Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện.

Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

1.1. Một số khái niệm

a) Góc nhị diện:

Cho hai mặt phẳng (P₁), (Q₁) có chung bờ là đường thẳng d. Hình tạo bởi (P₁), (Q₁) và d được gọi là góc nhị diện tạo bởi (P₁), (Q₁), kí hiệu [P₁, d, Q₁].

Hai nửa mặt phẳng (P₁), (Q₁) gọi là hai mặt của nhị diện và d gọi là cạnh của nhị diện.

b) Góc phẳng nhị diện.

Cho góc nhị diện [P, a, Q]. Gọi O là một điểm tuỳ ý trên a, Ox là tia nằm trong (P) và vuông góc với d, Oy là tia nằm trong (Q) và vuông góc với d.

Khi đó góc xOy được gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho.

c) Số đo của góc nhị diện

+) Số đo của một góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện đó.

+) Số đo của góc nhị diện từ 0° đến 180°.

+) Nếu số đo góc phẳng nhị diện bằng 90° thì góc nhị diện đó gọi là góc nhị diện vuông.

1.2. Phương pháp giải

Ta xác định góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) theo 3 bước:

Bước 1: Tìm giao tuyến D = (P) $\cap$ (Q).

Bước 2: Tìm a $\subset$ (P): a $\perp$$∆$ và b $\subset$ (Q): b $\perp$$∆$.

Bước 3: Kết luận [P, D, Q].

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = 1. Gọi α là góc phẳng nhị diện [S, BC, A]. Tính cosα?

Hướng dẫn giải:

Gọi D là trung điểm cạnh BC.

Vì SB = SC nên DSBC cân tại S, SD là trung tuyến suy ra SD $\perp$BC.

Vì

Mà SD $\perp$ BC ⇒ BC $\perp$ (SAD) ⇒ BC $\perp$ AD.

Do đó [S, BC, A] = $\widehat{SDA}$.

Xét DSBC vuông tại S, SD là đường cao, ta có: $\frac{1}{S{D}^2}=\frac{1}{S{B}^2}+\frac{1}{S{C}^2}=2\Rightarrow SD=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Xét DSAD vuông tại S có: $AD=\sqrt{S{A}^2+S{D}^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Xét DSDA vuông tại S, ta có: $\cos \alpha =\cos \widehat{SDA}=\frac{SD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, biết AD = 2a, AB = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Gọi E là trung điểm của AD. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [S, BE, A].

Hướng dẫn giải:

Có E là trung điểm của AD. Khi đó ABCE là hình vuông cạnh bằng a.

Gọi I = AC $\cap$ BE.

Vì ABCE là hình vuông nên AI $\perp$ BE (1).

Vì SA $\perp$ (ABCD) ⇒ SA $\perp$ BE (2).

Từ (1) và (2), suy ra BE $\perp$ (SAI) ⇒ BE $\perp$ SI.

Khi đó

Xét DABC vuông tại B, có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$.

Mà I là trung điểm của AC nên $AI=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét DSIA vuông tại A, ta có:

$\tan \widehat{SIA}=\frac{SA}{IA}=\frac{a\sqrt{6}}{2}:\frac{a\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc phẳng nhị diện [S, BC, A] là

A. $\widehat{SBA}$;

B. $\widehat{SCA}$;

C. $\widehat{ASC}$;

D. $\widehat{ASB}$.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC), đáy ABC là tam giác đều cạnh a và $SA=\frac{3a}{2}$ .  Tính số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A].

A. 60°;

B. 90°;

C. 30°;

D. 45°.

Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao hình chóp bằng . Số đo của góc phẳng nhị diện [S, BC, A] bằng

A. 60°;

B. 75°;

C. 30°;

D. 45°.

Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và  $OB=OC=a\sqrt{6}$, OA = a. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [O, BC, A].

A. 60°;

B. 30°;

C. 45°;

D. 90°.

Bài 5. Hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính cosin của góc phẳng nhị diện [S, BC, A].

A. $\frac{1}{2}$;

B. $\frac{\sqrt{6}}{3}$;

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = a, DSAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi j là góc phẳng nhị diện [S, BC, A]. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$\phi$ = 60°;

B. $\tan \phi =\frac{\sqrt{3}}{4}$;

C. $\phi$ = 30°;

D. $\tan \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$

Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B, AB = BC = a,$SA=a\sqrt{3}$ , SA $\perp$ (ABC). Số đo của góc phẳng nhị diện[S, BC, A]là

A. 90°;

B. 30°;

C. 45°;

D. 60°.

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và $SA=\frac{a\sqrt{6}}{6}$. Khi đó số đo của góc phẳng nhị diện[S, BD, A] là

A. 30°;

B. 75°;

C. 60°;

D. 45°.

Bài 9. Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi j là góc phẳng nhị diện [B, SD, C]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\tan \phi =\sqrt{2}$ ;

B. $\tan \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$;

C. $\tan \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

D. $\tan \phi =\sqrt{6}$ .

Bài 10. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 4a, AD = 3a. Các cạnh bên đều có độ dài 5a. Góc nhị diện [S, BC, A] có số đo là

A. 75°46';

B. 71°21';

C. 68°31';

D. 65°12'.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Hình chóp đều, hình lăng trụ đứng và các trường hợp đặc biệt

• Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, mặt phẳng

• Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

• Thể tích khối chóp, khối chóp cụt đều

---