin⁡(2x+1) ).cos⁡(2x+1) dx

D. 2 sin⁡(sin⁡(2x+1) ).cos⁡(2x+1) dx

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là :

y'=-sin⁡(sin⁡(2x+1 ) ).[sin⁡( 2x+1)]'

⇒ y'= -sin⁡(sin⁡(2x+1) ).2cos⁡(2x+1)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d[ cos(sin ( 2x+ 1) )]= -2 sin⁡(sin⁡(2x+1) ).cos⁡(2x+1) dx

chọn B.

Ví dụ 14. Tìm vi phân của hàm số:y= [x2+x+ sin⁡( 2x-3)]3

A. dy = 3.[x2+x+ sin⁡( 2x-3)]2.( 2x+1+2 cos⁡( 2x- 3) ) dx

B. dy = [x2+x+ sin⁡( 2x-3)]2.( 2x+1+2 cos⁡( 2x- 3) ) dx

C. dy = 3.[x2+x+ sin⁡( 2x-3)]2.( 2x+1+cos⁡( 2x- 3) ) dx

D. Tất cả sai .

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=3.[x2+x+ sin⁡( 2x-3)]2.[x2+x+ sin⁡( 2x-3)]'

⇔ y'=3.[x2+x+ sin⁡( 2x-3)]2.( 2x+1+2 cos⁡( 2x- 3) )

Vi phân của hàm số đã cho là :

dy = 3.[x2+x+ sin⁡( 2x-3)]2.( 2x+1+2 cos⁡( 2x- 3) ) dx

Chọn A.

Ví dụ 15. Tìm vi phân của hàm số : y= sin4 (x2+ 2x+ 2)

A. dy= 2sin3 (x2+2x+2)( 2x+2).dx

B. dy= 4sin3 (x2+2x+2)( x+1).dx

C. dy= 4sin3 (x2+2x+2)( 2x+2).dx

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= 4sin3 (x2+2x+2).( x2+2x+2)'= 4sin3 (x2+2x+2)( 2x+2)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là :

dy= 4sin3 (x2+2x+2)( 2x+2).dx

chọn C.

Ví dụ 16. Vi phân của hàm số y= x4 – 3x2 + 10 tại điểm x= 1, ứng với ∆ x= 0,1 là:

A. -0,2 B. 0,4 C. 0,1 D. -0,2

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=4x3-6x

⇒ y' (1)= -2

⇒ Vi phân của hàm số đã cho tại điểm x= 1 và ∆ x= 0, 1 là :

dy= y' (1).∆ x = - 2. 0,1= - 0,2

chọn A

Ví dụ 17. Cho hàm số; y= (x+2)/(2x-4). Vi phân của hàm số tại x= 1 là?

A. dy= - dx         B. dy= -2dx         C. dy= 3dx         D. dy= 4dx

Hướng dẫn giải

Tại các điểm x≠2; hàm số có đạo hàm:

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Ví dụ 18. Cho hàm số y= sin( 2x- π/3) . Tính vi phân của hàm số tại x= π/2 và ∆ x= 0,2

A. – 0, 4         B. -0,1         C . -0, 2         D. 0, 2

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là :

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y= 2x4 +x3+ x . Tìm vi phân của hàm số

A. dy = 8x3 + 3x2+ 1

B. dy = ( 8x4 + 3x+ 1).dx

C. dy = ( 8x3 + 3x2+ 1).dx

D. Đáp án khác

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm và y'= 8x3 + 3x2 + 1

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là :

dy = d(2x4 +x3 + x)= (8x3 + 3x2 + 1).dx

Chọn C.

Câu 2: Cho hàm số y= √(x3- 2x2+1) . Tìm dy?

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x3 – 2x2 + 1 >0

Tại các diểm đó hàm số có đạo hàm là:

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Câu 3: Cho hàm số y= cos( 2x- x2)+ sin (3x- 5). Tìm vi phân của hàm số?

A.dy =[(2-2x) sin⁡( 2x- x2 )+3cos⁡( 3x-5)] dx

B. dy =[-(2-2x) sin⁡( 2x- x2 )+3cos⁡( 3x-5)] dx

C. dy =[-(2-2x) sin⁡( 2x- x2 )-3cos⁡( 3x-5)] dx

D. dy=[-(2-2x) cos⁡( 2x- x2 )+3cos⁡( 3x-5)] dx

Hàm số đã cho xác định và có đạo hàm tại mọi điểm.

Đạo hàm của hám số là

y'= -sin⁡(2x- x2 ) ( 2x- x2 )'+cos⁡( 3x-5).(3x-5)'

⇔y'= -(2-2x) sin⁡( 2x- x2 )+3cos⁡( 3x-5)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là ;

dy= d[ cos(2x- x2)+ sin( 3x- 5) ] =[-(2-2x) sin⁡( 2x- x2 )+3cos⁡( 3x-5)] dx

Chọn B.

Câu 4: Tìm vi phân của hàm số: y= (2x+1)/( x2-2x+3)?

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Ta có: x2 -2x+3= (x-1)2 +2 > 0 với mọi x.

Do đó; hàm số có đạo hàm với mọi x và đạo hàm:

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Câu 5: Tìm vi phân của hàm số: y=(x2+x-1)/(x+1)?

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Điều kiện xác định: x≠-1

Với x≠-1 hàm số có đạo hàm là;

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Câu 6: Tìm vi phân của hàm số: y= (x4-2x2+1)3

A. dy= 3.(x4-2x2+1)2.(x3-2x).dx

B. dy= 3.(x4-2x2+1)2.(4x3-4x).dx

C. dy=3.(x4-2x2+1)2.dx

D. Đáp án khác

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= 3(x4-2x2+1)2 (x4-2x2+1) '

⇔ y^'=3.(x4-2x2+1)2.(4x3-4x)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d((x4-2x2+1)3 )=3.(x4-2x2+1)2.(4x3-4x).dx

chọn B.

Câu 7: Tìm vi phân của hàm số y= sin( x3 + x+ √x) .

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

y'=cos⁡( x3+x+√x).(x3+x+√x)'= cos⁡( x3+x+√x).( 3x2+1+1/(2√x))

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d[sin( x3 + x+ √x)]= cos⁡( x3+x+√x).( 3x2+1+1/(2√x)) dx

chọn A.

Câu 8: Tìm vi phân của hàm số y= ( x +2) . ( 3- sin x)

A. dy= [3- sinx – ( x+2).cosx] dx         B. dy= [-2sinx+(x+2).cosx] dx

C.dy=[3- sinx + ( x+2).cosx] dx         D. Đáp án khác

y'=( x+2)'.( 3- sinx)+(x+2).(3- sinx)'

⇔ y'=1.(3-sinx)+(x+2).( -cosx) = 3- sinx – ( x+2).cosx

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy=d(x+ 2) .( 3- sin x)= [3- sinx – ( x+2).cosx] dx

Chọn A.

Câu 9: Tìm vi phân của hàm số: y=√(x+2.) (x2-2)

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x > - 2

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

y'=( √(x+2))' ( x2-2)+ ( √(x+2)).( x2-2)'

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Câu 10: Tìm dy của hàm số: y= tan( 2+ 2x). cot3x.

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

y'=[tan⁡( 2+2x) ]'.cot3x+tan⁡(2+2x).( cot3x)'

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Câu 11: Tìm dy của hàm số : y= sin2x/cos⁡4x

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Câu 12: Tìm dy của hàm số: cos( √(( x+2)3 )+2x)?

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Câu 13: Tìm vi phân của hàm số y= sin( sin(x2+ 2x) )

A. dy= -cos⁡(sin⁡(x2+2x) ).cos⁡(x2+2x).( 2x+2)dx

B. dy= cos⁡(sin⁡(x2+2x) ).cos⁡(x2+2x).( x+2).dx

C.dy= 2cos⁡(sin⁡(x2+2x) ).sin⁡(x2+2x).( x+1).dx

D.Đáp án khác

Đạo hàm của hàm số đã cho là :

y^'=cos⁡(sin⁡(x2+ 2x ) ).[sin⁡(x2+ 2x)]'

⇔ y'= cos⁡(sin⁡(x2+2x) ).cos⁡(x2+2x).( 2x+2)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d[ sin(sin ( x2+ 2x) )]=cos⁡(sin⁡(x2+2x) ).cos⁡(x2+2x).( 2x+2)dx

chọn B.

Câu 14: Tìm vi phân của hàm số:y= [x2-1+ sin⁡( x+1)]4

A. dy =4.[x2-1+ sin⁡( x+1)]3.( 2x-cos⁡( x+1) )dx

B. dy =- 2.[x2-1+ sin⁡( x+1)]3.( 2x+cos⁡( x+1) )dx

C. dy =4.[x2-1+ sin⁡( x+1)]3.( 2x+cos⁡( x+1) )dx

D. Tất cả sai

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=4.[x2-1+ sin⁡( x+1)]3.[x2-1+ sin⁡( x+1)]'

⇔ y'=4.[x2-1+ sin⁡( x+1)]3.( 2x+cos⁡( x+1) )

Vi phân của hàm số đã cho là :

dy =4.[x2-1+ sin⁡( x+1)]3.( 2x+cos⁡( x+1) )dx

Chọn C.

Câu 15: Tìm vi phân của hàm số : y= sin3(x2+ 2√x)

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Câu 16: Vi phân của hàm số y= 2x3 +2x2 + 6 tại điểm x= -2, ứng với ∆ x= 0,2 là:

A. 3,2         B. 3,4         C. 2,4         D. 1,2

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=6x2+4x

⇒ y' (-2)= 16

⇒ Vi phân của hàm số đã cho tại điểm x= -2 và ∆ x= 0,2 là :

dy= y' (-2).∆ x = 16. 0,2= 3,2

Chọn A

Câu 17: Cho hàm số; y= (2x-4)/(x+1). Vi phân của hàm số tại x= 0 là?

A. dy= 6dx         B. dy= -2dx         C. dy= 3dx         D. dy= 4dx

Tại các điểm x≠-1 ; hàm số có đạo hàm:

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

⇒ y' (0)= 6

⇒ Vi phân của hàm số tại x = 0 là dy= 6dx

Chọn A.

Câu 18: Cho hàm số y= sin( 4x- π/4) . Tính vi phân của hàm số tại x= π/4 và ∆ x= -0,1

A. – 0,4. √2         B. -0,1.√2         C .0,2.√2         D. 0,2

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là :

 Cách tìm vi phân của hàm số | Toán lớp 11

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.