Hiệu của hai vectơ trong không gian lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Hiệu của hai vectơ trong không gian lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Hiệu của hai vectơ trong không gian.

Hiệu của hai vectơ trong không gian lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Hiệu của hai vectơ trong không gian

Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$, kí hiệu là $-\overrightarrow{a}$.

Chú ý: Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng $\overrightarrow{0}$.

+ Vectơ $\overrightarrow{BA}$ là một vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

+ Vectơ $\overrightarrow{0}$ được coi là vectơ đối của chính nó.

Vectơ $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)$ được gọi là hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và kí hiệu là $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ.

Nhận xét: Với ba điểm O, A, B bất kì trong không gian, ta có $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$.

2. Ví dụ minh họa về hiệu của hai vectơ trong không gian

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{CD}$.

b) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{DS}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$. Ta có: $\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$.

b) Vì ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$.

Do đó, $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BS}=\overrightarrow{DS}$.

Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với đáy. Biết rằng AB = a, SA = 2a. Tính |$\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}$|;|$\overrightarrow{CS}-\overrightarrow{CB}$|.

Hướng dẫn giải

Ta có: |$\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}$|=|$\overrightarrow{BA}$|=AB=A và |$\overrightarrow{CS}-\overrightarrow{CB}$|=|$\overrightarrow{BS}$|=BS.

Tam giác SAB vuông tại A nên $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{a^2+{\left(2a\right)}^2}=a\sqrt{5}$.

Do đó, |$\overrightarrow{CS}-\overrightarrow{CB}$|=$a\sqrt{5}$.

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A\text{'}M\text{'}}=\overrightarrow{CM}$.

b) $\overrightarrow{AM\text{'}}-\overrightarrow{A\text{'}M\text{'}}+\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}=\overrightarrow{AC\text{'}}$.

Hướng dẫn giải

Vì BCC’B’ là hình bình hành, M, M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ nên MM’ // BB’ và MM’ = BB’. Mà BB’ // AA’ và BB’ = AA’ nên MM’ // AA’, MM’ = AA’. Do đó, tứ giác AMM’A’ là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{A\text{'}M\text{'}}$ và $\overrightarrow{AM\text{'}}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AA\text{'}}$.

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A\text{'}M\text{'}}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$.

Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CM}$. Do đó, $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A\text{'}M\text{'}}=\overrightarrow{CM}$.

b) $\overrightarrow{AM\text{'}}-\overrightarrow{A\text{'}M\text{'}}+\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}=\overrightarrow{AM\text{'}}-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}=\overrightarrow{MM\text{'}}+\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}=\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}=\overrightarrow{AC\text{'}}$.

3. Bài tập về hiệu của hai vectơ trong không gian

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

a) $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD}$ là hai vectơ đối nhau.

b) $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{BD}$ là hai vectơ đối nhau.

c) $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{CO}$.

d) $\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{BC}$.

e) $\overrightarrow{SO}-\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{SA}$.

Bài 2. Trong không gian, cho năm điểm phân biệt M, N, P, Q, T. Chứng tỏ rằng:

a) $\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{TQ}=\overrightarrow{TN}+\overrightarrow{MN}$.

b) $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}-\overrightarrow{MT}=\overrightarrow{QP}-\overrightarrow{QT}$.

Bài 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính |$\overrightarrow{A\text{'}C}-\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}$|.

Bài 4. Một tòa chung cư có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 14 lền tầng 18 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 30 xuống tầng 26. Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có đối nhau không? Giải thích.

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, độ dài cạnh bằng a. Biết rằng SA vuông góc với đáy và SA = 4a. Tính |$\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SO}$|;|$\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{SB}$|.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Tổng của hai vectơ trong không gian

• Hiệu của hai vectơ trong không gian

• Hệ trục tọa độ trong không gian là gì

• Tọa độ của điểm trong không gian là gì

• Tọa độ của vectơ trong không gian là gì

• Khoảng biến thiên là gì

---