Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác - Toán lớp 11

Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác

A. Phương pháp giải

+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số .

+ Bước 2: Thiết lập phương trình; bất phương trình

+ Bước 3: Áp dụng cách giải phương trình ; bất phương trình lượng giác đã được học

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho f(x)= sin 2x. Giải phương trình f' ( x)=0?

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

+ Ta có đạo hàm: f,m ' (x)=2cos2x

+ Để f' ( x)=0 ⇔ 2.cos2x= 0 hay cos2x= 0

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Ví dụ 2.Cho hàm số; y=tan⁡( x+ π/3). Giải bất phương trình y’> 0.

A. x≠π/6+kπ        B. x≠π/6+k2π        C. x≠π/3+kπ        D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Điều kiện : x+ π/3≠π/2+kπ hay x≠π/6+kπ

+ Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có đạo hàm:

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Ví dụ 3. Cho hàm số: y= sinx+ cosx. Tìm nghiệm của phương trình y'=0

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Ví du 4. Cho hàm số: y= tanx+ cot x. Giải phương trình y'=0

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Ví du 5. Cho hàm số: y=2 cos⁡( 2x- π/3). Giải phương trình y'=4

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho :

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Ví dụ 6 Cho hàm số y= x+ sin 2x. Giải phương trình y'= 0

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số là : y'=1+2cos2x

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Ví dụ 7.Cho hàm số y= 3x+ 1 – cos2x. Tập nghiệm của bất phương trình y'>0

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có đạo hàm: y'=3+2sin2x

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤sin⁡2x ≤1 ⇔ - 2 ≤2sin2x ≤2

⇔ ≤3+2sin2x ≤5

⇒ Với mọi x ta luôn có: y'>0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là R.

Chọn D.

Ví dụ 8. Cho hàm số y=x3+ 3x+ sin3 x. Giải bất phương trình y' ≥0

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm: y'=3x2+ 3+ 3sin2x. cosx

Với mọi x ta có; cosx ≥ - 1 ⇒ 3sin2 x.cosx ≥ - 3.sin2 x

⇒ 3+ 3sin2x.cosx ≥ 3- 3.sin2 x ⇔ 3+ 3sin2x.cosx ≥ 3.cos2x ( 1)

Lại có 3x2 ≥0 ∀ x (2)

Từ( 1) và ( 2) vế cộng vế ta có:

y'=3x2+ 3+ 3sin2x. cosx ≥3x2+3cos2 x ≥0 với mọi x.

Vậy với mọi x ta luôn có: y' ≥0

Chọn C.

Ví dụ 9. Cho hàm số y= cos( 2π/3+2x) . Khi đó phương trình y'=0 có nghiệm là:

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Chọn B.

Ví dụ 10.Cho hàm số y= cot2 π/4. Khi đó nghiệm của phương trình y'=0 là:

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Ví dụ 11.Cho hàm số : y= 2cos3x- 3sin2x. Giải phương trình y'= 0

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm : y'= -6 sin⁡3x-6cos2x

Để y'= 0 thì – 6 sin 3x - 6 cos2x= 0

⇔sin3x+ cos2x= 0 ⇔ sin3x= - cos2x

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho f(x)= sin( π/2-3x). Giải phương trình f' ( x)=0?

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Câu 2: Cho hàm số y=tan⁡( 2x+ 2π/3). Giải bất phương trình y’> 0

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Câu 3: Cho hàm số: y=2sinx - 2cosx + 10. Tìm nghiệm của phương trình y'=0

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Câu 4: Cho hàm số: y= 2tan3x + 3cot 2x+ 90. Giải phương trình y'=0

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Câu 5: Cho hàm số: y=(- 1)/2 cos⁡( 4x- π/6). Giải phương trình y'=1

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Đạo hàm của hàm số đã cho :

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Câu 6: Cho hàm số y= 2x+ 1+ cos2x. Giải phương trình y'= 2

A. x=π/3+kπ        B. x=π/6+kπ        C. x=kπ/2        D. x=kπ

Đạo hàm của hàm số là : y'=2-2sin2x

Để y^'=2 khi và chỉ khi: 2- 2sin 2x = 2

⇔ sin2x= 0 ⇔2x= kπ ⇔ x= kπ/2

Chọn C.

Câu 7: Cho hàm số y= x3 +3x + sin3x. Tập nghiệm của bất phương trình y^' ≤0

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có đạo hàm: y'=3x2+3+3cos3x

Với mọi x ta luôn có: cos3x ≥ -1 nên 3cos3x ≥ -3

⇒ 3+ 3cos3x ≥0 ( 1)

Mà 3x2 ≥0 với mọi x. ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra; y'=3x2+3+3cos3x ≥0

⇒Để y'≤0 khi và chỉ khi 3x2+3+3cos3x=0

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Vậy nghiệm của bất phương trình y'≤0 là x= 0

Chọn B. .

Câu 8: Cho hàm số y= x + √x+ sin2 x. Giải bất phương trình y'≥0

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Điều kiện: x ≥0

Taị các điểm x > 0 hàm số đã cho có đạo hàm:

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Câu 9: Cho hàm số: y= cos ( 2x- π/3) . sin (2x- π/4) . Giải phương trình y’= 2

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Đạo hàm của hàm số đã cho là ;

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

Câu 10: Cho hàm số y= tan( x3 + 3x2+ 3x+ 9). Giải phương trình y'=0?

A. x= 0        B. x = 2        C. x= -1        D. Đáp án khác

+ Điều kiện cos⁡( x3+3x2+3x+9)≠0

+ Tại các điểm x thỏa mãn điều kiện xác định; hàm số có đạo hàm :

 Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác | Toán lớp 11

+ Với x= -1 ta có: cos⁡( x3+3x2+3x+9)=cos⁡8≠0 ( thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy nghiệm của phương trình y’= 0 là x= - 1

Chọn C.

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.