Họ nguyên hàm của một hàm số là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Họ nguyên hàm của một hàm số là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Họ nguyên hàm của một hàm số.

Họ nguyên hàm của một hàm số là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Khái niệm họ nguyên hàm của một hàm số

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x $\in$ K.

Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C $\left(C\in ℝ\right)$ là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi $\int f\left(x\right)dx$.

Chú ý:

a) Để tìm họ nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó

$\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$, C là hằng số.

b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng K thì f(x) có nguyên hàm trên khoảng đó.

c) Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu là dF(x). Vậy dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K, ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.

Mối quan hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm:

2. Ví dụ minh họa về khái niệm họ nguyên hàm của một hàm số

Ví dụ 1. Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x³ trên $ℝ$. Từ đó hãy tìm $\int 2x^{3}dx$.

Hướng dẫn giải

Vì ${\left(\frac{x^4}{2}\right)}^{\text{'}}=\frac{4x^3}{2}=2x^3$ nên $F\left(x\right)=\frac{x^4}{2}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên $ℝ$. Vậy $\int 2x^{3}dx=\frac{x^4}{2}+C$.

Ví dụ 2. Tính:

a) $\int \sin 4xdx$.

b) $\int 6\cos xdx$

Hướng dẫn giải

a) Vì ${\left(-\frac{1}{4}\cos 4x\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{4}\cdot 4\cdot \left(-\sin 4x\right)=\sin 4x$ nên $F\left(x\right)=-\frac{1}{4}\cos 4x$ là một nguyên hàm của hàm số f(x). Vậy $\int \sin 4xdx=\frac{-1}{4}\cos 4x+C$.

b) Vì ${\left(6\sin x\right)}^{\text{'}}=6\cos x$ nên F(x) = 6sinx là một nguyên hàm của hàm số f(x). Vậy $\int 6\cos xdx=6\sin x+C$.

Ví dụ 3. Tìm hàm số y = f(x), biết f’(x) = 3x² + 2x và f(1) = 3.

Hướng dẫn giải

Vì f’(x) = 3x² + x nên f(x) là một nguyên hàm của hàm số 3x² + x.

Ta có: ${\left(x^3+x^2\right)}^{\text{'}}=3x^2+2x$ nên ta có: $f\left(x\right)=\int \left(3x^2+2x\right)=x^3+x^2+C$.

Mà f(1) = 3 nên 1³ + 1² + C = 3, suy ra C = 1. Vậy f(x) = x³ + x² + 1.

3. Bài tập về họ nguyên hàm của một hàm số

Bài 1. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số sau:

a) f(x) = 6x² + 2x + 1 trên $ℝ$.

b) $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}-x^3+1$ với x ≠ 0.

Bài 2. Tìm:

a) $\int 4^{x}dx$.

b) $\int \cos \left(6x\right)dx$.

c) $\int e^{2x}dx$.

Bài 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x² + 6x + 1, biết rằng F(2) = 0.

Bài 4. Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi v(t) = 200 – 9,8t (m/s). Tính độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất) sau 4 giây.

Bài 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x, biết rằng F(2) – f’(1) = 5.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Khoảng tứ phân vị là gì

• Phương sai là gì

• Độ lệch chuẩn là gì

• Nguyên hàm là gì

• Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

• Tích phân là gì

---