Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 1. Điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số.

I. Phương pháp giải

Quảng cáo

1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (Cm) có phương trình y = f(x; m). Hãy tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đổi?

Phương pháp giải:

• Bước 1. Đưa phương trình y = f(x; m) về dạng sau: A.m + B = 0 hoặc Am2 + Bm + C = 0

• Bước 2. Cho các hệ số bằng 0; ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

• Kết luận: Nếu hệ vô nghiệm thì đường cong không có điểm cố định. Nếu hệ có nghiệm thì điểm đó chính là điểm cố định của đường cong.

2. Bài toán tìm điểm thuộc đồ thị hàm số và có tọa độ nguyên

Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) (hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có tọa độ nguyên của đường cong?

Phương pháp giải:

• Bước 1. Thực hiện phép chia đa thức; chia tử số cho mẫu số.

• Bước 2. Lập luận để tìm ra x.

Chú ý: Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

khi và chỉ khi (cx + d) ∈ Ư(k). Từ đó ta lập bảng.

Quảng cáo

3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng

Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x). Tìm những điểm thuộc đường cong (C) và đối xứng với nhau qua một điểm; qua một đường thẳng.

Sử dụng tính chất hai điểm A, B đối xứng với nhau qua 1 điểm M (đường thẳng d). Khi đó; M là trung điểm AB(d là đường trung trực của AB).

4. Bài toán: Cho hàm số Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết có đồ thị(C). Hãy tìm trên (C) hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất.

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số (C) có tiệm cận đứng là x = -d/c. Do tính chất hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số α, β là hai số dương

• Nếu A thuộc nhánh trái thì

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

• Nếu B thuộc nhánh phải thì

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Sau đó:

tính Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta sẽ ra kết quả.

5. Bài toán: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất (lớn nhất).

Phương pháp

• Gọi tọa độ M(x; y). Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là: d = |x| + |y|

• Sử dụng phương pháp đánh giá, dùng bất đẳng thức hoặc xét chiều biến thiên của hàm số để xét tính dmax, dmin

6. Bài toán. Cho đồ thị hàm số ( C) có phương trình:

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài MI ngắn nhất (lớn nhất) - với I là điểm cho trước.

Phương pháp

• Gọi điểm Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

• Tính Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

• Dùng bất đẳng thức, phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 2. Tìm hai điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm M(-1;3).

A. (-1; 0) và (-1; 6)      B.(-2; 0) và (0;6)

C. (0; 2) và (-2; 4)      D. Đáp án khác

* Gọi A(x0;y0) và B là điểm đối xứng với A qua điểm M(-1; 3)

⇒ M là trung điểm của AB nên B(-2 - x0; 6 - y0).

* Do A và B thuộc đồ thị hàm số (C) nên:

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Từ (1) và (2) lấy vế cộng vế ta được:

6 = -x03 + 3x0 + 2 - (-2 - x0)3 + 3(-2 - x0) + 2

⇔ 6 = -x03 + 3x0 + 2 + 8 + 12x0 + 6x02 + x03 - 6 – 3x0 + 2

⇔ 6x02 + 12x0 + 6 = 0

⇔ x0 = -1 nên y0 = 0

Vậy 2 điểm cần tìm là: (-1; 0) và (-1; 6).

Suy ra chọn đáp án A.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Cho hàm số Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết có đồ thị (C).

Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1)

A. (0; -4) và (1; 3)      B. (2; 0) và (0; -4)

C. (1;3) và (2; 1)      D. (3; 1) và (2; -2)

Ta có: MN(2;-1)

* Phương trình đường thẳng MN:

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇒ (MN): 1(x + 3) + 2(y - 0) = 0

hay x + 2y + 3 = 0 có hệ số góc k = -1/2.

* Phương trình đường thẳng d ⊥ MN có dạng: y = 2x + m.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Nên 2x2 + mx + m + 4 = 0 (1)

+ Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ Δ = m2 - 8m - 32 > 0 (2)

Khi đó A(x1; 2x1 + m); B(x2; 2x2 + m) với x1; x2 là các nghiệm của (1)

Trung điểm của AB là

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

(theo định lý Vi-et)

Do A và B đối xứng nhau qua MN ⇔ I ∈ MN ⇔ m = -4

Suy ra (1)

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Nên A(0; -4); B(2; 0)

Suy ra chọn đáp án B.

Quảng cáo

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 9x + 4. Xác định các giá trị của m để trên đồ thị hàm số có cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.

A. m > 0      B. m < 0

C. m ≥ 0      D. m ≤ 0

* Giả sử M(x0; y0); N(-x0; -y0) với x0 ≠ 0 là cặp điểm đối xứng nhau qua O. Do M và N thuộc đồ thị hàm số nên ta có:

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta có: mx02 + 4 = 0 (3)

Để (3) có nghiệm khi và chỉ khi m < 0 .

Vậy với m < 0 thì trên đồ thị hàm số có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O có hoành độ Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Tìm m để có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng d: 9x - 6y – 7 = 0

(Cm): Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Ta có: y' = x2 – (m + 2).x + 2m

Và y' = 0 khi x = 2 hoặc x = m.

* Hàm số có hai điểm cực trị

⇔ Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 2

* Khi đó hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là:

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Để A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) ⇔ AB ⊥ (d) và trung điểm I của đoạn AB thuộc (d).

Một vectơ chỉ phương của (d) là a(2;3)

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* AB vuông góc với (d) ⇔ AB.n = 0

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Với m = 0 thì A(2;-1/3); B(0;1) suy ra trung điểm của AB là I(1; 1/3).

Thay tọa độ I vào phương trình của (d), ta được 0 = 0, suy ra I ∈ (d).

Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

* Với m = 4 thì A(2; 23/3); B(4; 19/3) suy ra I(3;7).

Thay tọa độ I vào phương trình (d) ta được 27 – 42 - 7 = 0 (sai) ⇒ I ∉ (d).

Vậy m = 4 không thỏa mãn yêu câu bài toán.

Vậy m = 0 thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 5: Tìm trên đồ thị hàm số Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị.

A. M(-4;7/5) hoặc M(2; 5).      B. M(4; 3) hoặc M(-2; 1).

C. M(4; 3) hoặc M(2;5).      D. M(-4;7/5) hoặc M(-2; 1) .

Gọi Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết à điểm thuộc đồ thị.

Đồ thị có đường tiệm cận đứng d: x = 1; đường tiệm cận ngang d': y = 2.

Theo yêu cầu bài toán ta có:

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 6: Cho hàm số y = x4 + mx2 – m – 1 với m là tham số thực, có đồ thị là (C). Tìm tọa độ các điểm cố định thuộc đồ thị (C).

A. (-1; 0) và (1;0).      B. (1;0) và (0;1).

C. (-2;1) và (-2;3).      D. (2; 1) và (0;1) .

Gọi điểm M(x0; y0) thuộc (C) .

Ta có: y0 = x04 + mx02 - m - 1 ⇔ (x02 - 1)m + x04 - y0 - 1 = 0 (1)

Để M là điểm cố định của (C) khi và chỉ khi (1) luôn đúng với mọi m

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 7: Cho hàm số Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết có đồ thị là (C). Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (C) mà tọa độ là số nguyên?

A. 2     B. 4

C. 5     D. 6

Gọi M(x0; y0) ∈ (C)

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Để y0 ∈ Z thì x0 + 1 là ước của 4 hay x0 + 1 ∈ {-1; 1; -2; 1; -4; 4}.

Suy ra x0 ∈ {-5; -3; -2; 0; 1; 3}.

Vậy có 6 điểm thỏa mãn bài toán.

Suy ra chọn đáp án D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-cua-ham-so.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12