Chuyên đề Một số yếu tố thống kê và xác suất lớp 11 (Cánh diều)

Tài liệu chuyên đề Một số yếu tố thống kê và xác suất Toán lớp 11 sách Cánh diều gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 11.

Chuyên đề Một số yếu tố thống kê và xác suất lớp 11 (Cánh diều)

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 11 Cánh diều bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

Bài 1. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

I. LÝ THUYẾT

I. MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

1. Bảng tần số ghép nhóm

• Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm. • mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng [a,b), trong đó a là đầu mút trái, b là đầu mút phải. độ dài nhóm là b - a.
• Tần số của một nhóm là số liệu trong mẫu số liệu thuộc vào nhóm đó. Tần số của nhóm 1, nhóm 2, …, nhóm m kí hiệu lần lượt là n1, n2, ..., nm. • Bảng tần số ghép nhóm được lập ở Bảng 2, trong đó mẫu số liệu n số liệu được chia thành m nhóm ứng với m nữa khoảng [a1,a2); [a2,a3);…; [am,am+1), ở đó $a_1<a_2<\mathrm{...}<a_m<a_{m+1}$ và $n=n_1+n_2+\mathrm{...}+n_m$.	Nhóm Tần số [a1,a2) [a2,a3) … [am,am+1) n1 n2 nm   n

2. Ghép nhóm mẫu số liệu. Tần số tích luỹ

Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm thành mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện như sau:

 Chia miền giá trị của mẫu số liệu thành một số nhóm theo tiêu chí cho trước.

 Đếm số giá trị của mẫu số liệu thuộc mỗi nhóm (tần số) và lập bảng tần số ghép nhóm.

Chú ý: Khi ghép nhóm số liệu, ta thường phân chia các nhóm có độ dài bằng nhau và đầu mút của các nhóm có thể không phải là giá trị của mẫu số liệu. Nhóm cuối cùng có thể là [$a_m;a_{m+1}$]

 Tần số tích luỹ của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu có giá trị nhỏ hơn giá trị đầu mút phải của nhóm đó. Tần số tích luỹ của nhóm 1, nhóm 2 , nhóm m kí hiệu lần lượt là $c{f}_1,c{f}_2,\dots ,c{f}_m$.

 Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ được lập như ở bảng 5

Ví dụ 2. Bảng thống kê sau cho biết thời gian chạy (phút) của 30 vận động viên (VĐV) trong một giải chạy Marathon.

Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang mẫu số liệu ghép nhóm gồm sáu nhóm có độ dài bằng nhau và bằng 3.

Lời giải

Giá trị nhỏ nhất là 129, giá trị lớn nhất là 145 nên khoảng biến thiên là 145 - 129 = 16. Tổng độ dài của sáu nhóm là 18. Để cho đối xứng, ta chọn đầu mút trái của nhóm đầu tiên là 27,5 và đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 145,5 ta được các nhóm là [127,5;130,5), [130,5;133,5),...,[142,5;145;5). Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm, ta có mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

II. SỐ TRUNG BÌNH CỘNG (SỐ TRUNG BÌNH)

1. Định nghĩa

Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng sau.

 Trung điểm $x_i$ của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm i là giá trị đại diện của nhóm đó.

 Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\overline{x}$, được tính theo công thức: $\overline{x}=\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+\dots +n_m{x}_m}{n}$

2. Ý nghĩa

Như ta đã biết, số trung bình cộng của mẫu số liệu không ghép nhóm là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu đó, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu khi các số liệu trong mẫu ít sai lệch vối số trung bình cộng.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với số trung bình cộng của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu và có thể làm đại diện cho vị trí trung tâm của mẫu số liệu.

III. TRUNG VỊ

1. Định nghĩa

Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như ở Bảng 5.

Giả sử nhóm k là nhóm đầu tiên có tẩn số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}$, tức là $c_{k-1}<\frac{n}{2}$ nhưng $c{f}_k\ge \frac{n}{2}$. Ta gọi $r,d,n_k$ lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm k ; $c{f}_{k-1}$ là tần số tích luỹ của nhóm k-1 .

2. Ý nghĩa

Trung vị của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với trung vị của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đã cho.

IV. TỨ PHÂN VỊ

1. Định nghĩa

Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như ở Bảng 5.

• Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:

Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ bằng trung vị $M_{e\text{'}}$

· Giả sử nhóm p là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}$, tức là $c{f}_{p-1}<\frac{n}{4}$ nhưng $c{f}_p\ge \frac{n}{4}$. Ta gọi $s,h,n_p$ lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm p; $c{f}_{p-1}$ là tần số tích luỹ của nhóm p-1 .

Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ được tính theo công thức sau:

$Q_1=s+\left(\frac{\frac{n}{4}-c{f}_{p-1}}{n_p}\right)\cdot h.$

· Giả sử nhóm q là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}$, tức là $c{f}_{q-1}<\frac{3n}{4}$ nhưng $c{f}_q\ge \frac{3n}{4}$. Ta gọi $t,l,n_q$ lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm q ; $c{f}_{q-1}$ là tần số tích luỹ của nhóm q-1 .

Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ được tính theo công thức sau:

$Q_3=t+\left(\frac{\frac{3n}{4}-c{f}_{q-1}}{n_q}\right).l$.

2. Ý nghĩa

Như ta đã biết, đối với mẫu số liệu không ghép nhóm đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, các điểm $Q_1,Q_2,Q_3$ chia mẫu số liệu đó thành bốn phần, mỗi phần đều chứa 25% giá trị.

Bằng cách ghép nhóm mẫu số liệu và tính toán tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta nhận được ba giá trị mới cũng có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đã cho.

Lưu ý rằng bộ ba giá trị $Q_1,Q_2,Q_3$ trong tứ phân vị của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với bộ ba giá trị trong tứ phân vị của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu.

V. MỐT

1. Định nghĩa

Giả sử nhóm i là nhóm có tần số lớn nhất. Ta gọi $u,g,n_i$ lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm $i;n_{i-1},n_{i+1}$ lần lượt là tần số của nhóm i - 1 , nhóm i + 1 .

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $M_o$, được tính theo công thức sau:

$M_o=u+\left(\frac{n_i-n_{i-1}}{2n_i-n_{i-1}-n_{i+1}}\right)\cdot g.$

Chú ý: · Khi i = 0 thì $n_0=0;$ · Khi i = m thì $n_{m+1}=0$.

2. Ý nghĩa

Như ta đã biết, mốt của một mẫu số liệu không ghép nhóm đặc trưng cho số lần lặp đi lặp lại nhiều nhất tại một giá trị của mẫu số liệu đó. Vì thế, có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau.

Bằng cách ghép nhóm mẫu số liệu và tính toán mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta nhận được giá trị mới cũng có thể dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu đã cho.

Mốt của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu. Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều mốt.

II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN

DẠNG 1. SỐ TRUNG BÌNH CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là $\overline{x}$.

trong đó, $n=m_1+\dots +m_k$ là cỡ mẫu và $x_i=\frac{a_i+a_{i+1}}{2}$ (với i = 1,...,k ) là giá trị đại diện của nhóm [$a_i;a_{i+1}$)

Câu 1: Xét mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm (Bảng 7).

Tính giá trị $\overline{x}$ cho bởi công thức sau: $\overline{x}=\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+\dots +n_5{x}_5}{n}$

Câu 2: Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11D cho trong Bảng 3.5.

Câu 3: Tìm hiểu thời gian xem ti vi trong tuần trước (đơn vị: giờ) của một số học sinh thu được kết quả sau:

Câu 4: Các bạn học sinh lớp 11A1 trả lời 40 câu hỏi trong một bải kiểm tra. Kết quả được thống kê ở bảng sau:

a)Tính giá trị đại diện $x_{i}1\le i\le 5$, của từng nhóm số liệu.

b) Tính $m_1{x}_1+m_2{x}_2+m_3{x}_3+m_4{x}_4+m_5{x}_5$

c) Tinh $\stackrel{-}{x}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2+m_3{x}_3+m_4{x}_4+m_5{x}_5}{40}$.

Câu 5: Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở mỗi lô hàng và được cho ở bảng sau:

a) Hãy ước lượng cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô hàng A và lô hàng B.

b) Nếu so sánh theo số trung bình thì cam ở lô hàng nào nặng hơn?

DẠNG 2. TRUNG VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP LỚP

Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p: [$a_p;a_{p+1}$).

Bước 2. Trung vị là $M_e=a_p+\frac{\frac{n}{2}-\left(m_1+\dots +m_{p-1}\right)}{m_p}\cdot \left(a_{p+1}-a_p\right)$,

trong đó n là cỡ mẫu, $m_p$ là tần số nhóm p. Với p = 1, ta quy ước $m_1+\dots +m_{p-1}=0$.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề dạy thêm Toán lớp 11 các chương hay khác:

• Chuyên đề Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

• Chuyên đề Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

• Chuyên đề Giới hạn. Hàm số liên tục

• Chuyên đề Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

• Chuyên đề Hàm số mũ và hàm số lôgarit

• Chuyên đề Đạo hàm

• Chuyên đề Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc

---