Xác định hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng, một tam giác lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng, một tam giác lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng, một tam giác.

Xác định hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng, một tam giác lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

- Cách xác định hình chiếu vuông góc của điểm:

Trong không gian cho điểm M và mặt phẳng (α). Điểm H gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α) nếu H ∈ (α) và MH ⊥ (α).

→ Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α) ta dựng đường thẳng d qua M và vuông góc với mặt phẳng (α) sau đó tìm giao điểm H của d và (α). Nếu M ∈ (α) thì hình chiếu của M là chính nó.

- Cách xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng:

Trong không gian cho mặt phẳng (α) và đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α). Để tìm hình chiếu vuông góc của d lên (α) ta chọn hai điểm A, B trên d rồi tìm hình chiếu K, H lần lượt của A, B lên (α). Đường thẳng a trong (α) đi qua hai điểm H, K chính là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (α).

- Cách xác định hình chiếu vuông góc của tam giác:

Trong không gian cho mặt phẳng (α) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng, tạo thành một tam giác ABC. Ta tìm hình chiếu M, N, P lần lượt của A, B, C lên (α). Tam giác MNP nằm trên mặt phẳng (α) là hình chiếu của tam giác ABC lên mặt phẳng (α).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA ⊥ (ABC).

a) Xác định hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC).

b) Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên mặt phẳng (ABC).

c) Xác định hình chiếu vuông góc của tam giác SBC lên mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải

a) Vì SA ⊥ (ABC) và A ∈ (ABC) nên A là hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC).

b) Vì B ∈ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (ABC) là B, hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là A (theo phần a) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên (ABC) là đường thẳng AB.

c) B, C ∈ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của B, C lên mặt phẳng (ABC) lần lượt là B, C. 

Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là A (theo phần a).

Do đó, hình chiếu vuông góc của tam giác SBC lên (ABC) là tam giác ABC.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD, M là trung điểm của SB. Biết SO ⊥ (ABCD).

a) Xác định hình chiếu vuông góc của SM trên mặt phẳng (ABCD).

b) Xác định hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (SAB).

Hướng dẫn giải

a) Vì SO ⊥ (ABCD) nên dựng đường thẳng d qua M song song với SO thì d ⊥ (ABCD).

Vì S, O, M đều thuộc mặt phẳng (SOB) nên d ⊂ (SOB).

M ∈ SB, d // SO nên d cắt OB. Gọi giao điểm của d và OB là N.

Xét tam giác SOB có:

MN // SO

M là trung điểm của SB

Do đó, N là trung điểm của OB (theo định lí đường trung bình).

Suy ra với N là trung điểm của OB thì MN ⊥ (ABCD) nên N là hình chiếu vuông góc của M lên (ABCD).

Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là O (vì SO ⊥ (ABCD)).

Vậy hình chiếu vuông góc của SM lên (ABCD) là ON.

b)

Kẻ OK ⊥ AB (K ∈ AB), nối SK, từ O kẻ OH ⊥ SK (H ∈ SK).

Ta có:

SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AB

OK ⊥ AB (K ∈ AB) (do cách vẽ)

SO, OK ⊂ (SOK)

SO ∩ OK tại O

Do đó, AB ⊥ (SOK)

⇒ AB ⊥ SH (vì OH ∈ (SOK))

Mà: OH ⊥ SK (cách vẽ)

SK, AB ⊂ (SAB); SK ∩ AB tại K

Suy ra: OH ⊥ (SAB).

Vậy H là hình chiếu vuông góc của O lên (SAB).

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Nếu MH ⊥ (P) tại H thì M là hình chiếu vuông góc của H lên (P);

B. Nếu MH ⊥ (P) tại H thì H là hình chiếu vuông góc của M lên (P);

C. Nếu MH // (P) thì M là hình chiếu vuông góc của H lên (P);

D. Nếu MH // (P) thì H là hình chiếu vuông góc của M lên (P).

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt đáy. Hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) là:

A. SB;        

B. CD;                 

C. AD;                 

D. BD.

Câu 3. Cho hình chóp S.MNPQ, A là trung điểm của MN. Biết SA vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của SM lên mặt phẳng (MNPQ) là:

A. AN;                 

B. AM;                

C. MN;                

D. MQ.

Câu 4.  Cho hình chóp S.MNPQ, A là trung điểm của MN, B là trung điểm của SP. Biết SA vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (MNPQ) là:

A. AC với C là trung điểm của PQ;

B. AC với C là trung điểm của MP;

C. AC với C là trung điểm của AQ;

D. AC với C là trung điểm của AP.

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt đáy. Hình chiếu vuông góc của tam giác SCD lên mặt phẳng (ABCD) là:

A. ∆ACD;  

B. ∆BCD;  

C. ∆BAD;  

D. ∆ABC.

Câu 6. Cho hình chóp S.MNPQ, A là trung điểm của MN, B là trung điểm của SP, C là trung điểm của SQ. Biết SA vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của tam giác SBC lên mặt phẳng (MNPQ) là:

A. Tam giác AB'C' với B', C' lần lượt là trung điểm của AP, BQ;

B. Tam giác AB'C' với B', C' lần lượt là trung điểm của AP, AQ;

C. Tam giác AB'C' với B', C' lần lượt là trung điểm của AP, AN;

D. Tam giác AB'C' với B', C' lần lượt là trung điểm của AM, AQ.

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = . Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H sao cho:

A. H là trung điểm của AB;

B. H trùng với C;

C. H là trung điểm của BC;

D. H trùng với A.

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (SAB) là:

A. SB;

B. SM với M là trung điểm của AB;

D. SA;

D. SN với N là trung điểm của SB.

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH vuông góc với (ABCD). Hình chiếu của BD lên (SAD) là:

A. ID với I là trung điểm SA;

B. BA;

C. ID với I là trọng tâm của tam giác SAD;

D. SD.

Câu 10. Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng cạnh đáy. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là:

A. Điểm H với H là trọng tâm của tam giác ABC;

B. Điểm H với H là trung điểm AB;

C. Điểm H với H là trung điểm BC;

D. Điểm H với H là trung điểm AC.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Vận dụng định lí ba đường vuông góc để chứng minh hai đường thẳng vuông góc

• Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

• Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng

• Nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

• Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện

---