Tích phân là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Tích phân là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu khái niệm tích phân.

Tích phân là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Khái niệm tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Chú ý:

a) Hiệu số F(b) – F(a) thường được kí hiệu là $F\left(x\right)\left|\begin{array}{l}b\\ a\end{array}\right.$.

Như vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)\left|\begin{array}{l}b\\ a\end{array}\right.$.

b) Ta gọi ${\int }_a^b$là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

c) Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:

$\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0;\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(u\right)du$.

2. Ví dụ minh họa về tích phân

Ví dụ 1. Tìm:

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{3}dx$.

b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\sin xdx$.

c) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{dx}{{\sin }^{2}x}$.

d) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx$.

Hướng dẫn giải

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{3}dx=\frac{x^4}{4}\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}$

b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\sin xdx=-\cos x\left|\begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\ 0\end{array}\right.=-\cos \frac{\pi }{3}+\cos 0=\frac{-1}{2}+1=\frac{1}{2}$

c) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\cot x\left|\begin{array}{l}\frac{\pi }{4}\\ \frac{\pi }{6}\end{array}\right.=-\cot \frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{6}=-1+\sqrt{3}$

d) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}\left|\begin{array}{l}2\\ 0\end{array}\right.=\frac{3^2}{\ln 3}-\frac{3^0}{\ln 3}=\frac{8}{\ln 3}$

Ví dụ 2.

a) Biết rằng $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=6$. Tính $\underset{2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$.

b) Biết rằng $\underset{\frac{1}{2}}{\overset{\frac{3}{2}}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}$. Tính $\underset{\frac{3}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}f\left(t\right)dt$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\underset{2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-6$.

b) Ta có: $\underset{\frac{3}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{\frac{3}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{\frac{1}{2}}{\overset{\frac{3}{2}}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{-1}{2}$.

Ví dụ 3. Nước chảy từ đáy bể chứa với tốc độ v(t) = 240 – 4t (lít/ phút), trong đó 0 ≤ t ≤ 60. Tìm lượng nước chảy ra khỏi bể trong 5 phút đầu tiên.

Hướng dẫn giải

Lượng nước chảy ra khỏi bể trong 5 phút đầu tiên là:

$V=\underset{0}{\overset{5}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left(240-4t\right)dt=\left(240t-2t^2\right)\left|\begin{array}{l}5\\ 0\end{array}\right.=1150\left(l\right)$

Vậy nước lượng chảy ra khỏi bể trong 5 phút đầu tiên là 1150 lít.

3. Bài tập về tích phân

Bài 1. Tìm:

a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x^5}dx$.

b) $\underset{9}{\overset{16}{\int }}\frac{1}{x\sqrt{x}}dx$.

c) $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{dx}{x}$.

d) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}{e}^{x}dx$.

Bài 2. a) Biết rằng $\underset{\sqrt{2}}{\overset{4}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{2}{3}$. Tính $\underset{\sqrt{2}}{\overset{4}{\int }}f\left(u\right)du$.

b) Biết rằng $\underset{-2}{\overset{3}{\int }}f\left(y\right)dy=\sqrt{6}$. Tính $\underset{3}{\overset{-2}{\int }}f\left(k\right)dk$.

Bài 3. Tìm:

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[{\left(x-1\right)}^2-{\left(x+1\right)}^2\right]dx$

b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\right)dx$.

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left({\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}\right)dx$.

Bài 4. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 8 – 2cost (m/s). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ lúc t = 0 (s) đến $t=\frac{\pi }{4}$(s).

Bài 5. Mật độ khối lượng của một thanh kim loại có chiều dài 2 mét được cho bởi công thức p(x) = 1 500 + x – $\sqrt{x}$ (kg/m³), trong đó x là khoảng cách bằng mét tính từ một đầu của thanh. Mật độ khối lượng trung bình trên toàn bộ chiều dài của thanh là bao nhiêu?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Khoảng tứ phân vị là gì

• Phương sai là gì

• Độ lệch chuẩn là gì

• Nguyên hàm là gì

• Họ nguyên hàm của một hàm số là gì

• Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

---