Nguyên hàm là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Nguyên hàm là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu khái niệm nguyên hàm.

Nguyên hàm là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Chú ý: Trường hợp K = [a; b] thì các đẳng thức F’(a) = f(a) và F’(b) = f(b) được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm x = a và đạo hàm bên trái tại điểm x = b của hàm số F(x), tức là: $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{F\left(x\right)-F\left(a\right)}{x-a}=f\left(a\right)$ và $\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{F\left(x\right)-F\left(b\right)}{x-b}=f\left(b\right)$.

2. Ví dụ minh họa về nguyên hàm

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) = x³ – 2x² + x.

Chứng minh rằng F(x) = $\frac{x^4}{4}-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{x^2}{2}$ là một nguyên hàm của f(x) trên $ℝ$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $F\text{'}\left(x\right)={\left(\frac{x^4}{4}-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{x^2}{2}\right)}^{\text{'}}=x^3-2x^2+x$ với mọi x thuộc $ℝ$.

Do đó, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên $ℝ$.

Ví dụ 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số y = 3^x trên $ℝ$?

a) F(x) = 3^x. ln3.

b) $F\left(x\right)=\frac{3^x}{\ln 3}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $F\text{'}\left(x\right)={\left(3^x.\ln 3\right)}^{\text{'}}=3^x.{\ln }^{2}3$.

Với x = 1 ta có: F’(1) = 3.ln²3 ≠ 3 = f(1).

Do đó, hàm số F(x) không phải là nguyên hàm của f(x) trên $ℝ$.

b) Ta có: $F\text{'}\left(x\right)={\left(\frac{3^x}{\ln 3}\right)}^{\text{'}}=\frac{3^x.\ln 3}{\ln 3}=3^x$.

Vì F’(x) = f(x) với mọi x thuộc $ℝ$ nên F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên $ℝ$.

Ví dụ 3. Cho hàm số $f\left(x\right)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$.

Giải thích vì sao hàm số $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\sin 2x$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên $ℝ$.

Hướng dẫn giải

Vì $f\left(x\right)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$; $F\text{'}\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \cos 2x=\cos 2x$.

Do đó, F’(x) = f(x) với mọi x thuộc $ℝ$. Do đó, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên $ℝ$.

3. Bài tập về nguyên hàm

Bài 1. Chọn các phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

a) Hàm số F(x) = x³ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x².

b) Hàm số $F\left(x\right)=6+\sin x$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx.

c) Hàm số F(x) = lnx – 3 là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

d) Hàm số $F\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = tanx.

Bài 2. Nối số ở cột A với chữ ở cột B để được đáp án đúng.

Bài 3. Chứng minh rằng hàm số $F\left(x\right)=e^x+\frac{1}{3}\sin 3x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^x+\cos 3x$ trên $ℝ$.

Bài 4. Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3+\ln x$ với x > 0. Tìm một hàm số là nguyên hàm của hàm số f(x).

Bài 5. Chứng minh rằng hàm số $F\left(x\right)=x-\frac{1}{2}\cos 2x$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (sinx + cosx)² trên $ℝ$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Khoảng tứ phân vị là gì

• Phương sai là gì

• Độ lệch chuẩn là gì

• Họ nguyên hàm của một hàm số là gì

• Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

• Tích phân là gì

---