Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình - Toán lớp 11

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình

A. Phương pháp giải

+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

+ Bước 2: Lập phương trình; bất phương trình.

+ Bước 3: Giải phương trình; bất phương trình.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y= 2x3 – 6x2+ 2000. Phương trình y'= 0 có mấy nghiệm?

A. 0         B. 1         C. 2         D. 3

Hướng dẫn giải

+ Ta có đạo hàm: y'=6x2-12x

+ Để y'=0 thì 6x2-12x=0

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Vậy phương trình y’= 0 có hai nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 2.Cho hàm số y= x3-4x2+5x-9. Với giá trị nào của x thì y'>0?

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Ví dụ 3.Cho hàm số y= x4+ 2x3 – k.x2+ x- 10. Tìm k để phương trình y'=1 có một nghiệm là x= 1?

A. k= 5         B. k= -5         C. k= 2         D. k= - 3

Hướng dẫn giải

+ Ta có đạo hàm: y'= 4x3+ 6x2 - 2kx+ 1.

+ Để y’= 1 thì 4x3+ 6x2 - 2kx+ 1 = 1

⇔ 4x3+ 6x2 – 2kx = 0. (*)

Do phương trình y’= 1 có một nghiệm là x= 1 nên phương trình (*) có một nghiệm x= 1. Suy ra: 4.13 + 6.12 – 2.k.1= 0 ⇔ 10- 2k = 0

⇔ k= 5.

Chọn A.

Ví dụ 4. Cho hàm số y= 4x+√x-10. Nghiệm của phương trình y'=0 là

A.x=1         B. x= 4         C. x= 9         D. Vô nghiệm

Hướng dẫn giải

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

⇒ Phương trình y’= 0 vô nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 5. Cho hàm số y= (2x-1)/(x+1). Với những giá trị nào của x thì y’ >0

A. R.         B. x> 0         C.R\{-1}         D. -1

Hướng dẫn giải

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Ví dụ 6. Cho hàm số y= (2x-2)/(x-3). Giải phương trình y'= -4.

A .x= - 2         B. x= 4 hoặc x= 2         C. x= 2         D x= - 3

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x≠3.

Đạo hàm của hàm số đã cho với x≠3 là :

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Ví dụ 7.ho hàm số y= (x3+ x2)/(x-1). Phương trình y'=0 có mấy nghiệm nguyên?

A. 1         B. 0         C. 2         D. 3

Hướng dẫn giải

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm x≠1. Khi đó; đạo hàm của hàm số là:

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Ví dụ 8.Cho hàm số y= 2mx – mx3. Với những giá trị nào của m để x= -1 là nghiệm của bất phương trình y'<1?

A. m > - 1         B. m < 1         C.m= 1         D. m < - 1

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm: y’= 2m- 3mx2

Bất phương trình y' <1 khi 2m-3mx2 <1

Do x= -1 là nghiệm của bât phương trình nên ta có: 2m- 3m.(-1)2 < 1

⇔ - m < <1 hay m >- 1.

Chọn A.

Ví dụ 9. Cho hàm số y= 2( m-1)x3- 6(m+ 2)x2+ 2 tìm m để y' ≥0 ; ∀ x∈R?

A. m < - 2         B. m>2         C. m > -2         D. m= -2

Hướng dẫn giải

+ Hàm số xác định với mọi x∈R.

+ Đạo hàm của hàm số: y'=6(m-1) x2-12( m+2).x

+ Để y' ≥0 ; ∀ x∈R khi và chỉ khi :

6(m-1) x2-12( m+2).x ≥0 đúng ∀ x∈R ( *)

+ Với m= 1 thì (*)trở thành: -36 x ≥0 ⇔ x ≥0 ( loại)

+ Với m≠1 thì để (*) đúng với mọi x thì:

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Ví dụ 10.Tìm m để các hàm số y= mx3- 3mx2 + (9m- 3) x+ 3 có y' ≤0 ; ∀x∈R.

A. m< 1         B. m< 0         C. m ≤0         D. m > 0

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Đạo hàm của hàm số là: y' = 3mx2 – 6mx + 9m-3

Để y' ≤0 ; ∀x∈R thì 3mx2 – 6mx + 9m - 3 ≤0 ; ∀x∈R (*)

+ Nếu m= 0 thì (*) trở thành: - 3≤0 (luôn đúng với mọi x)

⇒ m= 0 thỏa mãn.

+ Nếu m≠0 thì để (*) luôn đúng với mọi x khi và chỉ khi:

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Ví dụ 11. Cho hàm số y= (kx-1)/(x-1). Xác định các giá trị của k để y'<0 ; ∀ x≠1

A. k <- 1         B. k> 1         C. k< - 2         D.k > 3

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho có đạo hàm với mọi x≠1.

Với mọi x≠1 hàm số có đạo hàm là:

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Ví dụ 12. Cho hàm số y= √(2x2+4). Với những giá trị nào của x thì y'=0?

A. x= 0         B. x= 1         C. x= 2         D. không có giá trị nào thỏa mãn

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y= x3 – x2+ 2000x+ 8. Phương trình y'= 0 có mấy nghiệm?

A. 0         B. 1         C. 2         D. 3

Ta có đạo hàm: y'=3x2-2x+2000

+ Để y'=0 thì 3x2-2x+2000= 0 (*)

Phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình y’= 0 vô nghiệm.

Chọn A.

Câu 2: Cho hàm số y= 2x3-4x2+2x-9. Với giá trị nào của x thì y'<0?

A. x< 1         B. x< 1/3         C. x >1 hoặc x< 1/3         D. 1/3< x <1

+ Ta có đạo hàm y'=6x2-8x+2

+ Để y'<0 thì 6x2-8x+2 < 0 ⇔ 1/3<x<1

Vậy để y’> 0 thì 1/3 <x <1

Chọn D.

Câu 3: Cho hàm số y= x4 -3x3 +2k.x2+ 4x - 6. Tìm k để phương trình y'=1 có một nghiệm là x= 1?

A. k= 1/2         B. k= 2/3         C. k= 2         D. k= - 3

+ Ta có đạo hàm: y'= 4x3 - 9x2 + 4kx+ 4.

+ Để y’= 1 thì 4x3- 9x2 + 4kx+ 4 = 1

⇔ 4x3 - 9x2 + 4kx + 3 = 0. (*)

Do phương trình y’= 1 có một nghiệm là x= 1 nên phương trình (*) có một nghiệm x= 1. Suy ra: 4.13 - 9.12+ 4.k.1 + 3= 0 ⇔ 4k - 2 = 0

⇔ k= 1/2.

Chọn A.

Câu 4: Cho hàm số y= x2-32√x+8. Nghiệm của phương trình y'=0 là

A.x=1         B. x= 4         C. x= 9         D. Vô nghiệm

Với mọi x> 0; hàm số đã cho có đạo hàm đạo hàm: y'=2x- 16/√x.

Để y'=0 thì 2x- 16/√x = 0 ⇒ 2x√x-16=0

⇔x√x=8 ⇔ √x= 2 nên x= 4.

Chọn B.

Câu 5: Cho hàm số y= (x+2)/(x-3). Với những giá trị nào của x thì y’ >0

A. R.         B. x > 0         C.R\{ 3}         D. Không có giá trị nào

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Câu 6: Cho hàm số y=(3x+1)/(2x+2). Giải phương trình y'= 4.

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Hàm số đã cho xác định với mọi x≠-1.

Đạo hàm của hàm số đã cho với x≠-1 là :

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Câu 7: Cho hàm số y= (2 x2-2x)/(x+1). Phương trình y'=0 có nghiệm là?

A. x= -1 hoặc x= 0         B. x= 0         C. x= 1 hoặc x= -1         D. x= 2 hoặc x= - 1

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm x≠-1. Khi đó; đạo hàm của hàm số là:

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Câu 8: Cho hàm số y= x3 – mx2 + 3x+ 3. Với những giá trị nào của m để x= 6 là nghiệm của bất phương trình y'<3?

A. m > 6         B. m > 9         C.m < - 6         D. m < 9

Ta có đạo hàm: y’= 3x2 – 2mx + 3

Bất phương trình y’ < 3 khi 3x2-2mx+3 <3 ⇔ 3x2 – 2mx < 0

Do x= 6 là nghiệm của bât phương trình nên ta có: 3.62 – 2.m.6 < 0

⇔108- 12m < 0 hay m >9.

Chọn B.

Câu 9: Cho hàm số y= ( m+1)x3- 3(2m- 1)x2+ x tìm m để y' ≤0 ; ∀ x∈R?

A. m < - 2         B. m>2         C. m > -2         D. Không có giá trị nào

+ Hàm số xác định với mọi x ∈R.

+ Đạo hàm của hàm số: y'=3(m+1) x2-6(2m-1).x +1

+ Để y' ≤0 ; ∀ x∈R khi và chỉ khi :

3(m+1) x2-6(2m-1).x+1 ≤0 đúng mọi x ∈ R ( *)

+ Với m= -1 thì (*)trở thành: 18 x+ 1 ≤0 ⇔ x ≤(- 1)/18 ( loại)

+ Với m≠-1 thì để (*) đúng với mọi x thì:

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Câu 10: Tìm m để các hàm số y= mx3- ( m- 2)x2 + ( m+ 1) x+ 7 có y' ≤0 ; ∀x∈R.

A. m< 4         B. m> - 2         C. m ≤4         D. m ≤-4

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Đạo hàm của hàm số là: y' = 3mx2 – 2(m-2)x + m+ 1

Để y' ≤0 ; ∀x∈R thì 3mx2 – 2( m-2)x + m+ 1 ≤0 ; ∀x∈R (*)

+ Nếu m= 0 thì (*) trở thành: 4x + 1 ≤0 nên x ≤(- 1)/4

⇒ m= 0 không thỏa mãn.

+ Để (*) luôn đúng với mọi x khi và chỉ khi:

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Câu 11: Cho hàm số y= (2x+k)/(4x-1). Xác định các giá trị của k để y'<0 ; ∀ x≠1/4

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Hàm số đã cho có đạo hàm với mọi x≠1/4.

Với mọi x≠1/4 hàm số có đạo hàm là:

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Câu 12: Cho hàm số y= √(x2+4x+19). Xác định các giá trị của x là nghiệm của bất phương trình y’<0 ?

A. x< -2         B. x> 4         C. x< 1         D. x>2

+ Ta có: x2+4x + 19= ( x+2)2 + 15 > 0 với mọi x nên hàm số đã cho luôn xác định và có đạo hàm với mọi x.

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình | Toán lớp 11

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại Học cùng VietJack

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2003 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Đăng ký học thử khóa học bởi các thầy cô giỏi bằng cách inbox page Học cùng VietJack

Toán 11 - Thầy Nguyễn Quý Huy

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Ngữ văn lớp 11 - cô Hương Xuân

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 11 - Thầy Vũ Việt Tiến

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Vật Lý lớp 11 - Thầy Võ Thanh Được

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Hóa Học lớp 11 - cô Nguyễn Thanh Thủy

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.