Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số và cách giải
Với Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.
Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số và cách giải
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
Đưa phương trình g(x;m) = 0 về các dạng bài sau:
Dạng 1: f(x) = h(m), trong đó h(m) là một hàm phụ thuộc vào tham số m.
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x), tìm các giá trị cực đại, cực tiểu, giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của miền xác định của hàm số y = f(x).
- Đường thẳng y = h(m) di động song song với trục hoành, dựa vào số giao điểm của đường thẳng y = h(m) với đồ thị hàm số y = f(x) để biện luận số nghiệm của phương trình g(x;m) = 0.
Dạng 2: f(x) = ax + b, trong đó a cố định, b thay đổi.
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).
- Tìm các tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) có hệ số góc cho trước là a.
- Tìm giao điểm của tiếp tuyến với trục tung ( hoặc trục hoành) và giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục tung ( hoặc trục hoành). Cho b di động trên trục tung để suy ra số nghiệm của phương trình g(x;m).
Dạng 3: f(x) = ax + b, trong đó a thay đổi, b tùy ý.
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).
- Tìm điểm A(x0,y0) là điểm cố định của đường thẳng y = ax + b
- Viết các phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) đi qua A.
- Cho đường thẳng y = ax + b xoay quanh điểm cố định A. Từ đó suy ra nghiệm của phương trình g(x;m) = 0.
Chú ý:
- Nếu hàm số y = f(x) có miền xác định là đoạn thẳng [a,b] thì đồ thị hàm số y =f(x) ta chỉ xét phần x ∈ [a,b].
- Một số bài toán đặt ẩn phụ t = ∂(x), với ∂(x) là một biểu thức trong phương trình ban đầu thì:
+ Dựa vào miền xác định của x để tìm miền xác định của t.
+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(t) rồi làm giống như trên.
- Đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối.
1. Dạng y = |f(x)|.
+ Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y = f(x).
+ Lấy các phần của ( C) ở phía trên trục hoành.
+ Lấy thêm phần đối xứng qua trục hoành của các phần của ( C) phía dưới trục hoành.
2. Dạng
+ Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y = f(x).
+ Lấy các phần của ( C) tương ứng với x sao cho g(x) >0.
+ Lấy thêm phần đối xứng qua trục hoành của các phần của ( C) tương ứng với x sao cho g(x) <0.
3. Dạng làm tương tự như mục 2.
4. Dạng y = f(x) + |g(x)|.
Đồ thị gồm 2 phần:
+ Đồ thị ( C) y= f(x) + g(x) tương ứng với x sao cho g(x) >0.
+ Đồ thị ( C’) y = f(x) – g(x) tương ứng với x sao cho g(x) <0.
5. Dạng y = f(|x|).
+ Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y= f(x).
+ Lấy phần của ( C) bên phải trục oy tương ứng với x > 0.
+ Lấy thêm phần đối xứng qua trục oy của phần của ( C) bên phải trục oy.
Mở rộng: Đối với bài toán bất phương trình làm tương tự, lưu ý:
Giả sử hàm f(x) tồn tại Max-Min trên R. Ta có:
- Nếu hàm f(x) không tồn tại Max-Min trên R, tuy nhiên thông qua bảng biến thiên ta tìm được điều kiện bị chặn:M1 < f(x) < M2, khi đó:
Mở rộng: Đối với dạng bài tập phương trình tương giao.
- Cách giải: Chuyển tất cả ẩn, tham số của phương trình về 1 vế, ta sẽ được phương trình mới có dạng: g(x;m) = 0.
Như vậy, bài toán đã được đưa về dạng cơ bản. Tuỳ từng phương trình, chọn cách giải thích hợp.
B. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Cho hàm số y = 2x3 - 3x2 + 1 có đồ thị (C). Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2x3 - 3x2 - m - 1 = 0 (*)
Lời giải
Đồ thị (C)
Ta có: 2x3 - 3x2 - m - 1 = 0 ⇔ 2x3 - 3x2 + 1 = m + 2
Vậy số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: y = m + 2 .
- Với m + 2 < 0 hoặc m + 2 > 1 ⇔ m < -2 hoặc m > -1 thì d và (C) có một điểm chung => phương trình (*) có một nghiệm.
- Với m + 2 = 0 hoặc m + 2 = 1 ⇔ m = –2 hoặc m = –1 thì d và (C) có hai điểm chung => phương trình (*) có hai nghiệm.
- Với 0 < m + 2 < 1 ⇔ -2 < m < -1 thì d và (C) có ba điểm chung => phương trình (*) có ba nghiệm.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = x4 - 4x2 + 3 có đồ thị (C). Tìm m để phương trình -x4 + 4x2 - 3 - m = 0 (*) có 4 nghiệm phân biệt.
Lời giải
Đồ thị (C)
Ta có: (*) x4 - 4x2 + 3 = m
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: y = -m .
Vậy để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thì d và (C) phải cắt nhau tại 4 điểm.
=> -1 < -m < 3 ⇔ -3 < m < 1
Vậy với -3 < m < 1 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 3. Cho hàm số y = f(x) = x4 - 2x2 + 2 có bảng biến thiên như sau
Số giá trị nguyên dương của m để phương trình 2x4 - 4x2 + m - 5 = 0 có đúng 2 nghiệm
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Lời giải
Ta có: PT đã cho
Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng
Do vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm ⇔ d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
Kết hợp m ∈ Z+ => m = .
Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Câu 1. (Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình là
A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.
Câu 2. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f(x) = 1 là:
A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 3. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình f(x) = 2 là:
A. 0 . B. 3 C. 1 D. 2 .
Câu 4. Cho hàm số y = f(x) xác định trên R\, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau.
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt.
A. [-1;2]. B. (-1;2). C. (-1;2]. D. (- ;2].
Câu 5. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 2f(x) - 3 = 0 là:
A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Câu 6. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 3f(x) - 5 = 0 là:
A. 2 B. 3 C. 4 D. 0
Câu 7. Cho hàm số y = -x4 + 2x2 có đồ thị như hình bên.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình -x4 + 2x2 = m có bốn nghiệm thực phân biệt.
A. m > 0. B. 0 ≤ m ≤ 1. C. 0 < m < 1 . D. m<1.
Câu 8. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tất cả các giá trị m để phương trình f(sinx) = 0 có nghiệm thực thuộc khoảng (0;π).
A. [-1;3). B. (-1; 1). C. (-1;3). D. [-1;1).
Câu 9. Cho hàm số f(x), hàm số y = f'(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên.
Bất phương trình f(x) < x + m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x ∈ (0,2) khi và chỉ khi:
A. m ≥ f(2) - 2 . B. m ≥ f(0) C. m > f(2) - 2 D. m > f(0)
Câu 10. Cho hàm số f(x) , hàm số y = f’(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên.
Bất phương trình f(x) > x + m (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x ∈ (0,2) khi và chỉ khi:
A. m ≤ f(2) - 2 B. m < f(2) - 2
C. m ≤ f(0) D. m < f(0)
Câu 11. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình là
A. 3 . B. 8. C. 7 . D. 4.
Câu 12. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình là:
A. 6. B. 10. C. 12 D. 3.
Câu 13. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau
Bất phương trình f(x) < ex + m đúng với mọi x ∈ (-1,1) khi và chỉ khi
Câu 14 Cho hàm số f(x) = mx4 + nx3 + px3 + px + r (m,n,q,p,r ∈ R) .
Hàm số f’(x) có đồ thị như hình vẽ.
Tập nghiệm của phương trình f(x) = r có số phần tử là:
A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 15. Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f(x2f(x)) + 2 = 0 là
A. 8. B. 12 . C. 6 . D. 9 .
Câu 16. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình f(x2f(x)) = 2 là:
A. 6. B. 12. C. 8. D. 9.
Đáp án
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
A |
B |
B |
B |
C |
C |
C |
D |
B |
A |
B |
B |
C |
B |
D |
D |
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Các dạng bài tập về cực trị của hàm số
- Các dạng bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Các dạng bài tập về sự tương giao của đồ thị hàm số
- Các dạng bài tập tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12