Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay

Bài viết Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác.

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay

A. Phương pháp giải

+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số .

+ Bước 2: Thiết lập phương trình; bất phương trình

+ Bước 3: Áp dụng cách giải phương trình ; bất phương trình lượng giác đã được học

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho f(x)= sin 2x. Giải phương trình f' ( x)=0?

Hướng dẫn giải

+ Ta có đạo hàm: f,m ' (x)=2cos2x

+ Để f' ( x)=0 ⇔ 2.cos2x= 0 hay cos2x= 0

Ví dụ 2.Cho hàm số; y=tan⁡( x+ π/3). Giải bất phương trình y’> 0.

A. x≠π/6+kπ        B. x≠π/6+k2π        C. x≠π/3+kπ        D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Điều kiện : x+ π/3≠π/2+kπ hay x≠π/6+kπ

+ Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có đạo hàm:

Ví dụ 3. Cho hàm số: y= sinx+ cosx. Tìm nghiệm của phương trình y'=0

Hướng dẫn giải

Ví du 4. Cho hàm số: y= tanx+ cot x. Giải phương trình y'=0

Hướng dẫn giải

Ví du 5. Cho hàm số: y=2 cos⁡( 2x- π/3). Giải phương trình y'=4

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho :

Ví dụ 6 Cho hàm số y= x+ sin 2x. Giải phương trình y'= 0

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số là : y'=1+2cos2x

Ví dụ 7.Cho hàm số y= 3x+ 1 – cos2x. Tập nghiệm của bất phương trình y'>0

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có đạo hàm: y'=3+2sin2x

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤sin⁡2x ≤1 ⇔ - 2 ≤2sin2x ≤2

⇔ ≤3+2sin2x ≤5

⇒ Với mọi x ta luôn có: y'>0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là R.

Chọn D.

Ví dụ 8. Cho hàm số y=x³+ 3x+ sin³ x. Giải bất phương trình y' ≥0

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm: y'=3x²+ 3+ 3sin²x. cosx

Với mọi x ta có; cosx ≥ - 1 ⇒ 3sin² x.cosx ≥ - 3.sin² x

⇒ 3+ 3sin²x.cosx ≥ 3- 3.sin² x ⇔ 3+ 3sin²x.cosx ≥ 3.cos²x ( 1)

Lại có 3x² ≥0 ∀ x (2)

Từ( 1) và ( 2) vế cộng vế ta có:

y'=3x²+ 3+ 3sin²x. cosx ≥3x²+3cos² x ≥0 với mọi x.

Vậy với mọi x ta luôn có: y' ≥0

Chọn C.

Ví dụ 9. Cho hàm số y= cos( 2π/3+2x) . Khi đó phương trình y'=0 có nghiệm là:

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ví dụ 10.Cho hàm số y= cot² π/4. Khi đó nghiệm của phương trình y'=0 là:

Hướng dẫn giải

Ví dụ 11.Cho hàm số : y= 2cos3x- 3sin2x. Giải phương trình y'= 0

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm : y'= -6 sin⁡3x-6cos2x

Để y'= 0 thì – 6 sin 3x - 6 cos2x= 0

⇔sin3x+ cos2x= 0 ⇔ sin3x= - cos2x

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho f(x)= sin( π/2-3x). Giải phương trình f' ( x)=0?

Lời giải:

Câu 2: Cho hàm số y=tan⁡( 2x+ 2π/3). Giải bất phương trình y’> 0

Lời giải:

Câu 3: Cho hàm số: y=2sinx - 2cosx + 10. Tìm nghiệm của phương trình y'=0

Lời giải:

Câu 4: Cho hàm số: y= 2tan3x + 3cot 2x+ 90. Giải phương trình y'=0

Lời giải:

Câu 5: Cho hàm số: y=(- 1)/2 cos⁡( 4x- π/6). Giải phương trình y'=1

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho :

Câu 6: Cho hàm số y= 2x+ 1+ cos2x. Giải phương trình y'= 2

A. x=π/3+kπ        B. x=π/6+kπ        C. x=kπ/2        D. x=kπ

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số là : y'=2-2sin2x

Để y^'=2 khi và chỉ khi: 2- 2sin 2x = 2

⇔ sin2x= 0 ⇔2x= kπ ⇔ x= kπ/2

Chọn C.

Câu 7: Cho hàm số y= x³ +3x + sin3x. Tập nghiệm của bất phương trình y^' ≤0

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có đạo hàm: y'=3x²+3+3cos3x

Với mọi x ta luôn có: cos3x ≥ -1 nên 3cos3x ≥ -3

⇒ 3+ 3cos3x ≥0 ( 1)

Mà 3x2 ≥0 với mọi x. ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra; y'=3x²+3+3cos3x ≥0

⇒Để y'≤0 khi và chỉ khi 3x²+3+3cos3x=0

Vậy nghiệm của bất phương trình y'≤0 là x= 0

Chọn B. .

Câu 8: Cho hàm số y= x + √x+ sin² x. Giải bất phương trình y'≥0

Lời giải:

Điều kiện: x ≥0

Taị các điểm x > 0 hàm số đã cho có đạo hàm:

Câu 9: Cho hàm số: y= cos ( 2x- π/3) . sin (2x- π/4) . Giải phương trình y’= 2

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là ;

Câu 10: Cho hàm số y= tan( x³ + 3x²+ 3x+ 9). Giải phương trình y'=0?

A. x= 0        B. x = 2        C. x= -1        D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Điều kiện cos⁡( x³+3x²+3x+9)≠0

+ Tại các điểm x thỏa mãn điều kiện xác định; hàm số có đạo hàm :

+ Với x= -1 ta có: cos⁡( x³+3x²+3x+9)=cos⁡8≠0 ( thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy nghiệm của phương trình y’= 0 là x= - 1

Chọn C.

---