100 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (cơ bản - Phần 2)

Với 100 Bài tập Cực trị của hàm số (cơ bản - Phần 2) có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm Bài tập Cực trị của hàm số (cơ bản - Phần 2).

100 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (cơ bản - Phần 2)

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Câu 34: Cho hàm số Tính tổng giá trị cực đại y_CĐ và giá trị cực tiểu y_CT của hàm số trên.

A. –5      B. 2

C. –4      D. -6

Lời giải:

Tập xác định: D = R\{0}.

Có

Suy ra: y_CĐ + y_CT = -1 + (-5) = -6 .

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 35: Cho hàm số y = (x - 1).(x + 2)². Trung điểm I của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây?

A. 2x + y + 4 = 0      B. 2x + y - 2 = 0

C. x + 2y + 1 = 0      D. x + y + 1 = 0

Lời giải:

Ta có: y = (x - 1).(x + 2)² = x³ + 3x² - 4

Đạo hàm: y' = 3x² + 6x và y'' = 6x + 6.

Đối với hàm bậc ba, trung điểm của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số chính là điểm uốn của đồ thị. Do đó, trung điểm I cần tìm có hoành độ x_I thỏa mãn: 6x_I + 6 = 0 ⇔ x_I = - 1.

⇒ y_I = -2

Vậy điểm I cần tìm là (-1; -2). Dễ thấy điểm I thuộc đường thẳng 2x + y + 4 = 0

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 36: Cho hàm số Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = -3; đạt cực tiểu tại x = 1.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = -3; đạt cực đại tại x = 1.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = -3 và x = 1; đạt cực đại tại x = 0.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = -3 và x = 1; đạt cực tiểu tại x = 0.

Lời giải:

Đạo hàm: y' = x⁴ + 2x³ – 3x² = x²(x² + 2x – 3)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và đạt cực đại tại x = -3.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 37: Giá trị cực đại của hàm số y = x + sin2x trên (0; π) là:

Lời giải:

Ta có đạo hàm y' = 1 + 2cos2x.

Xét phương trình y' = 0 ⇔ 1 + 2cos2x = 0 ⇔ cos2x = -1/2

Do x ∈ (0; π) ⇒ x = π/3.

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = π/3 và giá trị cực đại của hàm số là

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 38: Biết đồ thị hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có hai điểm cực trị là (-1; 18) và (3; -16). Tính a + b + c + d ?

A. – 2      B. -1

C. 1      D. 2

Lời giải:

Đạo hàm: y' = 3ax² + 2bx + c

Xét phương trình: y’ = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0 (*)

Do đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nên (*) có 2 nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi- et ta có:

Mà 2 điểm cực trị là (-1; 18) và (3; -16) thuộc đồ thị hàm số nên ta có:

-a + b – c + d = 18 (3) và 27a + 9b + 3c + d = -16 ( 4).

Giải hệ 4 phương trình (1); (2); (3); (4) ta có:

Suy ra a + b + c + d = 1.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 39: Cho hàm số y= -x³ + (m + 1)x² – (m² + 2m - 3)x – 4, xác định tham số m để đồ thị hàm số y có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục trung:

A. m > 3      B. -3 < m < 1

C. -3 ≤ m ≤ 1      D. Với mọi giá trị m.

Lời giải:

Đạo hàm: y' = -3x² + 2(m + 1)x – (m² + 2m - 3) (*)

Để đồ thị hàm có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục tung khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm trái dấu:

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 40: Giá trị cực tiểu của y = x + 1/x là giá trị nào sau đây ?

A. - 1      B. 1

C. -2      D. 2

Lời giải:

Cách 1: Dùng bảng biến thiên.

Cách 2: Dùng y''

suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Vậy giá trị cực tiểu là y(1) = 2.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 41: Tìm điều kiện của m để hàm số y = 2x⁴ – 4(m + 5)x² + m² – 4 có 3 cực trị:

A. m ∈ (-∞; -5)      B. m ∈ (-∞; -5]

C. m ∈ [5; +∞)      D. m ∈ (5; +∞)

Lời giải:

Đạo hàm: y' = 8x³ – 8(m + 5)x

Xét phương trình y' = 0 ⇔ 8x[x² – (m + 5)] = 0

Để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

⇔ m + 5 > 0 hay m > -5.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 42: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị (nếu có) của hàm số y = -x³ + 2x² là đường thẳng nào dưới đây:

Lời giải:

Đạo hàm: y' = -3x² + 4x.

Ta có:

Giả sử hàm số đã cho có hai điểm cực trị x₁; x₂ khi đó đạo hàm tại hai điểm đó bằng 0: y'(x₁) = y'(x₂) = 0.

Từ đó, suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số là y = 8x/9

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 43: Cho hàm số y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Hàm số có cực trị là (0; 1); (1; -1). Khi đó xác định hàm số f(x)?

A. f(x) = x³ + 3x + 1      B. f(x) = x³ - 3x + 1

C. f(x) = -x³ + 3x      D. f(x) = 2x³ + 6x + 1

Lời giải:

Đạo hàm: y' = 3ax² + 2bx + c

Hàm số có 2 cực trị là (0; 1) và (1; -1) nên ta có hệ phương trình:

Vậy hàm số cần tìm là: y = x³ – 3x² + 1

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 44: Cho y = x.√(9 - x²). Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số?

Lời giải:

Đạo hàm

Dựa vào bảng biến thiên; đồ thị hàm số đạt cực đại tại

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 45: Giả sử m là số cực trị của hàm y = ax³ + bx² + 1 (a ≠ 0). Xét trên khoảng (1; +∞), m có thể bằng bao nhiêu ?

A. m = 1      B. m = 1 hoặc m = 2

C. m = 0 hoặc m = 2      D. m = 1 hoặc m = 0

Lời giải:

Ta sẽ tính đạo hàm và tìm cực trị của hàm số sau đó xét các cực trị thuộc khoảng (1; +∞)

Đạo hàm: y'= 3ax² + 2bx = x.(3ax + 2b)

Rõ ràng điểm 0 ∉ (1; +∞) còn -2a/3a có thể ∈ (1; +∞).

Vậy hàm số đã cho có thể có 0 hoặc 1 cực trị trên khoảng (1; +∞).

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 46: Cho hàm số

Tìm mệnh đề đúng?

Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận hàm số đạt cực tiểu tai x = 0 và x = 3

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 47: Hàm số y = ax³ + ax² - 4 đạt cực tiểu tại x = -2/3 thì a thỏa mãn điều kiện gì ?

A. a > 0      B. a < 0

C. a = 0      D. a ≠ 0

Lời giải:

Đạo hàm y' = 3ax² + 2ax (*)

- Để hàm số có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt:

⇔ Δ' > 0 ⇔ a ≠ 0 (1)

- Hàm số có cực trị tại x = -2/3 nên:

- Kết hợp (1), (2) suy ra a ≠ 0

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 48: Cho hàm trùng phương y = -2x⁴ + 4(2m² + 1)x² + 1, giá trị nhỏ nhất của y_CĐ là bao nhiêu

A. min = 1      B. min = 3

C. min = 0      D. min = 2

Lời giải:

Đạo hàm: y' = -8x³ + 8(2m² + 1)x = -8x.[x² – (2m² + 1)].

Nhận xét: Hàm trùng phương có 3 cực trị với hệ số a < 0 sẽ có 2 cực đại và 1 cực tiểu. Từ đó ta xác định được giá trị cực đại:

y_CD = -2(2m² + 1)² + 4(2m² + 1)² = 2(2m² + 1)² + 1

Vì 2m² + 1 ≥ 1 nên 2(2m² + 1)² + 1 ≥ 2 + 1 = 3

Do đó min y_CĐ = 3. Dấu "=" xảy ra khi m = 0

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 49: Định m để đạt cực tiểu tại x = -1

A. m = 1/4      B. m = 1/2

C. m = 1      D. Không có giá trị nào thỏa mãn

Lời giải:

Đạo hàm: y'= x² + 4mx và y'' = 2x + 4m

Để hàm đạt cực tiểu tại x = -1

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 50: Cho hàm số:

Xác định giá trị m để cực đại và cực tiểu nằm trong khoảng (-3;4)

A. m ∈ (-2; 5)      B. m ∈ (-2; 5)\{3}

C. m ∈ (-∞; 2)      D. m ∈ (3; 5)

Lời giải:

Ta cần tìm cực đại và cực tiểu; sau đó cho thuộc vào khoảng đề bài yêu cầu.

Đạo hàm: y’ = x2 + (m- 1)x + m - 2

Để hàm có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi:

Δ = (m - 1)² - 4.1.(m - 2) > 0 ⇔ (m - 3)² > 0 ⇔ m ≠ 3 (1)

Với điều kiện trên phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm là:

Vì x₁ đã thuộc (-3; 4) nên ta chỉ cần định điều kiện để x₂ thuộc (-3; 4).

Để x₂ thuộc (-3;4) ⇔ -3 < 2 - m < 4 kết hợp (1) ta được m ∈ (-2; 5)\{3}

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 51: Đồ thị hàm số có mấy điểm cực tiểu ?

A. 0     B. 1

C. 2     D. 3

Lời giải:

TXĐ: D = [-3; 3]

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra hàm số không có cực tiểu

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 52: Đường thẳng y = x³ + 3x² – 3x + 1 có 2 điểm cực trị A và B. Đường thẳng song song với AB có thể là đường nào trong các đường thẳng dưới đây

A. 4x + y – 2 = 0      B. y = -4x + 3

C. 4x + 2y + 3 = 0      D. y = 1/4.x - 2

Lời giải:

Tính đạo hàm, thực hiện phép chia y/y' ta được:

Vậy đường thẳng qua 2 điểm cực trị là: y = -4x + 2

Ta thấy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = -4x + 3.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 53:Hàm số tìm mệnh đề đúng?

A. Giá trị cực tiểu là 2√3

B. Giá trị cực đại là 2√3

C. Điểm cực tiểu có hoành độ là –2

D. Điểm cực đại có hoành độ là 2

Lời giải:

- TXĐ: D= [-5; 1]

Xét phương trình y’= 0

- Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại x = -2 và giá trị cực đại là 2√3

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 54: Hàm số y = x³ + mx + 201 có cả cực đại và cực tiểu khi.

A. m < 0     B. m > 0

C. m ≥ 0      D. m ≤ 0

Lời giải:

Đạo hàm y = 3x² + m

Hàm số y = x³ + mx + 201 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Vậy m < 0.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 55: Cho hàm số y = (m - 2)x³ – mx + 10. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực trị?

A. 0 < m < 2      B. m < 1

C. m > 2 hoặc m < 0.      D. m > 1

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Đạo hàm y'= 3(m – 2).x² – m.

Xét phương trình: y' = 0 hay 3(m - 2)x² – m = 0 (1) .

+ TH1: Xét m = 2 khi đó y’= -2 < 0 mọi x nên hàm số đã cho không có cực trị.

+ TH2: Xét m ≠ 2

Hàm số có cực trị khi Δ' > 0 ⇔ m(m - 2) > 0

Vậy để hàm số đã cho có cực trị thì m > 2 hoặc m < 0.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 56: Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx⁴ – m²x² + 1995 có 3 điểm cực trị?

A. m < 0

B. m > 0

C. ∀m ∈ R\{0}

D. Không tồn tại giá trị của m.

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Đạo hàm y' = 4mx³ – 2xm²

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 57: Cho hàm số (m là tham số).

Tìm tất cả tham số thực m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

A. m = 1      B. m = 0

C. m = 2      D. m = 3

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Đạo hàm: y' = x² – 2(m + 1)x + m² + 2m và y'' = 2x – 2m - 2

Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 khi và chỉ khi:

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 58: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y = 2(m² – 3). sinx – 2msin2x + 3m – 1 đạt cực đại tại x = π/3.

A. Không tồn tại giá trị m.      B. m = 1

C. m = - 3      D. m = - 3; m = 1.

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Đạo hàm y' = 2(m² - 3).cosx – 4m.cos2x và y'' = 2(3 - m²).sinx + 8m.sin2x

Để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = π/3 ta có

Vậy m = - 3 là giá trị cần tìm.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 59: Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y = (m - 1)x⁴ – (m² – 2)x² + 201 đạt cực tiểu tại x = -1?

A. m = - 2      B. m = 1

C. m = 2      D. m = 0

Lời giải:

Tập xác định D= R.

Đạo hàm: y' = 4(m - 1)x³ – 2(m² – 2).x và y'' = 12(m - 1).x² – 2m² + 4.

Để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = - 1 khi và chỉ khi:

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 60: Cho hàm số chọn phát biểu đúng:

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, x = 5.

C. Hàm số đạt cực trị tại x = 1, x = 3, x = 5

D. Hàm số không có cực trị.

Lời giải:

- TXĐ: D = (-∞; 1] ∪ [5; +∞)

Vậy hàm số không có cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 61: Cho hàm số y = (x + 2)².(x - 2)², phát biểu nào sau đây là đúng ?

A. Đồ thị có 1 cực đại và 2 cực tiểu

B. Đồ thị có 1 cực tiểu và 2 cực đại

C. Đồ thị có 1 cực đại

D. Đồ thị có 1 cực tiểu

Lời giải:

Ta có: y = (x + 2)².(x - 2)² = (x² – 4)²

Hay y = x⁴ – 8x² + 16

Đạo hàm: y'= 4x³ – 16x

Do phương trình y' = 0 có 3 nghiệm đơn và hệ số a > 0 nên hàm số đã cho có 1 cực đại và 2 cực tiểu.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 62: Cho hàm số y = 1/3.x³ + (m - 2)x² - (2m + 3)x + 100, phát biểu nào sau đây là sai khi nói về đồ thị hàm số y ?

A. Hàm số luôn có cực đại cực tiểu ∀m.

B. Hàm số luôn có cực đại cực tiểu ∀m \ {1} .

C. Hàm số luôn có cực đại cực tiểu m ∈ (1; +∞).

D. Hàm số luôn có cực đại cực tiểu m ∈ (-∞; 1).

Lời giải:

Đạo hàm: y'= x² + 2(m - 2)x – (2m + 3)

- Hàm số có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt:

⇔ Δ' = (m - 2)² + (2m + 3) = m² – 2m + 7 = (m + 1)² + 6 > 0 ∀m.

Suy ra phương trình y' = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 63: Biết rằng hàm số đạt cực trị bằng 11/4 tại x = 1, khi đó n + m bằng bao nhiêu ?

A. 3     B. 4

C. 1     D. Đáp án khác

Lời giải:

- Đạo hàm: y' = x³ - mx

- Để hàm số đạt cực tiểu bằng 11/4 tại x = 1 thì:

Vậy n + m = 4.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 64: Cho hàm số y = 4sin2x + 102, hàm số đạt cực tiểu tại tập những điểm nào sau đây ?

Lời giải:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 65: Cho hàm số có đạo hàm f'(x) = x².(x - 1)².(2x – 7). Số cực trị của hàm số y = f(x) là giá trị nào dưới đây?

A. 1     B. 2

C. 3     D. 4

Lời giải:

- Hàm số đạt cực trị tại x = x₀ nếu đạo hàm tại điểm đó bằng 0 và y' của hàm số đổi dấu khi qua x₀.

- Xét phương trình

Phương trình y' = 0 có 3 nghiệm nhưng chỉ có x = 3/2 làm y’ đổi dấu.

Vậy hàm số đã cho chỉ có 1 cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 66: Xác định điểm m để y = sin4x - 2m.cosx đạt cực tiểu tại x = π/3 ?

Lời giải:

Đạo hàm: y' = 4cos4x + 2m.sinx và y'' = -16sin4x + 2m.cosx

- Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có x = π/3

Suy ra chọn đáp án B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• 100 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (cơ bản - Phần 3)
• 120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 1)
• 120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 2)
• 120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 3)

---