Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số (hay, chi tiết)

Bài viết Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số.

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số (hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

+ Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại trên khoảng (a ;b). Nếu hàm số y’= f’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y= f(x) và được kí hiệu là y'' hay f'' (x), tức là: f''=(f')' .

+Đạo hàm cấp n: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm cấp n-1 (với n thuộc số tự nhiên ,n ≥ 2) là f^(n-1)(x). Nếu f^(n-1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số

y= f(x) và được kí hiệu là f⁽ⁿ⁾, tức là: f^{((n) )} (x)=(f^{((n-1) )} (x))'

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số sau y= x¹⁰ + 9x² + 8x+ 10

A. 90x⁸ +1 8        B. 10x⁹ + 18x        C. 9x⁸+ 18        D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= 10x⁹+ 18x + 8

⇒ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=(10x⁹+18x+8)' = 90x⁸+ 18

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= x⁸+ x⁴+x+ √x

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm nếu x< 0.

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:

Ví dụ 3. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= sin (3x – 1)

A. – 27cos( 3x- 1)        B. 27.cos(3x- 1)

C. 9.sin( 3x- 1)        D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số đã cho là: y'=3 cos⁡(3x-1)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là; y''=[ 3.cos⁡( 3x-1) ]'= -9 sin⁡( 3x-1)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là y'''=[ -9 sin⁡(3x-1) ]'= -27 cos⁡(3x-1)

Chọn A.

Ví dụ 4. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= cos ( 2x+ x²)

A. - [ cos( 2x+ x² )( 2+ 2x)² + 2sin ( 2x+ x² )]

B. cos( 2x+ x² )( 2+ 2x)² + 2sin ( 2x+ x² )

C. - [ cos( 2x+ x² )( 2+ 2x)² - 2sin ( 2x+ x² )]

D. - [ cos( 2x+ x² )( 2+ 2x)² + sin ( 2x+ x² )]

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= -sin⁡(2x+ x² ).( 2x+ x² )'= -sin⁡( 2x+ x² ).( 2+2x)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=[- sin⁡( 2x+ x² ).( 2+2x)]'

=-{[sin⁡( 2x+ x² ) ]'.( 2+2x)+sin⁡( 2x+ x² ).(2+2x)'}

= -{ cos(2x+ x²).(2x+ x²) '( 2+ 2x)+ sin (2x+ x²).2 }

= - [ cos( 2x+ x² )( 2+ 2x)² + 2sin ( 2x+ x² )]

Chọn A.

Ví dụ 5. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= (x-1)/(3x-6)?

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠2. Khi đó; đạo hàm cấp một của hàm số là

Ví dụ 6 : Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= ( 2x+ x²)( x² – 1)

A. 12+ 24x        B. 12x² + 12x- 2        C. 12x+ 24        D. 6x+ 12

Hướng dẫn giải

Ta có: y=( 2x+ x²) ( x² -1)= 2x³

-2x + x4 – x2

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=6x²-2+4x³-2x

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''=(6x²-2+4x³-2x)'=12x+12x²-2

+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''=( 12x+12x²-2)'=12+24x

Chọn A.

Ví dụ 7: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= √(x²-1)

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm khi x > 1 hoặc x < -1( khi đó x² -1> 0)

Ví dụ 8 : Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= sin( 2x- 1) – cos (2x- 4)

A. y’’= - 4sin( 2x- 1)+ 4 cos( 2x-4)        B. y’’= - 4sin( 2x- 1)- 4 cos( 2x-4)

C. y’’= 4sin( 2x- 1)- 4 cos( 2x-4)        D.y’’= 4sin( 2x- 1)+ 4 cos( 2x-4)

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số là; y'=2 cos⁡( 2x-1)+2sin⁡( 2x-4)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=[2 cos⁡( 2x-1)+2 sin⁡( 2x-4)]' = - 4sin( 2x- 1)+ 4 cos( 2x-4)

Chọn A.

Ví dụ 9: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= ( x²+1)³ .

A. 3 .( x²+1) ²+6x² (x²+1)        B. 3 .( x²+1) ²+12x² (x²+1)

C. 6 .( x²+1) ²-12x² (x²+1)        D. 6 .( x²+1) ²+24x² (x²+1)

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=3(x²+1) ².(x²+1)^'=6x.( x²+1) ²

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=6 .( x²+1) ²+6x.[( x²+1) ²]'

= 6 .( x²+1) ²+6x.2(x²+1).( x²+1)'

= 6 .( x²+1) ²+24x² (x²+1)

Chọn D.

Ví dụ 10 : Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= √(x³+ 2x² )

Hướng dẫn giải

Ví dụ 11. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= tan2x

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=2( 1+tan² 2x )

Đạ hàm cấp hai của hàm số là:

y''=2.( 1+tan² 2x )’= 2.2. tan²x. ( tan²x)’

=4tan² x( 1+ tan²2x) . ( 2x)’= 8tan²x( 1+ tan²2x) = 8.tan²x+ 8tan³2x

Đạo hàm cấp ba của hàm số là:

Ví dụ 12: Tính đạo hàm cấp bốn của hàm số y= 1/x

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại điểm x≠0

Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'= (- 1)/x²

Ví dụ 13: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= 1/(x²-5x+6)

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠2;x≠3

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số sau y= x⁹ – x⁴ + 8x²+ 3

A. 504x⁶ - 24x        B. 72x⁶ - 24x+ 3        C. 72x⁷ - 24x+ 3        D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= 9x⁸ -4x³ + 16x

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=(9x⁸-4x³+16x)' = 72x⁷ – 12x² + 16

+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là :

y'''=504x⁶-24x

Chon A.

Câu 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= x⁷-2x²+9x+ 2√x

Lời giải:

Hàm số có đạo hàm nếu x > 0.

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là

Câu 3: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y=2 cos ( 10- 2x)

A. –16 sin( 10- 2x)        B. – 16 cos( 10- 2x)

C. - 8.sin( 10- 2x)        D.Đáp án khác

Lời giải:

Đạo hàm cấp một của hàm số đã cho là: y^'=4sin⁡( 10-2x)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là; y''=[ 4.sin⁡( 10-2x)]'= -8 cos⁡( 10-2x)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là y''^'=[-8 cos⁡( 10-2x) ]'= -16 sin⁡( 10-2x)

Chọn A.

Câu 4: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= sin ( x2- 9)

A. 4x². sin( x² – 9) - 2.cos( x² – 9)

B. - 2x². sin( x² – 9)+ 2.cos( x² – 9)

C. - 4x². sin( x² – 9)+ 2.cos( x² – 9)

D. Đáp án khác

Lời giải:

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'=cos⁡( x²-9).( x²-9)'=cos⁡( x²-9).2x

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=[cos⁡( x²-9) ]'.2x+cos⁡( x²-9).( 2x)'

⇔y''=-2x.sin⁡( x²-9).2x+2 cos⁡( x²-9) = - 4x². sin( x² – 9)+ 2.cos( x²– 9)

Chọn C.

Câu 5: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= (x+3)/(x-6)?

Lời giải:

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠6. Khi đó; đạo hàm cấp một của hàm số là :

Câu 6: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= (x³ – 1) (x+1)

A. 12+ 24x        B. 24x+ 6        C. 12x+ 24        D. 24x+ 12

Lời giải:

Ta có: y = ( x³ – 1)( x+1)= x⁴ + x³ – x- 1

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=4x³+3x²-1

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''=(4x³+ 3x²-1)'=12x²+6x

+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''=( 12x²+6x)'=24x+6

Chọn B.

Câu 7: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y=x.sinx

A. cosx + x. sinx        B. 2sinx+ x. cosx

C. 2cosx- x. sinx        D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'=( x)'.sinx+x.( sinx)' = sinx+ x.cosx

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''= ( sinx+ x. cosx)'=cosx+(x)'.cosx+x.(cos⁡x )'

=cosx+cosx-x.sinx=2.cosx-x.sinx

Chọn C

Câu 8: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= 3cos( x+ 1) - 8. sin( 3x+ 10)

A. y''= -3 cos⁡( x+1)+72 sin⁡( 3x+10)

B. y''= -3 cos⁡( x+1)+36 sin⁡( 3x+10)

C.y''= -3 cos⁡( x+1) -72sin⁡( 3x+10)

D. tất cả sai

Lời giải:

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= -3 sin⁡( x+1)-24 cos⁡( 3x+10)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''= -3 cos⁡( x+1)+72 sin⁡( 3x+10)

Chọn A.

Câu 9: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= ( x³+2x-1)² .

A. y''=( 3x²+2)( 6x²+4)- ( x³+2x-1).12x

B. y''=( 3x²+2)( 3x²+2)+( x³+2x-1).12x

C. y''=( 3x²+2)( 6x²+4)+( x³+2x-1).12x

D. Tất cả sai

Lời giải:

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'=2( x³+2x-1).( x³+2x-1)^'

=2.(x³+2x-1).( 3x²+2)=(x³+2x-1).( 6x²+4)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=( x³+2x-1)' ( 6x²+4)+( x³+2x-1).( 6x²+4)'

⇔ y''=( 3x²+2)( 6x²+4)+( x³+2x-1).12x

Chọn C.

Câu 10: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= √(2x+1)+x²

Lời giải:

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x > 1/2

Câu 11: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y=cot( 2- 2x)

Lời giải:

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'=-[1+cot² ( 2- 2x)]( 2-2x)'= 2[1+ cot² ( 2-2x)] )

Đạ hàm cấp hai của hàm số là:

y''=2 [1+cot² (2- 2x)]’ = 2.2. cot (2- 2x). [cot⁡( 2-2x)]'

y''=4 cot⁡( 2-2x).[-1( 1+ cot² ( 2-2x)].( 2-2x)'

⇔ y''=8 cot⁡( 2-2x) [1+ cot² ( 2-2x)] = 8cot( 2- 2x)+ 8cot³( 2- 2x)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là:

y'''=(8 cot⁡( 2- 2x)+8cot³ ( 2- 2x)) '

Câu 12: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= 1/(2x-2)

Lời giải:

Hàm số có đạo hàm tại điểm x≠1

Câu 13: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos( x²+x+ 1)

A. y''= -cos⁡( x²+x+1).( 2x+1) ² – 2 sin( x² + x+ 1)

B. y''= cos⁡( x²+x+1).( 2x+1) ² + 2 sin( x² + x+ 1)

C. y''= -cos⁡( x²+x+1).( 2x+1) ² - sin( x² + x+ 1)

D. Tất cả sai

Lời giải:

Đạo hàm cáp một của hàm số là:

y'= -sin⁡( x²+x+1).( x²+x+1)'= -sin⁡(x²+x+1).( 2x+1)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là;

y''=[-sin⁡( x²+x+1) ]'.(2x+1)+[-sin⁡(x²+x+1) ].( 2x+1)'

⇔ y''= -cos⁡( x²+x+1).( 2x+1) ² – 2 sin( x² + x+ 1)

Chọn A

Câu 14: Tính đạo hàm cấp 4 của hàm số; y=(x²+x+1)/(x+1)

Lời giải:

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x≠-1

Câu 15: Cho hàm số: y=sin⁡(3x- π/3). Tính đạo hàm cấp năm của hàm số

Lời giải:

Đạo hàm cấp một là; y'=3.cos⁡( 3x- π/3)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''=-9.sin⁡( 3x- π/3)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''=-27.cos⁡( 3x- π/3)

Đạo hàm cấp bốn của hàm số: y^{(( 4))}=81 sin⁡( 3x- π/3)

Đạo hàm cấp năm của hàm số: y⁽⁽⁵⁾⁾=243.cos⁡( 3x- π/3)

Chọn C.

---