120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 3)

Với 120 Bài tập Cực trị của hàm số (nâng cao - Phần 3) có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm Bài tập Cực trị của hàm số (nâng cao - Phần 3).

120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 3)

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Câu 61: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(3 - x)

A. 2     B. 3

C. 5     D. 6

Lời giải:

Ta có g(x) = f(3 - x) nên g'(x) = -f'(3 - x)

• g'(x) = 0 ⇔ f'(3 - x) = 0

• g'(x) không xác định khi 3 - x = 1 hay x = 2

Bảng biến thiên

Vậy hàm số g(x) = f(3 - x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 62: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số g(x) = |f(x – 2017) + 2018| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2     B. 3

C. 4     D. 5

Lời giải:

Đồ thị hàm số u( x) = f(x - 2017) + 2018 có được từ đồ thị f(x) bằng cách tịnh tiến đồ thị f(x) sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị.

Suy ra bảng biến thiên của u(x)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g(x) = |u(x)| có 3 điểm cực trị (tại x = 0, x = 2016, x = 2020).

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 63: Cho hàm bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số g(x) = |f(x) + m| có 3 điểm cực trị là:

A. m ≤ -1 hoặc m ≥ 3      B. m ≤ -3 hoặc m ≥ 1

C. m = -1 hoặc m = 3      D. 1 ≤ m ≤ 3

Lời giải:

Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số |f(x)| bằng A + B với:

• A là số điểm cực trị của hàm f(x).

• B là số giao điểm của f(x) với trục hoành (không tính các điểm trùng với A ở trên)

Áp dụng: Vì hàm f(x) đã cho có 2 điểm cực trị nên f(x) + m cũng luôn có 2 điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) + m với trục hoành là 1.

Để số giao điểm của đồ thị f(x) + m với trục hoành là 1, ta cần

• Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới tối thiểu 1 đơn vị nên m ≤ -1

• Hoặc tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên tối thiểu 3 đơn vị nên m ≥ 3

Vậy m ≤ -1 hoặc m ≥ 3

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 64: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Đồ thị hàm số g(x) = |f(x) – 2m| có 5 điểm cực trị khi

A. m ∈ (4; 11)      B. m ∈ [2; 11/2]

C. m ∈ (2; 11/2)      D. m = 3

Lời giải:

Vì hàm số f(x) đã cho có 2 điểm cực trị nên f(x) - 2m cũng luôn có 2 điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) - 2m với trục hoành là 3.

Để số giao điểm của đồ thị f(x) – 2m với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới lớn hơn 4 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 11 đơn vị nên:

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 65: Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số sau có 5 điểm cực trị bằng:

A. -2016      B. -496

C. 1952      D. 2016

Lời giải:

* Vẽ đồ thị hàm số f(x) = x³ – 3x² – 9x - 5 như hình bên dưới

* Ta thấy hàm số f(x) có 2 điểm cực trị nên f(x) + m/2 cũng luôn có 2 điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) + m/2 với trục hoành là 3.

Để số giao điểm của đồ thị f(x) + m/2 với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên nhưng phải nhỏ hơn 32 đơn vị nên:

0 < m/2 < 32 ⇔ 0 < m < 64 -^{m ∈ Z}→ m ∈ {1; 2; 3;...; 63}

Do đó, tổng các giá trị của m thỏa mãn là:

1 + 2 + 3 + ... + 63 = [(1 + 63).63]/2 = 2016

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 66: Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số g(x) = |f(x) - m| có 5 điểm cực trị.

A. -2 < m < 2      B. m > 2

C. m ≥ 2      D.

Lời giải:

+ Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x) - m cũng luôn có 3 điểm cực trị.

+ Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) – m với trục hoành là 2.

+ Để số giao điểm của đồ thị f(x)- m với trục hoành là 2, ta cần tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới ít nhất 2 đơn vị (bằng 2 đơn vị vẫn được vì khi đó điểm cực trị trùng với điểm chung của đồ thị với trục hoành nên ta chỉ tính một lần)

⇒ -m ≤ -2 ⇒ m > 2

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 67: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) = |f(x + 2018) + m| có 7 điểm cực trị ?

A. 2     B. 3

C. 4     D. 6

Lời giải:

* Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x + 2018) + m cũng luôn có 3 điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).

* Do đó yêu cầu bài toán tìm trở thành: Tìm các giá trị của m để số giao điểm của đồ thị f(x + 2018) + m với trục hoành là 4.

Để số giao điểm của đồ thị f(x + 2018) + m với trục hoành là 4, ta cần đồng thời:

• Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới nhỏ hơn 2 đơn vị nên m > -2

• Tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên nhỏ hơn 3 đơn vị nên m < 3

Vậy -2 < m < 3 -^{m ∈ Z+}→ m ∈ {1;2}

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 68: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = |f(x + 2018) + m²| có 5 điểm cực trị ?

A. 1     B. 2

C. 4      D. 5

Lời giải:

Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x + 2018) + m² cũng luôn có 3 điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).

Ta đi tìm các giá trị nguyên dương của tham số m để số giao điểm của đồ thị f(x + 2018) + m² với trục hoành là 2.

Để số giao điểm của đồ thị f(x + 2018) + m² với trục hoành là 2, ta cần

• Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị ⇒ m² ≤ -2: vô lý

• Hoặc tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên tối thiểu 2 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị

⇒ 2 ≤ m² < 6

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 69: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-4, 4] để hàm số g(x) = |f(x - 1) + m| có 5 điểm cực trị ?

A. 3     B. 5

C. 6     D. 7

Lời giải:

Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x - 1) + m cũng luôn có 3 điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).

Do đó yêu cầu bài toán trở thành: Tìm các giá trị nguyên của m để số giao điểm của đồ thị hàm số f(x - 1) + m với trục hoành là 2.

Để số giao điểm của đồ thị hàm số f(x - 1) + m với trục hoành là 2, ta cần:

• Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị

• Hoặc tịnh tiến đồ thị hàm số f(x) lên trên tối thiểu 3 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị

⇒ 3 ≤ m < 6

Vậy

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 70: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = mx³ – 3mx² + 3m - 3 có hai điểm cực trị A, B sao cho 2AB² - (OA² + OB²) = 20 (Trong đó O là gốc tọa độ).

A. m = -1      B. m = 1

C. m = -1 hoặc m = -17/11      D. m = 1 hoặc m = -17/11

Lời giải:

Ta có: y' = m(3x² – 6x)

Với mọi m ≠ 0, ta có:

Vậy hàm số luôn có hai điểm cực trị.

Giả sử A(0, 3m - 3), B( 2; -m - 3) .

Suy ra: OA² = (3m - 3)², OB² = 4 + (-m - 3)² = m² + 6m + 13 và AB² = 4 + 16m²

Ta có: 2AB² – (OA² + OB²) = 20

⇔ 2.(4 + 16m²) – [(3m - 3)² + m² + 6m + 13] = 20

⇔ 8 + 32m² – (10m² - 12m + 22) - 20 = 0

⇔ 22m² + 12m - 34 = 0

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn là:

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 71: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số g(x) = f(|x| + m) có 5 điểm cực trị.

A. m < -1      B. m > -1

C. m > 1      D. m < 1

Lời giải:

* Nhận xét: Hàm số g(x)= f(|x| + m) là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng .

Suy ra: x = 0 là một điểm cực trị của hàm số.

* Ta có với x ≠ 0

Do đó g'(x) = 0 ⇔ f'(|x| + m) = 0

Để hàm số g(x) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có 4 nghiệm phân biệt khác 0.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 72: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số h(x) = |f²(x) + f(x) + m| có đúng 3 điểm cực trị

A. m > 1/4      B. m ≥ 1/4

C. m < 1      D. m ≤ 1

Lời giải:

Ta có: g(x) = f²(x) + f(x) + m nên g'(x)= f'(x).[2f(x) + 1]

Ta tính được

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra đồ thị hàm số h(x) = |f²(x) + f(x) + m|

có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số g(x) nằm hoàn toàn phía trên trục Ox (kể cả tiếp xúc) nên m ≥ 1/4

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 73: Hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị là -2, -1 và 0. Hàm số g(x) = f(x² – 2x) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3      B. 4

C. 5      D. 6

Lời giải:

Từ giả thiết suy ra

Ta có g(x) = f(x² – 2x) nên g'(x) = 2(x - 1).f'(x² - 2x)

Vì g'(x) = 0 có hai nghiệm đơn và một nghiệm bội lẻ nên g(x) có 3 điểm cực trị (là x = 0, x = 1, x = 2).

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 74: Cho hàm số f(x) = x³ – (2m - 1)x² + (2 - m)x + 2 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị.

A. -2 < m < 5/4      B. -5/4 < m < 2

C. 5/4 < m < 2      D. 5/4 < m ≤ 2

Lời giải:

Ta có f'(x)= 3x² – 2(2m - 1)x + 2 - m

Hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số f(x) có hai cực trị dương

Suy ra phương trình f’(x) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt:

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 75: Cho hàm số f(x) = mx³ – 3mx² + (3m - 2)x + 2 - m với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [-10;10] để hàm số g(x) = |f(x)| có 5 điểm cực trị ?

A. 7      B. 9

C. 10      D. 11

Lời giải:

Để hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị thì phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

f(x) = 0 ⇔ (x - 1)(mx² - 2mx + m - 2) = 0

Do đó để phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1:

⇔ m > 0 -^{m ∈ Z; m ∈ [-10;10]}→ m ∈ {1; 2; 3;...; 10}

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 76: Cho hàm số bậc ba f(x) = ax³ + bx² + cx + d có đồ thị nhận hai điểm A(0;3) và B(2;-1) làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số g(x)= |ax².|x| + bx² + c.|x| + d| là:

A. 5     B. 7

C. 9     D. 11

Lời giải:

Ta có: g(x)= |ax².|x| + bx² + c.|x| + d| = |f(|x|)|

* Hàm số f(x) có hai điểm cực trị trong đó có một điểm cực trị bằng 0 và một điểm cực trị dương khi và chỉ khi hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị (1).

* Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực trị A(0;3) ∈ Oy và điểm cực trị B(2; -1) thuộc góc phần tư thứ IV nên đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại 3 điểm (1 điểm có hoành độ âm, 2 điểm có hoành độ dương)

Suy ra, đồ thị hàm số f(|x|) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt (2).

*Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số g(x) = |f(|x|)| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 78: Cho hàm số f(x) = ax³ + bx² + cx + d với a, b, c, d ∈ R. Hàm số g(x) = |f(x) – 2018| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1     B. 2

C. 3     D. 5

Lời giải:

Hàm số g(x)= f(x) - 2018 (là hàm số bậc ba) liên tục trên R.

Ta có:

Suy ra, g(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên R.

Khi đó đồ thị hàm số f(x) - 2018 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số g(x) = |f(x) - 2018| có đúng 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 79: Cho hàm số f(x) = x³ + ax² + bx + c với a, b, c ∈ R. Hàm số g(x) = |f(x)| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1     B. 2

C. 3     D. 5

Lời giải:

Hàm số f(x) = x³ + ax² + bx + c (là hàm số bậc ba) liên tục trên R.

Ta có:

Nên hàm số f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên R.

Khi đó đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số g(x) = |f(x)| có đúng 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 80: Cho hàm số f(x) = x³ + mx² + nx - 1 với m, n ∈ R. Hàm số g(x) = |f(|x|)| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2     B. 5

C. 9     D. 11

Lời giải:

Ta có:

và lim f(x) = +∞ ⇒ ∃p > 2 sao cho f(p) > 0 (x → +∞)

Suy ra f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt c₁ ∈ (0;1), c₂ ∈ (1;2) và c₃ ∈ (2;p) (1)

Suy ra đồ thị hàm số f(x) có hai điểm cực trị x₁ ∈ (c₁; c₂) và x₂ ∈ (c₂; c₃) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số f(x) có dạng như hình bên dưới

Từ đó suy ra hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị nên hàm số |f(|x|)| có 11 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 81: Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d đạt cực trị tại các điểm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ ∈ (-1;0), x₂ ∈ (1;2). Biết hàm số đồng biến trên khoảng (x₁, x₂). Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0

B. a < 0, b < 0, c > 0, d < 0

C. a > 0, b > 0, c > 0, d < 0

D. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0

Lời giải:

Vì hàm số y = ax³ + bx² + cx + d đạt cực trị tại các điểm x₁, x₂ và hàm số đồng biến trên khoảng (x₁, x₂) nên suy ra a < 0.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d < 0.

Ta có y' = 3ax² + 2bx + c. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ ∈ (-1;0), x₂ ∈ (1;2) nên suy ra y' = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 mà a < 0 nên c > 0.

Mặt khác x₁ ∈ (-1;0), x₂ ∈ (1;2) nên x₁ + x₂ > 0

Vậy a < 0, b > 0, c > 0, d < 0

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 82: Cho hàm số y = f(x) = ax⁴ + bx² + c biết a > 0, c > 2018 và a + b + c < 2018. Số cực trị của hàm số g(x)= |f(x - 2018)| là

A. 1     B. 3

C. 5     D. 7

Lời giải:

Đặt h(x) = f(x) – 2018 = ax⁴ + bx² + c - 2018

Từ giả thiết

nên đồ thị hàm số h(x) có 3 điểm cực trị (1).

Ta có:

Suy ra h(1).h(0) < 0 có nghiệm thuộc (0, 1).

Do đó, phương trình h(x) =0 có 4 nghiệm phân biệt (2) .

Từ (1) và (2) suy ra hàm số g(x) = |f(x) – 2018| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 83: Cho hàm số f(x) = (m⁴ + 1).x⁴ + (-2^m+1.m² – 4).x² + 4m + 16 với m là tham số thực. Hàm số g(x) = |f(x) - 1| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3     B. 5

C. 6     D. 7

Lời giải:

Ta có:

Suy ra

• f'(x) = 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt vì -(m⁴ + 1)(2^m+1.m² + 4) < 0 với mọi m.

• f(x) – 1 = 0 vô nghiệm do:

Δ' = (2^m.m² + 2)² - (m⁴ + 1).(4^m + 15)

= 4.2^m.m² + 4 - 15m⁴ - 4^m - 15 = -(2^m - m²)² - 11m⁴ - 11 > 0

Vậy hàm số đã cho có 3 cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 84: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a,b) và có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a,b). Biết điểm x ∈ (a,b) thỏa mãn f'(x₀) = 0 và f''(x) = (x₀ - 2).x + m² - m + 2 với m là tham số thực. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x₀.

B. Hàm số đạt cực đại tại điểm x₀.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (a,b).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (a,b).

Lời giải:

Xét hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) và đạo hàm cấp hai là f''(x) = (x₀ – 2).x + m² – m + 2

Ta có f'(x₀) = 0 nên x0 là điểm cực trị của hàm số. Và f''(x₀) = (x₀ - 2).x₀ + m² – m + 2.

⇒ f''(x₀) = x₀² - 2x₀ + m² - m + 2

Suy ra x₀ là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) .

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 85: Gọi (Δ) đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x³ – 3x² – 9x + 1. Tìm m để ba đường thẳng (Δ), (d₁), (d₂) với (d₁): 6x + y + 4 = 0, (d₂): (m + 1)x - y + m² - 2 = 0 đồng quy ?

A. 0     B. 1

C. 2     D. Đáp án khác

Lời giải:

Xét hàm số y = x³ – 3x² – 9x + 1, ta có y' = 3x² - 6x - 9, ∀x ∈ R

Phương trình:

Như vậy hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(3; -26) và B(-1; 6).

Suy ra phương trình đường thẳng AB là: (Δ): 8x + y + 2 = 0

Tọa độ giao điểm của (Δ) và (d₁) là:

Vì (Δ), (d₁), (d₂) đồng quy nên M ∈ (d₂) suy ra: (m + 1).1 + 10 + m² – 2 = 0

Hay m² + m + 9 = 0 vô nghiệm .

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 86: Cho hàm số y = 2x³ – 3(m + 1).x² + 6mx + m³. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB = √2

A. m = 0      B. m = 0 hoặc m = 2

C. m = 1      D. m = 2

Lời giải:

Ta có đao hàm: y' = 6x² – 6(m + 1).x + 6m

Để hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m ≠ 1.

Tọa độ các điểm cực trị là A(1, m³ + 3m - 1) và B(m, 3m²).

Suy ra AB² = (m - 1)² + (m³ – 3m² + 3m - 1)² = (m - 1)² + (m - 1)⁶

Theo bài ra ta có:

AB² = 2 ⇔ (m - 1)⁶ + (m - 1)² = 0 ⇔ [(m - 1)²]³ - 1 + [(m - 1)² - 1] = 0

⇔ [(m - 1)² - 1].[(m - 1)⁴ + (m - 1)² + 2] = 0 ⇔ (m - 1)²

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 87: Cho hàm số y = x³ + 3x² + mx + m - 2 với m là tham số, có đồ thị là (C). Xác định tham số m để (C) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành

A. m < 2      B. m < 4

C. m < 3      D. m < 1

Lời giải:

Đạo hàm y' = 3x² + 6x + m có Δ'_y' = 9 - 3m.

Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt: Δ'_y' > 0 ⇔ m = 3.

Ta có:

Gọi x₁, x₂ là hoành độ của 2 điểm cực trị. Suy ra: y'(x₁) = y'(x₂) = 0 nên từ (*) suy ra:

Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi:

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 88: Cho hàm số y = x⁴ - 2x². Gọi Δ là đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho và có hệ số góc m. Tập hợp tất cả các giá trị tham số thực m sao cho tổng các khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số cho đến Δ là nhỏ nhất

A. m = 0      B. m = 1/2

C. m ∈ ∅      D. m = 1 hoặc m = -1

Lời giải:

+ Xét hàm số y = x⁴ - 2x². Ta có y' = 4x³ - 4x

+ Suy ra A(0;0), B(1; -1), C(-1; -1) là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Đồng thời điểm A(0,0) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

+ Phương trình đường thẳng Δ có hệ số góc m và đi qua điểm A là y = mx hay mx - y = 0

+ Ta có:

khi đó

với

Mặt khác 2ab ≥ 0 ⇔ (a + b)² ≥ a² + b²

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 89: Đồ thị hàm số y = ax⁴ + bx² + c có hai điểm cực trị A(0,2); B(1,m). Biểu thức P = 2(a² – m²)- b² đạt giá trị lớn nhất khi a + b + c + m bằng

A. 1      B. 2

C. -1     D. -2

Lời giải:

Xét hàm số y = ax⁴ + bx² + c ta có y' = 4ax³ = 2bx

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A(0,2) và B(1,m) nên:

Lấy (1) – 2.(2) ta được:

(2a + b)² – 2(a + b)² = -2(m - 2)² hay 2a² – b² = -2(m - 2)²

Khi đó: P = 2a² – b² – 2m² = -2(m - 2)² – 2m² = - 4 – 4(m - 1)² ≤ -4

Do đó max P = -4.

Dấu “=” xảy ra khi m = 1 .

Vậy

⇒ P = a + b + c + m = 2

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 90: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (m + 1)x⁴ - mx² + 3/2 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

A. m < -1     B. -1 ≤ m ≤ 0

C. m > 1      D. -1 ≤ m ≤ 0

Lời giải:

Ta xét hai trường hợp sau đây:

* TH1: m + 1 = 0 hay m = -1.

Khi đó y = x² + 3/2 ⇒ hàm số chỉ có cực tiểu (x = 0) mà không có cực đại

Do đó m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* TH2: m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1.

Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương ta có:

Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ y' = 0 có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm này

Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có -1 ≤ m ≤ 0.

Suy ra chọn đáp án B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• 120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 1)
• 120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 2)
• 120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 3)
• 120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 4)

---