Đạo hàm cấp cao của hàm số - Toán lớp 11

Đạo hàm cấp cao của hàm số

A. Phương pháp giải

+ Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại trên khoảng (a ;b). Nếu hàm số y’= f’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y= f(x) và được kí hiệu là y'' hay f'' (x), tức là: f''=(f')' .

+Đạo hàm cấp n: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm cấp n-1 (với n thuộc số tự nhiên ,n ≥ 2) là f(n-1)(x). Nếu f(n-1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số

y= f(x) và được kí hiệu là f(n), tức là: f((n) ) (x)=(f((n-1) ) (x))'

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số sau y= x10 + 9x2 + 8x+ 10

A. 90x8 +1 8        B. 10x9 + 18x        C. 9x8+ 18        D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= 10x9+ 18x + 8

⇒ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=(10x9+18x+8)' = 90x8+ 18

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= x8+ x4+x+ √x

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm nếu x< 0.

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Ví dụ 3. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= sin (3x – 1)

A. – 27cos( 3x- 1)        B. 27.cos(3x- 1)

C. 9.sin( 3x- 1)        D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số đã cho là: y'=3 cos⁡(3x-1)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là; y''=[ 3.cos⁡( 3x-1) ]'= -9 sin⁡( 3x-1)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là y'''=[ -9 sin⁡(3x-1) ]'= -27 cos⁡(3x-1)

Chọn A.

Ví dụ 4. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= cos ( 2x+ x2)

A. - [ cos( 2x+ x2 )( 2+ 2x)2 + 2sin ( 2x+ x2 )]

B. cos( 2x+ x2 )( 2+ 2x)2 + 2sin ( 2x+ x2 )

C. - [ cos( 2x+ x2 )( 2+ 2x)2 - 2sin ( 2x+ x2 )]

D. - [ cos( 2x+ x2 )( 2+ 2x)2 + sin ( 2x+ x2 )]

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= -sin⁡(2x+ x2 ).( 2x+ x2 )'= -sin⁡( 2x+ x2 ).( 2+2x)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=[- sin⁡( 2x+ x2 ).( 2+2x)]'

=-{[sin⁡( 2x+ x2 ) ]'.( 2+2x)+sin⁡( 2x+ x2 ).(2+2x)'}

= -{ cos(2x+ x2).(2x+ x2) '( 2+ 2x)+ sin (2x+ x2).2 }

= - [ cos( 2x+ x2 )( 2+ 2x)2 + 2sin ( 2x+ x2 )]

Chọn A.

Ví dụ 5. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= (x-1)/(3x-6)?

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠2. Khi đó; đạo hàm cấp một của hàm số là

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Ví dụ 6 : Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= ( 2x+ x2)( x2 – 1)

A. 12+ 24x        B. 12x2 + 12x- 2        C. 12x+ 24        D. 6x+ 12

Hướng dẫn giải

Ta có: y=( 2x+ x2) ( x2 -1)= 2x3

-2x + x4 – x2

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=6x2-2+4x3-2x

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''=(6x2-2+4x3-2x)'=12x+12x2-2

+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''=( 12x+12x2-2)'=12+24x

Chọn A.

Ví dụ 7: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= √(x2-1)

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm khi x > 1 hoặc x < -1( khi đó x2 -1> 0)

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Ví dụ 8 : Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= sin( 2x- 1) – cos (2x- 4)

A. y’’= - 4sin( 2x- 1)+ 4 cos( 2x-4)        B. y’’= - 4sin( 2x- 1)- 4 cos( 2x-4)

C. y’’= 4sin( 2x- 1)- 4 cos( 2x-4)        D.y’’= 4sin( 2x- 1)+ 4 cos( 2x-4)

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số là; y'=2 cos⁡( 2x-1)+2sin⁡( 2x-4)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=[2 cos⁡( 2x-1)+2 sin⁡( 2x-4)]' = - 4sin( 2x- 1)+ 4 cos( 2x-4)

Chọn A.

Ví dụ 9: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= ( x2+1)3 .

A. 3 .( x2+1) 2+6x2 (x2+1)        B. 3 .( x2+1) 2+12x2 (x2+1)

C. 6 .( x2+1) 2-12x2 (x2+1)        D. 6 .( x2+1) 2+24x2 (x2+1)

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=3(x2+1) 2.(x2+1)^'=6x.( x2+1) 2

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=6 .( x2+1) 2+6x.[( x2+1) 2]'

= 6 .( x2+1) 2+6x.2(x2+1).( x2+1)'

= 6 .( x2+1) 2+24x2 (x2+1)

Chọn D.

Ví dụ 10 : Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= √(x3+ 2x2 )

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Ví dụ 11. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= tan2x

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=2( 1+tan2 2x )

Đạ hàm cấp hai của hàm số là:

y''=2.( 1+tan2 2x )’= 2.2. tan2x. ( tan2x)’

=4tan2 x( 1+ tan22x) . ( 2x)’= 8tan2x( 1+ tan22x) = 8.tan2x+ 8tan32x

Đạo hàm cấp ba của hàm số là:

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Ví dụ 12: Tính đạo hàm cấp bốn của hàm số y= 1/x

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại điểm x≠0

Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'= (- 1)/x2

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Ví dụ 13: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= 1/(x2-5x+6)

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠2;x≠3

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số sau y= x9 – x4 + 8x2+ 3

A. 504x6 - 24x        B. 72x6 - 24x+ 3        C. 72x7 - 24x+ 3        D. Tất cả sai

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= 9x8 -4x3 + 16x

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=(9x8-4x3+16x)' = 72x7 – 12x2 + 16

+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là :

y'''=504x6-24x

Chon A.

Câu 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= x7-2x2+9x+ 2√x

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Hàm số có đạo hàm nếu x > 0.

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Câu 3: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y=2 cos ( 10- 2x)

A. –16 sin( 10- 2x)        B. – 16 cos( 10- 2x)

C. - 8.sin( 10- 2x)        D.Đáp án khác

Đạo hàm cấp một của hàm số đã cho là: y^'=4sin⁡( 10-2x)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là; y''=[ 4.sin⁡( 10-2x)]'= -8 cos⁡( 10-2x)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là y''^'=[-8 cos⁡( 10-2x) ]'= -16 sin⁡( 10-2x)

Chọn A.

Câu 4: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= sin ( x2- 9)

A. 4x2. sin( x2 – 9) - 2.cos( x2 – 9)

B. - 2x2. sin( x2 – 9)+ 2.cos( x2 – 9)

C. - 4x2. sin( x2 – 9)+ 2.cos( x2 – 9)

D. Đáp án khác

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'=cos⁡( x2-9).( x2-9)'=cos⁡( x2-9).2x

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=[cos⁡( x2-9) ]'.2x+cos⁡( x2-9).( 2x)'

⇔y''=-2x.sin⁡( x2-9).2x+2 cos⁡( x2-9) = - 4x2. sin( x2 – 9)+ 2.cos( x2– 9)

Chọn C.

Câu 5: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= (x+3)/(x-6)?

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠6. Khi đó; đạo hàm cấp một của hàm số là :

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Câu 6: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= (x3 – 1) (x+1)

A. 12+ 24x        B. 24x+ 6        C. 12x+ 24        D. 24x+ 12

Ta có: y = ( x3 – 1)( x+1)= x4 + x3 – x- 1

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=4x3+3x2-1

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''=(4x3+ 3x2-1)'=12x2+6x

+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''=( 12x2+6x)'=24x+6

Chọn B.

Câu 7: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y=x.sinx

A. cosx + x. sinx        B. 2sinx+ x. cosx

C. 2cosx- x. sinx        D. Đáp án khác

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'=( x)'.sinx+x.( sinx)' = sinx+ x.cosx

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''= ( sinx+ x. cosx)'=cosx+(x)'.cosx+x.(cos⁡x )'

=cosx+cosx-x.sinx=2.cosx-x.sinx

Chọn C

Câu 8: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= 3cos( x+ 1) - 8. sin( 3x+ 10)

A. y''= -3 cos⁡( x+1)+72 sin⁡( 3x+10)

B. y''= -3 cos⁡( x+1)+36 sin⁡( 3x+10)

C.y''= -3 cos⁡( x+1) -72sin⁡( 3x+10)

D. tất cả sai

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= -3 sin⁡( x+1)-24 cos⁡( 3x+10)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''= -3 cos⁡( x+1)+72 sin⁡( 3x+10)

Chọn A.

Câu 9: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= ( x3+2x-1)2 .

A. y''=( 3x2+2)( 6x2+4)- ( x3+2x-1).12x

B. y''=( 3x2+2)( 3x2+2)+( x3+2x-1).12x

C. y''=( 3x2+2)( 6x2+4)+( x3+2x-1).12x

D. Tất cả sai

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'=2( x3+2x-1).( x3+2x-1)^'

=2.(x3+2x-1).( 3x2+2)=(x3+2x-1).( 6x2+4)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=( x3+2x-1)' ( 6x2+4)+( x3+2x-1).( 6x2+4)'

⇔ y''=( 3x2+2)( 6x2+4)+( x3+2x-1).12x

Chọn C.

Câu 10: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= √(2x+1)+x2

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x > 1/2

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Câu 11: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y=cot( 2- 2x)

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'=-[1+cot2 ( 2- 2x)]( 2-2x)'= 2[1+ cot2 ( 2-2x)] )

Đạ hàm cấp hai của hàm số là:

y''=2 [1+cot2 (2- 2x)]’ = 2.2. cot (2- 2x). [cot⁡( 2-2x)]'

y''=4 cot⁡( 2-2x).[-1( 1+ cot2 ( 2-2x)].( 2-2x)'

⇔ y''=8 cot⁡( 2-2x) [1+ cot2 ( 2-2x)] = 8cot( 2- 2x)+ 8cot3( 2- 2x)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là:

y'''=(8 cot⁡( 2- 2x)+8cot3 ( 2- 2x)) '

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Câu 12: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= 1/(2x-2)

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Hàm số có đạo hàm tại điểm x≠1

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Câu 13: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos( x2+x+ 1)

A. y''= -cos⁡( x2+x+1).( 2x+1) 2 – 2 sin( x2 + x+ 1)

B. y''= cos⁡( x2+x+1).( 2x+1) 2 + 2 sin( x2 + x+ 1)

C. y''= -cos⁡( x2+x+1).( 2x+1) 2 - sin( x2 + x+ 1)

D. Tất cả sai

Đạo hàm cáp một của hàm số là:

y'= -sin⁡( x2+x+1).( x2+x+1)'= -sin⁡(x2+x+1).( 2x+1)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là;

y''=[-sin⁡( x2+x+1) ]'.(2x+1)+[-sin⁡(x2+x+1) ].( 2x+1)'

⇔ y''= -cos⁡( x2+x+1).( 2x+1) 2 – 2 sin( x2 + x+ 1)

Chọn A

Câu 14: Tính đạo hàm cấp 4 của hàm số; y=(x2+x+1)/(x+1)

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x≠-1

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Câu 15: Cho hàm số: y=sin⁡(3x- π/3). Tính đạo hàm cấp năm của hàm số

 Đạo hàm cấp cao của hàm số | Toán lớp 11

Đạo hàm cấp một là; y'=3.cos⁡( 3x- π/3)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''=-9.sin⁡( 3x- π/3)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''=-27.cos⁡( 3x- π/3)

Đạo hàm cấp bốn của hàm số: y(( 4))=81 sin⁡( 3x- π/3)

Đạo hàm cấp năm của hàm số: y((5))=243.cos⁡( 3x- π/3)

Chọn C.

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại Học cùng VietJack

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2003 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Đăng ký học thử khóa học bởi các thầy cô giỏi bằng cách inbox page Học cùng VietJack

Toán 11 - Thầy Nguyễn Quý Huy

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Ngữ văn lớp 11 - cô Hương Xuân

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 11 - Thầy Vũ Việt Tiến

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Vật Lý lớp 11 - Thầy Võ Thanh Được

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Hóa Học lớp 11 - cô Nguyễn Thanh Thủy

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.