Chuyên đề Giới hạn. Hàm số liên tục lớp 11 (Cánh diều)

Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Tài liệu chuyên đề Giới hạn. Hàm số liên tục Toán lớp 11 sách Cánh diều gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 11.

Chuyên đề Giới hạn. Hàm số liên tục lớp 11 (Cánh diều)

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 11 Cánh diều bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

Quảng cáo

Bài 1. Giới hạn của dãy số

I. LÝ THUYẾT

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu | $u_{n}$ | có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ hay $\lim u_{n} = 0$ hay $u_{n} \to 0$ khi $n \to + \infty$ .

Ta nói dãy số $(v_{n})$ có giới hạn là a (hay $v_{n}$ dần tới a) khi $n \to + \infty,$ nếu $\lim_{n \to + \infty} (v_{n} - a) = 0.$

Kí hiệu: $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = a$ hay $v_{n} \to a$ khi $n \to + \infty .$

2. Một số giới hạn cơ bản

Chuyên đề Giới hạn. Hàm số liên tục lớp 11 (Cánh diều)

Quảng cáo

II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

a) Nếu $\lim u_{n} = a$ và $\lim v_{n} = b$ và c là hằng số thì:

 $\lim (u_{n} + v_{n}) = a + b$

 $\lim (u_{n} - v_{n}) = a - b$

 $\lim (u_{n} . v_{n}) = a . b$

 $\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{a}{b}, (b \neq 0)$

 $l i m (c . u_{n}) = c . a$ . lim| $u_{n}$ |=|a| và $\lim \sqrt[3]{u_{n}} = \sqrt[3]{a}$

b) Nếu $u_{n} \geq 0$ với mọi n và $\lim u_{n} = a$ thì $a \geq 0$ và $\lim \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$ .

Kỹ năng sử dụng máy tính

Tính $\lim_{n \to \infty} u_{n}$ thì nhập $u_{n}$ và ấn phím CALC $n = 10^{10}$ .

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn $(u_{n})$ có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $S = \frac{u_{1}}{1 - q}$

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

Ta nói dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là $+ \infty$ khi $n \to + \infty$ , nếu $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $l i m u_{n} = + \infty$ hay $u_{n} \to + \infty$ khi $n \to + \infty .$

Quảng cáo

Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là $- \infty$ khi $n \to + \infty$ , nếu $l i m (- u_{n}) = + \infty$ .

Kí hiệu: $l i m u_{n} = - \infty$ hay $u_{n} \to - \infty$ khi $n \to + \infty .$

Nhận xét: $u_{n} = + \infty \Leftrightarrow l i m (- u_{n}) = - \infty .$

Nhận xét

a) $\lim n^{k} = + \infty$ với k nguyên dương;

b) $\lim q^{n} = + \infty$ nếu q > 1.

c) Nếu $\lim u_{n} = a$ và $lim v_{n} = \pm \infty$ thì $\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = 0$ .

d) Nếu $\lim u_{n} = a > 0$ , $lim v_{n} = 0$ và $v_{n} > 0, \forall n > 0$ thì $\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = + \infty .$

e) $\lim u_{n} = + \infty \Leftrightarrow \lim (- u_{n}) = - \infty$

e) Nếu $\lim u_{n} = + \infty$ và $\lim v_{n} = a > 0$ thì $\lim u_{n} . v_{n} = + \infty .$

CHÚ Ý:

Quy tắc tìm giới hạn tích $\lim (u_{n} . v_{n})$

Nếu $\lim u_{n} = L, \lim v_{n} = + \infty (h a y - \infty)$ . Khi đó $\lim (u_{n} v_{n})$

Quảng cáo

Chuyên đề Giới hạn. Hàm số liên tục lớp 11 (Cánh diều)

Quy tắc tìm giới hạn thương $\lim \frac{u_{n}}{v_{n}}$

Chuyên đề Giới hạn. Hàm số liên tục lớp 11 (Cánh diều)

Nhận xét: Ta thường dùng quy tắc giới hạn tích trong bài toán giới hạn vô cực của dãy số.

TÓM TẮT CÁC GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT

Giới hạn hữu hạn

Giới hạn vô cực

1. Giới hạn đặc biệt:

$\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0$ ; $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{k}} = 0, (k \in ℤ^{*})$

$\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$ (|q| < 1); $\lim_{n \to + \infty} C = C$

2. Định lí:

a) Nếu lim u_n = a, lim v_n = b thì

· lim = a + b

· lim = a – b

· lim = a.b

· $\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{a}{b}$

b) Nếu u_n $\geq$ 0, $\forall$ n và lim u_n= a thì a $\geq$ 0 và lim $\sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$

c) Nếu | $u_{n}$ | $\leq v_{n}$ , $\forall n$ và lim v_n = 0

thì lim u_n = 0

d) Nếu lim u_n = a thì lim| $u_{n}$ |=|a|

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u₁ + u₁q + u₁q² + … = $\frac{u_{1}}{1 - q}$ (|q| < 1)

1. Giới hạn đặc biệt:

$\lim \sqrt{n} = + \infty$ ; $l i m n^{k} = + \infty (k \in ℤ^{+})$

$l i m q^{n} = + \infty (q > 1)$

2. Định lí:

a) Nếu lim| $u_{n}$ | = $+ \infty$ thì lim $\frac{1}{u_{n}}$ = 0

b) Nếu lim u_n = a, lim v_n = ± $\infty$ thì lim $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ = 0

c) Nếu lim u_n = a $\neq$ 0, lim v_n = 0

thì lim $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ = $\{\begin{cases} + \infty n ế u a . v_{n} > 0 \\ - \infty n ế u a . v_{n} < 0 \end{cases}$

d) Nếu lim u_n = + $\infty$ , lim v_n = a

thì lim = $\{\begin{cases} + \infty n ế u a > 0 \\ - \infty n ế u a < 0 \end{cases}$

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , 0. $\infty$ thì phải tìm cách khử dạng vô định.

II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN

DẠNG 1: CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0

Phương pháp giải: Để chứng minh $\lim u_{n} = 0$ ta chứng minh với mỗi số a>0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số $n_{o}$ sao cho | $u_{n}$ | < a $\forall n > n_{o}$ .

Câu 1: Chứng minh rằng $\lim \frac{1}{n^{2} + 1} = 0$

Câu 2: Chứng minh rằng $\lim \frac{\sin^{2} n}{n + 2} = 0$

Câu 3: Chứng minh rằng $\lim (\frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n + 1}} - \frac{1}{3^{n + 1}}) = 0$

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN BẰNG 0 CỦA DÃY SỐ

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn 0 và các giới hạn đặc biệt để giải quyết bài toán.

Câu 4: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2}$ . Tính $\lim u_{n}$

Câu 5: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = {(- 0, 97)}^{n}$ . Tính $\lim u_{n}$

Câu 6: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{n + 2 \sin (n + 1)}{n \sqrt[3]{n} + 2 \sqrt[3]{n}}$ . Tính $\lim u_{n}$

Câu 7: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \sqrt{n^{2} + 1} - n$ . Tính $\lim u_{n}$

Câu 8: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{- 2 n^{3} + 3 n^{2} + 4}{n^{4} + 4 n^{3} + n}$ . Tính $\lim u_{n}$

Câu 9: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} {.2}^{5 n + 1}}{3^{5 n + 2}}$ . Tính $\lim u_{n}$

Câu 10: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{{(- 5)}^{n} + 4^{n}}{{(- 7)}^{n + 1} + 4^{n + 1}}$ . Tính $\lim u_{n}$

Câu 11: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{n + \sqrt{n^{2} + 1}}{n {.3}^{n}}$ . Tính $\lim u_{n}$

Câu 12: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \sqrt[3]{n + 2} - \sqrt[3]{n}$ . Tính $\lim u_{n}$

Câu 13: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{\sqrt{4 n^{2} + 1} - 2 n}{\sqrt{n^{2} + 4 n + 1} - n}$ . Tính $\lim u_{n}$

Câu 14: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + ... + n}{(1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^{n}) . (n + 1)}$ . Tính $\lim u_{n}$

Câu 15: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{1}{1 \sqrt{2} + 2 \sqrt{1}} + \frac{1}{2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n \sqrt{n + 1} + (n + 1) \sqrt{n}}$ . Tính $\lim (u_{n} - 1)$

Câu 16: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn 0 tìm $\lim u_{n}$ với $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{3 n + 2}$ .

Câu 17: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn 0 tìm $\lim u_{n}$ với $u_{n} = \frac{\sqrt[n]{n!}}{\sqrt{n^{3} + 2 n}}$ .

Câu 18: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{2 n \sqrt{n} + 1}{n^{2} + 2 \sqrt{n} - 3}$ . Tính $\lim u_{n}$

Câu 19: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \cdot \cdot \frac{2 n - 1}{2 n}$ . Tính $\lim u_{n}$

Câu 20: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn 0 tìm $\lim u_{n}$ với $u_{n} = \frac{1 + \cos n^{3}}{2 n + 3}$ .

Câu 21: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{n + \sqrt{n^{2} + 1}}{n {.3}^{n}}$ . Tính $\lim u_{n}$

Câu 22: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{1.3.5.7.... (2 n - 1)}{2.4.6...2 n}$ . Tính $\lim u_{n}$

Câu 23: Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi: $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{2^{n}}, (n \in ℕ^{*}) \end{cases}$ . Tính $\lim (u_{n} - 2)$

DẠNG 3.TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ $(u_{n})$ có $u_{n} = \frac{P (n)}{Q (n)}$ (trong đó $P (n), Q (n)$ là các đa thức của n)

Phương pháp giải: Chia tử và mẫu cho $n^{k}$ với $n^{k}$ là lũy thừa có số mũ cao nhất của $P (n), Q (n)$ , sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn

Câu 24: $\lim u_{n}$ , với $u_{n} = \frac{5 n^{2} + 3 n - 7}{n^{2}}$ bằng:

Câu 25: Tính giới hạn $\lim \frac{- 4 n^{2} + n + 2}{2 n^{2} + n + 1}$

Câu 26: Tính giới hạn $\lim \frac{n^{4}}{(n + 1) (2 + n) (n^{2} + 1)}$

Câu 27: Tính giới hạn $\lim {(2 n + 1)}^{2} (\frac{3}{n^{2} + 2 n} - \frac{1}{n^{2} + 3 n - 1})$

DẠNG 4.TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ $(u_{n})$ có $u_{n} = \frac{P (n)}{Q (n)}$ (trong đó $P (n)$ và $Q (n)$ là các biểu thức chứa căn của n.

Phương pháp giải

 Đánh giá bậc của tử và và mẫu. Sau đó, chia cả tử và mẫy cho $n^{k}$ với k là số mũ lớn nhất của $P (n)$ và $Q (n)$ (hoặc rút $n^{k}$ là lũy thừa lớn nhất của $P (n)$ và $Q (n)$ ra làm nhân tử. Áp dụng các định lí về giới hạn để tìm giới hạn

Câu 28: Tìm $\lim \frac{\sqrt{2 n + 1}}{\sqrt{n} + 1}$ .

Câu 29: Tìm $\lim \frac{\sqrt{2 n + 2} - \sqrt{n}}{\sqrt{n}}$ .

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề dạy thêm Toán lớp 11 các chương hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.