Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình cực hay

Bài viết Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình.

Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình cực hay

A. Phương pháp giải

+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

+ Bước 2: Lập phương trình; bất phương trình.

+ Bước 3: Giải phương trình; bất phương trình.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y= 2x³ – 6x²+ 2000. Phương trình y'= 0 có mấy nghiệm?

A. 0         B. 1         C. 2         D. 3

Hướng dẫn giải

+ Ta có đạo hàm: y'=6x²-12x

+ Để y'=0 thì 6x²-12x=0

Vậy phương trình y’= 0 có hai nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 2.Cho hàm số y= x³-4x²+5x-9. Với giá trị nào của x thì y'>0?

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3.Cho hàm số y= x⁴+ 2x³ – k.x²+ x- 10. Tìm k để phương trình y'=1 có một nghiệm là x= 1?

A. k= 5         B. k= -5         C. k= 2         D. k= - 3

Hướng dẫn giải

+ Ta có đạo hàm: y'= 4x³+ 6x² - 2kx+ 1.

+ Để y’= 1 thì 4x³+ 6x² - 2kx+ 1 = 1

⇔ 4x³+ 6x² – 2kx = 0. (*)

Do phương trình y’= 1 có một nghiệm là x= 1 nên phương trình (*) có một nghiệm x= 1. Suy ra: 4.13 + 6.12 – 2.k.1= 0 ⇔ 10- 2k = 0

⇔ k= 5.

Chọn A.

Ví dụ 4. Cho hàm số y= 4x+√x-10. Nghiệm của phương trình y'=0 là

A.x=1         B. x= 4         C. x= 9         D. Vô nghiệm

Hướng dẫn giải

⇒ Phương trình y’= 0 vô nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 5. Cho hàm số y= (2x-1)/(x+1). Với những giá trị nào của x thì y’ >0

A. R.         B. x> 0         C.R\{-1}         D. -1

Hướng dẫn giải

Ví dụ 6. Cho hàm số y= (2x-2)/(x-3). Giải phương trình y'= -4.

A .x= - 2         B. x= 4 hoặc x= 2         C. x= 2         D x= - 3

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x≠3.

Đạo hàm của hàm số đã cho với x≠3 là :

Ví dụ 7.ho hàm số y= (x³+ x²)/(x-1). Phương trình y'=0 có mấy nghiệm nguyên?

A. 1         B. 0         C. 2         D. 3

Hướng dẫn giải

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm x≠1. Khi đó; đạo hàm của hàm số là:

Ví dụ 8.Cho hàm số y= 2mx – mx³. Với những giá trị nào của m để x= -1 là nghiệm của bất phương trình y'<1?

A. m > - 1         B. m < 1         C.m= 1         D. m < - 1

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm: y’= 2m- 3mx²

Bất phương trình y' <1 khi 2m-3mx² <1

Do x= -1 là nghiệm của bât phương trình nên ta có: 2m- 3m.(-1)² < 1

⇔ - m < <1 hay m >- 1.

Chọn A.

Ví dụ 9. Cho hàm số y= 2( m-1)x³- 6(m+ 2)x²+ 2 tìm m để y' ≥0 ; ∀ x∈R?

A. m < - 2         B. m>2         C. m > -2         D. m= -2

Hướng dẫn giải

+ Hàm số xác định với mọi x∈R.

+ Đạo hàm của hàm số: y'=6(m-1) x²-12( m+2).x

+ Để y' ≥0 ; ∀ x∈R khi và chỉ khi :

6(m-1) x²-12( m+2).x ≥0 đúng ∀ x∈R ( *)

+ Với m= 1 thì (*)trở thành: -36 x ≥0 ⇔ x ≥0 ( loại)

+ Với m≠1 thì để (*) đúng với mọi x thì:

Ví dụ 10.Tìm m để các hàm số y= mx³- 3mx² + (9m- 3) x+ 3 có y' ≤0 ; ∀x∈R.

A. m< 1         B. m< 0         C. m ≤0         D. m > 0

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Đạo hàm của hàm số là: y' = 3mx² – 6mx + 9m-3

Để y' ≤0 ; ∀x∈R thì 3mx² – 6mx + 9m - 3 ≤0 ; ∀x∈R (*)

+ Nếu m= 0 thì (*) trở thành: - 3≤0 (luôn đúng với mọi x)

⇒ m= 0 thỏa mãn.

+ Nếu m≠0 thì để (*) luôn đúng với mọi x khi và chỉ khi:

Ví dụ 11. Cho hàm số y= (kx-1)/(x-1). Xác định các giá trị của k để y'<0 ; ∀ x≠1

A. k <- 1         B. k> 1         C. k< - 2         D.k > 3

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho có đạo hàm với mọi x≠1.

Với mọi x≠1 hàm số có đạo hàm là:

Ví dụ 12. Cho hàm số y= √(2x²+4). Với những giá trị nào của x thì y'=0?

A. x= 0         B. x= 1         C. x= 2         D. không có giá trị nào thỏa mãn

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y= x³ – x²+ 2000x+ 8. Phương trình y'= 0 có mấy nghiệm?

A. 0         B. 1         C. 2         D. 3

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y'=3x²-2x+2000

+ Để y'=0 thì 3x²-2x+2000= 0 (*)

Phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình y’= 0 vô nghiệm.

Chọn A.

Câu 2: Cho hàm số y= 2x³-4x²+2x-9. Với giá trị nào của x thì y'<0?

A. x< 1         B. x< 1/3         C. x >1 hoặc x< 1/3         D. 1/3< x <1

Lời giải:

+ Ta có đạo hàm y'=6x²-8x+2

+ Để y'<0 thì 6x²-8x+2 < 0 ⇔ 1/3<x<1

Vậy để y’> 0 thì 1/3 <x <1

Chọn D.

Câu 3: Cho hàm số y= x⁴ -3x³ +2k.x²+ 4x - 6. Tìm k để phương trình y'=1 có một nghiệm là x= 1?

A. k= 1/2         B. k= 2/3         C. k= 2         D. k= - 3

Lời giải:

+ Ta có đạo hàm: y'= 4x³ - 9x² + 4kx+ 4.

+ Để y’= 1 thì 4x³- 9x² + 4kx+ 4 = 1

⇔ 4x³ - 9x² + 4kx + 3 = 0. (*)

Do phương trình y’= 1 có một nghiệm là x= 1 nên phương trình (*) có một nghiệm x= 1. Suy ra: 4.13 - 9.12+ 4.k.1 + 3= 0 ⇔ 4k - 2 = 0

⇔ k= 1/2.

Chọn A.

Câu 4: Cho hàm số y= x²-32√x+8. Nghiệm của phương trình y'=0 là

A.x=1         B. x= 4         C. x= 9         D. Vô nghiệm

Lời giải:

Với mọi x> 0; hàm số đã cho có đạo hàm đạo hàm: y'=2x- 16/√x.

Để y'=0 thì 2x- 16/√x = 0 ⇒ 2x√x-16=0

⇔x√x=8 ⇔ √x= 2 nên x= 4.

Chọn B.

Câu 5: Cho hàm số y= (x+2)/(x-3). Với những giá trị nào của x thì y’ >0

A. R.         B. x > 0         C.R\{ 3}         D. Không có giá trị nào

Lời giải:

Câu 6: Cho hàm số y=(3x+1)/(2x+2). Giải phương trình y'= 4.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x≠-1.

Đạo hàm của hàm số đã cho với x≠-1 là :

Câu 7: Cho hàm số y= (2 x²-2x)/(x+1). Phương trình y'=0 có nghiệm là?

A. x= -1 hoặc x= 0         B. x= 0         C. x= 1 hoặc x= -1         D. x= 2 hoặc x= - 1

Lời giải:

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm x≠-1. Khi đó; đạo hàm của hàm số là:

Câu 8: Cho hàm số y= x³ – mx² + 3x+ 3. Với những giá trị nào của m để x= 6 là nghiệm của bất phương trình y'<3?

A. m > 6         B. m > 9         C.m < - 6         D. m < 9

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y’= 3x² – 2mx + 3

Bất phương trình y’ < 3 khi 3x²-2mx+3 <3 ⇔ 3x² – 2mx < 0

Do x= 6 là nghiệm của bât phương trình nên ta có: 3.6² – 2.m.6 < 0

⇔108- 12m < 0 hay m >9.

Chọn B.

Câu 9: Cho hàm số y= ( m+1)x³- 3(2m- 1)x²+ x tìm m để y' ≤0 ; ∀ x∈R?

A. m < - 2         B. m>2         C. m > -2         D. Không có giá trị nào

Lời giải:

+ Hàm số xác định với mọi x ∈R.

+ Đạo hàm của hàm số: y'=3(m+1) x²-6(2m-1).x +1

+ Để y' ≤0 ; ∀ x∈R khi và chỉ khi :

3(m+1) x²-6(2m-1).x+1 ≤0 đúng mọi x ∈ R ( *)

+ Với m= -1 thì (*)trở thành: 18 x+ 1 ≤0 ⇔ x ≤(- 1)/18 ( loại)

+ Với m≠-1 thì để (*) đúng với mọi x thì:

Câu 10: Tìm m để các hàm số y= mx³- ( m- 2)x² + ( m+ 1) x+ 7 có y' ≤0 ; ∀x∈R.

A. m< 4         B. m> - 2         C. m ≤4         D. m ≤-4

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Đạo hàm của hàm số là: y' = 3mx² – 2(m-2)x + m+ 1

Để y' ≤0 ; ∀x∈R thì 3mx² – 2( m-2)x + m+ 1 ≤0 ; ∀x∈R (*)

+ Nếu m= 0 thì (*) trở thành: 4x + 1 ≤0 nên x ≤(- 1)/4

⇒ m= 0 không thỏa mãn.

+ Để (*) luôn đúng với mọi x khi và chỉ khi:

Câu 11: Cho hàm số y= (2x+k)/(4x-1). Xác định các giá trị của k để y'<0 ; ∀ x≠1/4

Lời giải:

Hàm số đã cho có đạo hàm với mọi x≠1/4.

Với mọi x≠1/4 hàm số có đạo hàm là:

Câu 12: Cho hàm số y= √(x²+4x+19). Xác định các giá trị của x là nghiệm của bất phương trình y’<0 ?

A. x< -2         B. x> 4         C. x< 1         D. x>2

Lời giải:

+ Ta có: x²+4x + 19= ( x+2)² + 15 > 0 với mọi x nên hàm số đã cho luôn xác định và có đạo hàm với mọi x.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a) y' < 0 với y = $\frac{x^2+x+2}{x-1}$;

b) y' ≥ 0 với y = $\frac{x^2+3}{x+1}$.

Bài 2. Cho hàm số y = x³- 4x² + 5x - 9. Với giá trị nào của x thì y' > 0?

Bài 3. Cho hàm số y = 2mx – mx³. Với những giá trị nào của m để x = -1 là nghiệm của bất phương trình y' < 1?

Bài 4. Cho hàm số y = 2(m- 1)x³ - 6(m + 2)x² + 2, tìm m để y' ≥ 0 ; ∀x ∈ ℝ?

Bài 5. Tìm m để các hàm số y = mx³- 3mx² + (9m- 3)x+ 3 có y' ≤0  ; ∀x ∈ ℝ.

---