Độ lệch chuẩn là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Độ lệch chuẩn là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Độ lệch chuẩn là gì.

Độ lệch chuẩn là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Khái niệm độ lệch chuẩn

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

trong đó các tần số m₁ > 0, m_k > 0 và n = m₁ + … + m_k là cỡ mẫu.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s=\sqrt{s^2}$.

Ý nghĩa: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

2. Ví dụ minh họa về khái niệm độ lệch chuẩn

Ví dụ 1. Bảng sau thống kê khối lượng của một số quả măng cụt được lựa chọn ngẫu nhiên trong một thùng hàng:

Số tiền	Giá trị đại diện	Tần số
[80; 82)	81	18
[82; 84)	83	20
[84; 86)	85	24
[86; 88)	87	15
[88; 90)	89	13

Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu: n = 18 + 20 + 24 + 15 + 13 = 90.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{81.18+83.20+85.24+87.15+89.13}{90}=\frac{254}{3}$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

$s=\sqrt{\frac{1}{90}\left[{81}^2.18+{83}^2.20+{85}^2.24+{87}^2.15+{89}^2.13\right]-{\left(\frac{254}{3}\right)}^2}\approx 2,6$

Ví dụ 2. Bảng dưới đây thống kê cân nặng của học sinh lớp 11A:

Cân nặng (kg)	[40; 45)	[45; 50)	[50; 55)	[55; 60)	[60; 65)
Số người	6	10	15	11	8

Tìm phương sai của mẫu số liệu trên (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu: n = 6 + 10 + 15 + 11 + 8 = 50.

Ta có bảng số liệu bao gồm giá trị đại diện là:

Cân nặng (kg)	[40; 45)	[45; 50)	[50; 55)	[55; 60)	[60; 65)
Giá trị đại diện	42,5	47,5	52,5	57,5	62,5
Số người	6	10	15	11	8

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{42,5.6+47,5.10+52,5.15+57,5.11+62,5.8}{50}=53$

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s^2=\sqrt{\frac{1}{50}\left[42,5^2.6+47,5^2.10+52,5^2.15+57,5^2.11+62,5^2.8\right]-{53}^2}\approx 6,2$

Ví dụ 3. Bảng dưới đây cho biết tuổi thọ của một loại thiết bị do hai hãng A và B sản xuất:

Tuổi thọ (năm)	[1; 2)	[2; 3)	[3; 4)	[4; 5)	[5; 6)
Số thiết bị hãng A	4	13	27	20	1
Số thiết bị hãng B	0	0	26	28	11

a) Sử dụng khoảng biến thiên, hãy cho biết thiết bị hãng nào có tuổi thọ đồng đều hơn?

b) Sử dụng độ lệch chuẩn, hãy cho biết thiết bị hãng nào có tuổi thọ đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải

a) Khoảng biến thiên của tuổi thọ của thiết bị hãng A là: 6 – 1 = 5.

Khoảng biến thiên của tuổi thọ của thiết bị hãng B là: 6 – 3 = 3.

Vì 5 > 3 nên nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì tuổi thọ của thiết bị hãng B có phân tán ít hơn. Do đó, thiết bị của hãng B có tuổi thọ đồng đều hơn.

b) Ta có bảng thống kê tuổi thọ của thiết bị theo giá trị đại diện:

Giá trị đại diện	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5
Số thiết bị hãng A	4	13	27	20	1
Số thiết bị hãng B	0	0	26	28	11

Xét mẫu số liệu của hãng A:

Cỡ mẫu: n = 4 + 13 + 27 + 20 + 1 = 65

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:

$\overline{x_1}=\frac{1,5.4+2,5.13+3,5.27+4,5.20+5,5.1}{65}=\frac{457}{130}$

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s_1^2=\sqrt{\frac{1}{65}\left[1,5^2.4+2,5^2.13+3,5^2.27+4,5^2.20+5,5^2.1\right]-{\left(\frac{457}{130}\right)}^2}\approx 0,82$

Xét mẫu số liệu của hãng B:

Cỡ mẫu: n = 26 + 28 + 11 = 65.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là: $\overline{x_2}=\frac{3,5.26+4,5.28+5,5.11}{65}=\frac{111}{26}$

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s_2^2=\sqrt{\frac{1}{65}\left[3,5^2.26+4,5^2.28+5,5^2.11\right]-{\left(\frac{111}{26}\right)}^2}\approx 0,72$

Vì $0,82>0,72$ nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì tuổi thọ của thiết bị hãng B có phân tán ít hơn. Do đó, thiết bị của hãng B có tuổi thọ đồng đều hơn.

3. Bài tập về khái niệm độ lệch chuẩn

Bài 1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của 60 thiết bị điện tử sau:

Tuổi thọ (năm)	[2; 4)	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)
Tần số	11	18	25	6

Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Bài 2. Bảng dưới đây thống kê lại độ tuổi của các khách hàng mua bảo hiểm ô tô ở bảng sau:

Độ tuổi	Tần số
[25; 30)	26
[30; 35)	40
[35; 40)	62
[40; 45)	40
[45; 50)	35
[50; 55)	25

Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Bài 3. Thâm niên công tác của công nhân hai nhà máy A và B được cho ở bảng sau:

Thâm niên (năm)	[0; 5)	[5; 10)	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25)
Số công nhân nhà máy A	35	13	12	10	8
Số công nhân nhà máy B	30	12	13	11	12

Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó. Đưa ra nhận xét về thâm niên công tác của công nhân hai nhà máy A và B.

Bài 4. Một nhóm gồm 45 học sinh làm bài kiểm tra toán trắc nghiệm gồm 40 câu hỏi. Số câu trả lời đúng của mỗi bạn được thống kê trong bảng sau:

25	36	19	25	31	24	33	30	20
22	24	34	23	36	39	38	27	21
20	33	30	22	39	29	37	33	16
29	35	35	17	23	31	18	34	25
21	15	27	35	28	20	32	29	38

a) Lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [15; 20).

b) Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Bài 5. Bác Hà đầu tư số tiền bằng nhau vào hai lĩnh vực A, B. Bác thống kê số tiền thu được mỗi tháng trong vòng 45 tháng theo mỗi lĩnh vực như sau:

Số tiền (triệu đồng)	[5; 10)	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25)	[25; 30)
Số tháng đầu tư vào lĩnh vực A	5	15	11	8	6
Số tháng đầu tư vào lĩnh vực B	8	10	12	4	11

So sánh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số tiền thu được mỗi tháng khi đầu tư vào mỗi lĩnh vực A, B. Đầu tư vào lĩnh vực nào “rủi ro” hơn

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Khoảng tứ phân vị là gì

• Phương sai là gì

• Nguyên hàm là gì

• Họ nguyên hàm của một hàm số là gì

• Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

• Tích phân là gì

---