Nghiệm của phương trình logarit lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Nghiệm của phương trình logarit lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nghiệm của phương trình logarit.

Nghiệm của phương trình logarit lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Nghiệm của phương trình logarit

Phương trình logarit cơ bản có dạng log_ax = b (với 0 < a ≠ 1).

Phương trình logarit cơ bản log_ax = b có nghiệm duy nhất x = a^b.

Minh họa bằng đồ thị:

Chú ý: Phương pháp giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu u, v > 0 và 0 < a ≠ 1 thì log_a u = log_a v ⇔ u = v.

Nhận xét: Với 0 < a ≠ 1 thì log_a f(x) = b ⇔ f(x) = a^b.

2. Ví dụ minh họa về nghiệm của phương trình logarit

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) log₃ x = 5.

b) log₅ (4x – 1) = 2.

c) ${\log }_{\surd 2}3x=4$.

d) log₄ (4x + 1) = log₄ (x – 3).

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x > 0.

log₃ x = 5 ⇔ x = 3⁵ ⇔ x = 243 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 243.

b) Điều kiện: $x>\frac{1}{4}$.

log₅ (4x – 1) = 2 ⇔ 4x – 1 = 5² ⇔ 4x = 26 ⇔ $x=\frac{13}{2}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{13}{2}$.

c) Điều kiện: x > 0.

${\log }_{\surd 2}3x=4$⇔ 3x = (√2)⁴ ⇔ $x=\frac{4}{3}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{4}{3}$.

d) Điều kiện: x > 3.

log₄ (4x + 1) = log₄ (x – 3) ⇔ 4x + 1 = x – 3 ⇔ 3x = –4 ⇔ $x=\frac{-4}{3}$ (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

a) 2 + 3log(4x) = 14.

b) ${\log }_3(3x-6)+{\log }_{\frac{1}{3}}(2x-2)=0$.

c) log₃ (x + 4) + log₃ (x – 4) = 1.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x > 0.

2 + 3log(4x) = 14 ⇔ log(4x) = 4 ⇔ 4x = 10⁴ ⇔ x = 2 500 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2 500.

b) Điều kiện: x > 2.

${\log }_3(3x-6)+{\log }_{\frac{1}{3}}(2x-2)=0$

⇔ ${\log }_3(3x-6)-{\log }_3(2x-2)=0$

⇔ log₃ (3x – 6) = log₃ (2x – 2)

⇔ 3x – 6 = 2x – 2

⇔ x = 4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4.

c) Điều kiện: x > 4.

log₃ (x + 4) + log₃ (x – 4) = 1

⇔ log₃ (x + 4)(x – 4) = 1

⇔ x² – 16 = 3

⇔ x² – 1 = 0

⇔ x² = 19

⇔ x = √19 (do x > 4)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = √19.

Ví dụ 3. Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH = –log[H⁺] (trong đó [H⁺] chỉ nồng độ ion hydrogen). Đo chỉ số của một mẫu nước sông, ta được kết quả là pH = 6,5. Tính nồng độ của ion hydrogen [H⁺] của mẫu nước sông đó.

Hướng dẫn giải

Phương trình thể hiện nồng độ x của ion hydrogen [H⁺] trong mẫu nước sông đó là: –logx = 6,5 ⇔ logx = –6,5 ⇔ x = 10^–6,5.

Vậy nồng độ của ion hydrogen [H⁺] của mẫu nước sông đó là 10^–6,5 (mol L^–1 ).

3. Bài tập về nghiệm của phương trình logarit

Bài 1. Giải các phương trình:

a) log_3,5 x = 2.

b) ${\log }_{\sqrt{2}}(2x-1)=4$.

c) ln (2x + 5) = 2.

d) log (2x – 3) = log (3x – 1).

Bài 2. Giải các phương trình:

a) 4 + log(2x) = 5.

b) log_x64 = 3.

c) log₆ (x² + 4x + 5) – log₆ (x – 1) = 2.

d) log₃ 27^x = –3.

Bài 3. Giải các phương trình:

a) ${\log }_{2}x+{\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{x}+2{\log }_{4}x=3$.

b) log₂(log₁₆ x) = 3.

Bài 4. Tốc độ gió (dặm/ giờ) gần tâm của một cơn lốc xoáy được tính bởi công thức S = 93log d + 65 (dặm) là quãng đường cơn lốc xoáy đó di chuyển được. Tính quãng đường cơn lốc xoáy đã di chuyển được, biết tốc độ của gió ở gần tâm bằng 150 dặm/ giờ. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Bài 5. Với nước biển có nồng độ muối 30%, nhiệt độ T (^oC) của nước biển được tính bởi công thức T = 7,9ln(1,0245 – d) + 61,84, ở đó d (g/cm³) là khối lượng riêng của nước biển. Biết vùng biển khơi ở một khu vực có nồng độ muối 30% và nhiệt độ là 15 ^oC. Tính khối lượng riêng của nước biển ở vùng biển đó? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Nghiệm của bất phương trình mũ

• Nghiệm của bất phương trình logarit

• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là gì

• Phép chiếu vuông góc là gì

• Hai mặt phẳng vuông góc là gì

---