Cách tìm vi phân của hàm số (hay, chi tiết)

Bài viết Cách tìm vi phân của hàm số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm vi phân của hàm số.

Cách tìm vi phân của hàm số (hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Cho hàm số y= f( x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x ∈(a;b ).

Ta gọi tích f' (x).∆ x là vi phân của hàm số y= f( x) tại x ứng với số gia ∆ x.

Kí hiệu: dy=df(x)=f' (x).∆ x

⇒ Để tính vi phân của hàm số y= f(x) ( trong trường hợp tại điểm đó hàm số có đạo hàm) ta làm như sau:

+ Bước 1. Tính đạo hàm f' (x) của hàm số.

+ Bước 2. Vi phân của hàm số là: dy=d(f(x))=f' (x).dx

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y= x³ +3x² + 10x+ 90. Tìm vi phân của hàm số

A. dy=3x² + 6x+ 10         B. dy= ( 3x² + 6x+ 10).dx

C.dy = ( x² + 3x+ 10).dx         D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm và y'= 3x² +6x+ 10

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là :

dy=d( x³+ 3x² + 10x+ 90)= ( 3² + 6x+ 10).dx

chọn B.

Ví dụ 2. Cho hàm số y= √(x²-4) . Tìm dy?

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x²- 4 > 0 hay x > 2 hoặc x <-2 .

Tại các diểm đó hàm số có đạo hàm là:

Ví dụ 3. Cho hàm số y= cos2x+ sin (x- 3). Tìm vi phân của hàm số?

A.dy= [- 2sin2x+ cos( x- 3)] dx         B. dy= [2sin2x+ cos( x- 3)] ∆x

C. dy= [2sin2x+ cos( x- 3)] dx         D.dy= [ 2sin2x – cos( x- 3)] dx

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định và có đạo hàm tại mọi điểm.

Đạo hàm của hám số là; y^'= -2sin2x+cos⁡( x-3)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là ;

dy= d[ cos2x+ sin( x- 3) ] = [- 2sin2x+ cos( x- 3)] dx

Chọn A.

Ví dụ 4. Tìm vi phân của hàm số: y= (x-1)/(2x-4)?

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x≠2

Tại các điểm x≠2 hàm số có đạo hàm là ;

Ví dụ 5. Tìm vi phân của hàm số: y=(x²-2x+3)/(x-2)?

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: x≠2

Với x≠2 hàm số có đạo hàm là;

Ví dụ 6. Tìm vi phân của hàm số: y= (x³+2x-3)²

A. dy= (x³+2x-3).(x²+2x-3).dx

B. dy= (x³+2x-3).dx

C. dy= (x³+2x-3).(3x²+2).dx

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= (x³+2x-3)(x³+2x-3) '

⇒y'=(x³+2x-3).(3x²+2)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d((x³+2x-3)² )= (x³+2x-3).(3x²+2).dx

chọn C.

Ví dụ 7. Tìm vi phân của hàm số y= sin( x² + 3x+ 1) .

A. dy=cos⁡( x²+3x+1) dx         B.dy=cos⁡( x²+3x+1).( 2x+3) dx

C.dy= -cos⁡( x²+3x+1).( 2x+3) dx         D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=cos⁡( x²+3x+1).(x²+3x+1)'= cos⁡( x²+3x+1).( 2x+3)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d[sin( x2 + 3x+ 1)]= cos⁡( x²+3x+1).( 2x+3) dx

chọn B.

Ví dụ 8. Tìm vi phân của hàm số y= ( x² – 1) . sin x.

A. dy= [2x.sinx+(x²-1).cosx] dx         B. dy= [-2x.sinx+(x²-1).cosx] dx

C.dy= [2x.sinx-(x²-1).cosx] dx         D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số:

y'=( x²-1)'.sinx+(x²-1).( sinx)'

⇒y'=2x.sinx+(x²-1).cosx

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy=d(x² – 1) . sin x= [2x.sinx+(x²-1).cosx] dx

Chọn A.

Ví dụ 9. Tìm vi phân của hàm số: y=(√(x²-1)-1)(x²-2x)

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x> 1 hoặc x < - 1 ( khi đó x²-1> 0 )

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

Ví dụ 10. Tìm dy của hàm số: y= tan( x²+ 2x). cotx.

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

Ví dụ 11. Tìm dy của hàm số : y= sin2x/cos⁡( 3x+1)

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

Ví dụ 12. Tìm dy của hàm số: cos( √(( x-1)⁴-1 )+x+1)

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= -sin⁡( √(( x-1)⁴-1 )+x+1).(√(( x-1)⁴-1 )+x+1)'

Ví dụ 13. Tìm vi phân của hàm số y= cos( sin( 2x+ 1) )

A. - sin⁡(sin⁡(2x+1) ).cos⁡(2x+1) dx

B. -2 sin⁡(sin⁡(2x+1) ).cos⁡(2x+1) dx

C. sin⁡(sin⁡(2x+1) ).cos⁡(2x+1) dx

D. 2 sin⁡(sin⁡(2x+1) ).cos⁡(2x+1) dx

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là :

y'=-sin⁡(sin⁡(2x+1 ) ).[sin⁡( 2x+1)]'

⇒ y'= -sin⁡(sin⁡(2x+1) ).2cos⁡(2x+1)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d[ cos(sin ( 2x+ 1) )]= -2 sin⁡(sin⁡(2x+1) ).cos⁡(2x+1) dx

chọn B.

Ví dụ 14. Tìm vi phân của hàm số:y= [x²+x+ sin⁡( 2x-3)]³

A. dy = 3.[x²+x+ sin⁡( 2x-3)]².( 2x+1+2 cos⁡( 2x- 3) ) dx

B. dy = [x²+x+ sin⁡( 2x-3)]².( 2x+1+2 cos⁡( 2x- 3) ) dx

C. dy = 3.[x²+x+ sin⁡( 2x-3)]².( 2x+1+cos⁡( 2x- 3) ) dx

D. Tất cả sai .

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=3.[x²+x+ sin⁡( 2x-3)]².[x²+x+ sin⁡( 2x-3)]'

⇔ y'=3.[x²+x+ sin⁡( 2x-3)]².( 2x+1+2 cos⁡( 2x- 3) )

Vi phân của hàm số đã cho là :

dy = 3.[x²+x+ sin⁡( 2x-3)]².( 2x+1+2 cos⁡( 2x- 3) ) dx

Chọn A.

Ví dụ 15. Tìm vi phân của hàm số : y= sin4 (x²+ 2x+ 2)

A. dy= 2sin³ (x²+2x+2)( 2x+2).dx

B. dy= 4sin³ (x²+2x+2)( x+1).dx

C. dy= 4sin³ (x²+2x+2)( 2x+2).dx

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= 4sin³ (x²+2x+2).( x²+2x+2)'= 4sin³ (x²+2x+2)( 2x+2)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là :

dy= 4sin³ (x²+2x+2)( 2x+2).dx

chọn C.

Ví dụ 16. Vi phân của hàm số y= x⁴ – 3x² + 10 tại điểm x= 1, ứng với ∆ x= 0,1 là:

A. -0,2 B. 0,4 C. 0,1 D. -0,2

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=4x³-6x

⇒ y' (1)= -2

⇒ Vi phân của hàm số đã cho tại điểm x= 1 và ∆ x= 0, 1 là :

dy= y' (1).∆ x = - 2. 0,1= - 0,2

chọn A

Ví dụ 17. Cho hàm số; y= (x+2)/(2x-4). Vi phân của hàm số tại x= 1 là?

A. dy= - dx         B. dy= -2dx         C. dy= 3dx         D. dy= 4dx

Hướng dẫn giải

Tại các điểm x≠2; hàm số có đạo hàm:

Ví dụ 18. Cho hàm số y= sin( 2x- π/3) . Tính vi phân của hàm số tại x= π/2 và ∆ x= 0,2

A. – 0, 4         B. -0,1         C . -0, 2         D. 0, 2

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là :

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y= 2x⁴ +x³+ x . Tìm vi phân của hàm số

A. dy = 8x³ + 3x²+ 1

B. dy = ( 8x⁴ + 3x+ 1).dx

C. dy = ( 8x³ + 3x²+ 1).dx

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm và y'= 8x³ + 3x² + 1

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là :

dy = d(2x⁴ +x³ + x)= (8x³ + 3x² + 1).dx

Chọn C.

Câu 2: Cho hàm số y= √(x³- 2x²+1) . Tìm dy?

Lời giải:

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x³ – 2x² + 1 >0

Tại các diểm đó hàm số có đạo hàm là:

Câu 3: Cho hàm số y= cos( 2x- x²)+ sin (3x- 5). Tìm vi phân của hàm số?

A.dy =[(2-2x) sin⁡( 2x- x² )+3cos⁡( 3x-5)] dx

B. dy =[-(2-2x) sin⁡( 2x- x² )+3cos⁡( 3x-5)] dx

C. dy =[-(2-2x) sin⁡( 2x- x² )-3cos⁡( 3x-5)] dx

D. dy=[-(2-2x) cos⁡( 2x- x² )+3cos⁡( 3x-5)] dx

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định và có đạo hàm tại mọi điểm.

Đạo hàm của hám số là

y'= -sin⁡(2x- x² ) ( 2x- x² )'+cos⁡( 3x-5).(3x-5)'

⇔y'= -(2-2x) sin⁡( 2x- x² )+3cos⁡( 3x-5)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là ;

dy= d[ cos(2x- x2)+ sin( 3x- 5) ] =[-(2-2x) sin⁡( 2x- x² )+3cos⁡( 3x-5)] dx

Chọn B.

Câu 4: Tìm vi phân của hàm số: y= (2x+1)/( x²-2x+3)?

Lời giải:

Ta có: x² -2x+3= (x-1)² +2 > 0 với mọi x.

Do đó; hàm số có đạo hàm với mọi x và đạo hàm:

Câu 5: Tìm vi phân của hàm số: y=(x²+x-1)/(x+1)?

Lời giải:

Điều kiện xác định: x≠-1

Với x≠-1 hàm số có đạo hàm là;

Câu 6: Tìm vi phân của hàm số: y= (x⁴-2x²+1)³

A. dy= 3.(x⁴-2x²+1)².(x³-2x).dx

B. dy= 3.(x⁴-2x²+1)².(4x³-4x).dx

C. dy=3.(x⁴-2x²+1)².dx

D. Đáp án khác

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= 3(x⁴-2x²+1)² (x⁴-2x²+1) '

⇔ y^'=3.(x⁴-2x²+1)².(4x³-4x)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d((x⁴-2x²+1)³ )=3.(x⁴-2x²+1)².(4x³-4x).dx

chọn B.

Câu 7: Tìm vi phân của hàm số y= sin( x³ + x+ √x) .

Lời giải:

y'=cos⁡( x³+x+√x).(x³+x+√x)'= cos⁡( x³+x+√x).( 3x²+1+1/(2√x))

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d[sin( x³ + x+ √x)]= cos⁡( x³+x+√x).( 3x²+1+1/(2√x)) dx

chọn A.

Câu 8: Tìm vi phân của hàm số y= ( x +2) . ( 3- sin x)

A. dy= [3- sinx – ( x+2).cosx] dx         B. dy= [-2sinx+(x+2).cosx] dx

C.dy=[3- sinx + ( x+2).cosx] dx         D. Đáp án khác

Lời giải:

y'=( x+2)'.( 3- sinx)+(x+2).(3- sinx)'

⇔ y'=1.(3-sinx)+(x+2).( -cosx) = 3- sinx – ( x+2).cosx

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy=d(x+ 2) .( 3- sin x)= [3- sinx – ( x+2).cosx] dx

Chọn A.

Câu 9: Tìm vi phân của hàm số: y=√(x+2.) (x²-2)

Lời giải:

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x > - 2

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

y'=( √(x+2))' ( x²-2)+ ( √(x+2)).( x²-2)'

Câu 10: Tìm dy của hàm số: y= tan( 2+ 2x). cot3x.

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

y'=[tan⁡( 2+2x) ]'.cot3x+tan⁡(2+2x).( cot3x)'

Câu 11: Tìm dy của hàm số : y= sin2x/cos⁡4x

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

Câu 12: Tìm dy của hàm số: cos( √(( x+2)³ )+2x)?

Lời giải:

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

Câu 13: Tìm vi phân của hàm số y= sin( sin(x²+ 2x) )

A. dy= -cos⁡(sin⁡(x²+2x) ).cos⁡(x²+2x).( 2x+2)dx

B. dy= cos⁡(sin⁡(x²+2x) ).cos⁡(x²+2x).( x+2).dx

C.dy= 2cos⁡(sin⁡(x²+2x) ).sin⁡(x²+2x).( x+1).dx

D.Đáp án khác

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là :

y^'=cos⁡(sin⁡(x²+ 2x ) ).[sin⁡(x²+ 2x)]'

⇔ y'= cos⁡(sin⁡(x²+2x) ).cos⁡(x²+2x).( 2x+2)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d[ sin(sin ( x²+ 2x) )]=cos⁡(sin⁡(x²+2x) ).cos⁡(x²+2x).( 2x+2)dx

chọn B.

Câu 14: Tìm vi phân của hàm số:y= [x²-1+ sin⁡( x+1)]⁴

A. dy =4.[x²-1+ sin⁡( x+1)]³.( 2x-cos⁡( x+1) )dx

B. dy =- 2.[x²-1+ sin⁡( x+1)]³.( 2x+cos⁡( x+1) )dx

C. dy =4.[x²-1+ sin⁡( x+1)]³.( 2x+cos⁡( x+1) )dx

D. Tất cả sai

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=4.[x²-1+ sin⁡( x+1)]³.[x²-1+ sin⁡( x+1)]'

⇔ y'=4.[x²-1+ sin⁡( x+1)]³.( 2x+cos⁡( x+1) )

Vi phân của hàm số đã cho là :

dy =4.[x²-1+ sin⁡( x+1)]³.( 2x+cos⁡( x+1) )dx

Chọn C.

Câu 15: Tìm vi phân của hàm số : y= sin³(x²+ 2√x)

Lời giải:

Câu 16: Vi phân của hàm số y= 2x³ +2x² + 6 tại điểm x= -2, ứng với ∆ x= 0,2 là:

A. 3,2         B. 3,4         C. 2,4         D. 1,2

Lời giải:

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=6x²+4x

⇒ y' (-2)= 16

⇒ Vi phân của hàm số đã cho tại điểm x= -2 và ∆ x= 0,2 là :

dy= y' (-2).∆ x = 16. 0,2= 3,2

Chọn A

Câu 17: Cho hàm số; y= (2x-4)/(x+1). Vi phân của hàm số tại x= 0 là?

A. dy= 6dx         B. dy= -2dx         C. dy= 3dx         D. dy= 4dx

Lời giải:

Tại các điểm x≠-1 ; hàm số có đạo hàm:

⇒ y' (0)= 6

⇒ Vi phân của hàm số tại x = 0 là dy= 6dx

Chọn A.

Câu 18: Cho hàm số y= sin( 4x- π/4) . Tính vi phân của hàm số tại x= π/4 và ∆ x= -0,1

A. – 0,4. √2         B. -0,1.√2         C .0,2.√2         D. 0,2

Lời giải:

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là :

---