Tất tần tật về tính tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải

---

---

Với Tất tần tật về tính tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải môn Toán lớp 12 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

Tất tần tật về tính tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải

                             

I. LÝ THUYẾT

Chú thích V₁ = Thể tích cũ, V₂ = Thể tích mới (dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh và đáy).

1. Kỹ thuật đổi đỉnh (đáy không đổi)

a) Song song với đáy

                                                                           

 

b) Cắt đáy 

2. Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi)

;với S₁ là diện tích đáy cũ; S₂ là diện tích đáy mới

Chú ý:

+ Đưa hai khối đa diện về cùng một đỉnh; hai đáy mới và cũ nằm trong cùng một mặt phẳng (thường thì đáy cũ chứa đáy mới). Áp dụng công thức tính diện tích của đa giác để so sánh tỉ số giữa đáy cũ và đáy mới.

+ Nếu tăng (hoặc giảm) mỗi cạnh của đa giác (tam giác, tứ giác), k lần thì diện tích đa giác sẽ tăng (hoặc giảm) k² lần.

3. Một số kết quả quan trọng:

Kết quả 1: Cho tam giác OAB, trên cạnh OA chọn A’, trên cạnh OB chọn B’.

Lúc đó:  

Kết quả 2: Cho hình chóp S. ABC, trên cạnh SA chọn A’, trên cạnh SB chọn B’ trên cạnh SC chọn C’.

Lúc đó:  

Kết quả 3: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’ lần lượt lấy các điểm M, N, P. 

           Giả sử  

           Khi đó:
Kết quả 4: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ lấy lần lượt các điểm M, N, P, Q sao cho M, N. P, Q đồng phẳng. 

Giả sử         

Khi đó: 

1. x + z = y + t  

2. 

II. PHƯƠNG PHÁP

Dạng 1. Tỉ số thể tích của hình chóp tam giác.

+) Tỉ số thể tích của hai khối chóp chung đáy (hoặc chung chiều cao) 

- Nếu hai khối chóp chung đáy thì tỉ số thể tích bằng tỉ số độ dài hai chiều cao.

- Nếu hai khối chóp chung đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích hai đáy.

+) Tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác:

- Sử dụng công thức tỉ số thể tích để tính.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có V_{S. ABC} = 6a³. Gọi M, N, Q lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB, SC sao cho SM = MA, SN = NB, SQ = 2QC. Tính V_S.MNQ.

Hướng dẫn giải:

Ta có:  

Vậy thể tích khối chóp S. MNQ là a³

Ví dụ 2: Hình chóp S. ABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm SA, SB, SC. Đặt . Khi đó giá trị của k là

Hướng dẫn giải

Ta có  

 

Vậy 

Chọn B.

Dạng 2. Tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác:

+) Tỉ số thể tích của hai khối chóp chung đáy (hoặc chung chiều cao) 

- Nếu hai khối chóp chung đáy thì tỉ số thể tích bằng tỉ số độ dài hai chiều cao.

- Nếu hai khối chóp chung đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích hai đáy.

+) Tỉ số thể tích của hai khối chóp tứ giác: 

- Phân chia khối chóp tứ giác thành nhiều khối chóp tam giác

- Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích của hình chóp tam giác, các kĩ thuật chuyển đỉnh, chuyển đáy để tính toán thể tích các khối chóp tam giác. 

- Kết luận lại về tỉ số khối chóp tứ giác ban đầu.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD bằng:

Lời giải

Tỉ số 

Tỉ số 

Chọn A.

Dạng 3. Tỉ số thể tích hình lăng trụ tam giác

+) Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V₍₄₎ là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ (4 đỉnh được lấy phải tạo thành tứ diện), V₍₅₎ là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó:

     

+) Nếu mặt phẳng cắt các cạnh bên của lăng trụ tam giác, ta sẽ áp dụng công thức tính nhanh ở kết quả 3.

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CC’ và BB’. Tính tỉ số 

Hướng dẫn giải:

Xét hai đa diện là ABCMN và ABC. A’B’C’. Ta đặt:

Ta có  

Tức là 

Chọn B.

Dạng 4. Tỉ số thể tích hình hộp.

Nếu mặt phẳng cắt các cạnh bên của khối hộp ta sẽ áp dụng công thức tính nhanh tỉ số thể tích ở kết quả 4. Ngoài ra cần vận dụng thêm các phép lắp ghép đa diện (cộng – trừ thể tích đa diện) để giải quyết dạng toán này. 

Ví dụ 5: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có thể tích bằng 2110 (đvtt). Biết A’M = MA, DN = 3ND’, CP = 2PC’. Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng

Hướng dẫn giải:

Giả sử (MNP) cắt BB’ tại Q. Đặt:

 

Vì 

Ta có  

 

Mặt khác V_{A^'B^'C^'D^'.MNPQ} + V_ABCD.MNPQ = V_{ABCD.A^'B^'C^'D^'} 

 

Vậy thể tích khối đa diện nhỏ hơn là (đvtt).

Chọn D.

                                     

IV. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Cho tứ diện MNPQ. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, MP, MQ. Tỉ số thể tích  là

Câu 2: Cho hình chóp S. ABC. Trên 3 cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ sao cho . Gọi V và V’ lần lượt là thể tích của các khối chóp S. ABC và S. A’B’C’. Khi đó tỷ số  là

Câu 3: Cho tứ diện ABCD, hai điểm M và N lần lượt trên hai cạnh AB và AD sao cho , khi đó tỉ số  bằng

Câu 4: Cho hình chóp S. ABC, gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính tỉ số 

Câu 5: Cho khối chóp O.ABC. Trên ba cạnh OA, OB, OC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ sao cho 2OA’ = OA, 4OB’ = OB, 3OC’ =OC. Tính tỉ số  

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có B’ là trung điểm AB, C’ thuộc đoạn AC và thỏa mãn 2AC’ = C’C. Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị tỉ số thể tích giữa khối tứ diện AB’C’D và phần còn lại của khối tứ diện ABCD?

Câu 7: Cho khối chóp S. ABC. Gọi G là trọng tâm giác SBC. Mặt phẳng (α) qua AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại I, J. Gọi V_{S. AIJ},V_{S. ABC} lần lượt là thế tích của các khối tứ diện S. AIJ và S. ABC. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 8: Cho khối chóp S. ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Khi đó tỉ số thế tích của khối chóp S. A’B’C’D’ và S. ABCD bằng

Câu 9: Cho khối chóp tứ giác đều S. ABCD. Mặt phẳng (α) đi qua A, B và trung điểm M của SC. Tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó là

Câu 10: Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi V’ là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của các mặt của khối tứ diện ABCD. Tính tỉ số  

Câu 11: Cho tứ diện có thể tích bằng V. Gọi V’ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số  

Câu 12: Cho hình chóp tam giác S.ABC có M là trung điểm của SB, N là điểm trên cạnh SC sao cho NS = 2NC. Kí hiệu V₁,V₂ lần lượt là thể tích của các khối chóp A.BMNC và S. AMN. Tính tỉ số  .

Câu 13: Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’, M là trung điểm của CC’. Mặt phẳng (ABM) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Gọi V₁ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh C và V₂ là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 

Câu 14: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’. Gọi V₁ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A và V₂ là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 

BẢNG ĐÁP ÁN

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Đáp án	D	B	C	A	B	B	C	C	D	C	A	C	A	C

V. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho khối chóp S.ABC. Điểm M thuộc đoạn AB sao cho AB = 4AM. Điểm N thuộc đoạn AC sao cho AC = 3AN. Gọi V và V’ lần lượt là thể tích các khối chóp S.AMN và S.ABC. Biết V’= kV. Tìm k.

Bài 2. Cho khối chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Gọi V là thể tích khối chóp S.MNPQ. Tính V biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 12.

Bài 3. Cho khối lăng trụ ABC.A′B′C′ có thể tích V = 27. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB′ và CC′. Hai mặt phẳng (AMN) và (A′BC) chia khối lăng trụ đã cho thành bốn khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh C′.

Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh 2a, gọi M là trung điểm của BB′ và P thuộc cạnh DD′ sao cho DP = $\frac{1}{4}$DD′. Mặt phẳng (AMP) cắt CC′ tại N. Tính thể tích khối đa diện AMNPQBCD.

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N. Gọi V₁ là thể tích khối chóp S.AMPN. Tính giá trị nhỏ nhất của $\frac{V_1}{V}$?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách nhận dạng khối đa diện
• Cách làm khối đa diện lồi và khối đa diện đều
• Cách tính thể tích khối đa diện
• Cách tính thể tích khối chóp
• Cách tính thể tích khối lăng trụ

---

---

---