Tọa độ của điểm trong không gian là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Tọa độ của điểm trong không gian là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu khái niệm tọa độ của điểm trong không gian.

Tọa độ của điểm trong không gian là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Khái niệm tọa độ của điểm trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết M = (x; y; z) hoặc M(x; y; z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.

Nhận xét: Nếu điểm M(x; y; z) đối với hệ tọa độ Oxyz thì:

+ Hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox, Oy, Oz có tọa độ lần lượt là (x; 0; 0), (0; y; 0) và (0; 0; z).

+ Hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) có tọa độ lần lượt là (x; y; 0), (0; y; z) và (x; 0; z).

2. Ví dụ minh họa về tọa độ của điểm trong không gian

Ví dụ 1. Chọn các phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

a) Nếu A(1; 2; 3) thì hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox là A’(1; 0; 0).

b) Nếu A(1; 2; 3) thì hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oxy) là B(1; 0; 3).

c) Điểm K(2; 0; 3) thuộc mặt phẳng (Oxz).

Hướng dẫn giải

Các phát biểu đúng là: a, c.

Ví dụ 2. Cho hình hộp chữ nhật OABC.O’A’B’C’ có OA = 2, OC = 3, OO’ = 4. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O, các điểm A, C, O’ lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz. Xác định tọa độ các điểm A, B, C, O’, B’.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}$ nên A(2; 0; 0).

$\overrightarrow{OC}=0\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}$ nên C(0; 3; 0).

$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}$ nên B(2; 3; 0).

$\overrightarrow{OO}=0\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$ nên O’(0; 0; 4).

$\overrightarrow{OB\text{'}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OO\text{'}}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$ nên B’(2; 3; 4).

Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng 4 và độ dài cạnh đáy bằng 2. Lập hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với tâm của hình vuông ABCD, tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz chứa S. Xác định tọa độ của các điểm S, A, B, C, D.

Hướng dẫn giải

Vì SO là chiều cao của hình chóp nên SO = 4.

Vì S thuộc tia Oz nên $\overrightarrow{OS}$ cùng hướng với $\overrightarrow{k}$ nên $\overrightarrow{OS}=4\overrightarrow{k}$. Suy ra S(0; 0; 4).

Vì ABCD là hình vuông có độ dài cạnh bằng 2 nên

$OA=OB=OC=OD=AC=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$.

Vì A thuộc tia Ox nên $\overrightarrow{OA}$ cùng hướng với $\overrightarrow{i}$ nên $\overrightarrow{OA}=\sqrt{2}\overrightarrow{i}$.

Suy ra $A\left(\sqrt{2};0;0\right)$.

Vì B thuộc tia Oy nên $\overrightarrow{OB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{j}$ nên $\overrightarrow{OB}=\sqrt{2}\overrightarrow{j}$.

Suy ra $B\left(0;\sqrt{2};0\right)$.

Vì O là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}=-\sqrt{2}\overrightarrow{i}$. Suy ra $C\left(-\sqrt{2};0;0\right)$.

Vì O là trung điểm của BD nên $\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}=-\sqrt{2}\overrightarrow{j}$. Suy ra $D\left(0;-\sqrt{2};0\right)$.

3. Bài tập về tọa độ của điểm trong không gian

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 2; –5).

a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên các trục Ox, Oy, Oz.

b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz) và (Ozx).

c) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua gốc tọa độ O.

Bài 2. Trong không gian với trục tọa độ Oxyz, hãy xác định vị trí của các điểm A(1; 0; 4), B(0; 2; 3), C(4; 5; 0) và H(3; –2; 1).

Bài 3. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = 4; OB = 3; OC = 9. Lập hệ trục tọa độ với O là gốc tọa độ, các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ theo thứ tự cùng hướng với $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$. Tìm tọa độ các điểm A, B, C và trung điểm S của BC.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ điểm A trong mỗi trường hợp sau:

a) A nằm trên tia Ox và OA = 4.

b) A nằm trên tia đối của tia Oy và OA = 6.

c) A nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng (Oxy), khoảng cách từ O đến Ox và Oy lần lượt là 6 và 9.

Bài 5. Cho chóp tứ giác S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy là hình chữ nhật có AB = 2, AD = 3, SA = 5. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O trùng với A, các điểm B, D, S lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz. Xác định tọa độ các điểm S, B, C, D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Hệ trục tọa độ trong không gian là gì

• Tọa độ của vectơ trong không gian là gì

• Khoảng biến thiên là gì

• Khoảng tứ phân vị là gì

• Phương sai là gì

• Độ lệch chuẩn là gì

---