Phương sai là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Phương sai là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương sai là gì.

Phương sai là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Khái niệm phương sai

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

trong đó các tần số m₁ > 0, m_k > 0 và n = m₁ + … + m_k là cỡ mẫu.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s², là một số được tính theo công thức sau: $s^2=\frac{m_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+m_k{\left(x_k-\overline{x}\right)}^2}{n}$.

Với $x_j=\frac{a_j+a_{j+1}}{2}$ với j = 1, 2, …, k là giá trị đại diện cho nhóm $\left[a_j;a_{j+1}\right)$ và $\overline{x}=\frac{m_1{x}_1+\mathrm{...}+m_k{x}_k}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Nhận xét: Ta có thể tính phương sai theo công thức:

$s^2=\frac{1}{n}\left(m_1.x_1^2+\mathrm{...}+m_k.x_k^2\right)-{\left(\overline{x}\right)}^2$.

Ý nghĩa: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho phương sai của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

Chú ý: Người ta còn sử dụng đại lượng sau để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm: ${\hat{s}}^2=\frac{m_1.{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+m_k.{\left(x_k-\overline{x}\right)}^2}{n-1}$.

2. Ví dụ minh họa về phương sai

Ví dụ 1. Một siêu thị thống kê số tiền (đơn vị: chục nghìn đồng) mà 50 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày:

Số tiền	Giá trị đại diện	Tần số
[40; 45)	42,5	5
[45; 50)	47,5	15
[50; 55)	52,5	10
[55; 60)	57,5	8
[60; 65)	62,5	8
[65; 70)	67,5	4

Tìm phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu: n = 5 + 15 + 10 + 8 + 8 + 4 = 50.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{42,5.5+47,5.15+52,5.10+57,5.8+62,5.8+67,5.4}{50}=53,6$

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s^2=\frac{1}{50}\left[42,5^2.5+47,5^2.15+52,5^2.10+57,5^2.5+62,5^2.8+67,5^2.4\right]-53,6^2=54,29$

Ví dụ 2. Bảng sau biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi của 100 cư dân trong một khu phố.

Độ tuổi	[0; 15)	[15; 30)	[30; 45)	[45; 60)	[60; 75)
Số người	15	25	30	20	10

Tìm phương sai của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

Ta có bảng số liệu bao gồm giá trị đại diện là:

Độ tuổi	[0; 15)	[15; 30)	[30; 45)	[45; 60)	[60; 75)
Giá trị đại diện	7,5	22,5	37,5	52,5	67,5
Số người	15	25	30	20	10

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{7,5.15+22,5.25+37,5.30+52,5.20+67,5.10}{100}=35,25$

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s^2=\frac{1}{100}\left[7,5^2.15+22,5^2.25+37,5^2.30+52,5^2.20+67,5^2.10\right]-35,{25}^2=321,1875$

Ví dụ 3. Bảng dưới đây cho biết điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp 12A và 12B:

Điểm trung bình	[5; 6)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)
Số học sinh lớp 12A	1	3	14	20	6
Số học sinh lớp 12B	0	5	10	18	11

a) Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì học sinh lớp nào có điểm trung bình phân tán ít hơn?

a) Nếu so sánh theo phương sai thì học sinh lớp nào có điểm trung bình phân tán ít hơn?

Hướng dẫn giải

a) Khoảng biến thiên của điểm trung bình lớp 12A là: 10 – 5 = 5.

Khoảng biến thiên của điểm trung bình lớp 12B là: 10 – 6 = 4.

Vì 5 > 4 nên nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì học sinh lớp 12B có điểm trung bình phân tán ít hơn.

b) Ta có bảng thống kê điểm trung bình theo giá trị đại diện:

Giá trị đại diện	5,5	6,5	7,5	8,5	9,5
Số học sinh lớp 12A	1	3	14	20	6
Số học sinh lớp 12B	0	5	10	18	11

Xét mẫu số liệu lớp 12A:

Cỡ mẫu: n = 1 + 3 + 14 + 20 + 6 = 44

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:

$\overline{x_1}=\frac{5,5.1+6,5.3+7,5.14+8,5.20+9,5.6}{44}=\frac{357}{44}$

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s_1^2=\frac{1}{44}\left[5,5^2.1+6,5^2.3+7,5^2.14+8,5^2.20+9,5^2.6\right]-{\left(\frac{357}{44}\right)}^2=\frac{1515}{1936}$

Xét mẫu số liệu lớp 12B:

Cỡ mẫu: n = 5 + 10 + 18 + 11 = 44

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:

$\overline{x_2}=\frac{5,5.0+6,5.5+7,5.10+8,5.18+9,5.11}{44}=\frac{365}{44}$

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s_2^2=\frac{1}{44}\left[5,5^2.0+6,5^2.5+7,5^2.10+8,5^2.18+9,5^2.11\right]-{\left(\frac{365}{44}\right)}^2=\frac{1723}{1936}$

Vì $\frac{1515}{1936}<\frac{1723}{1936}$ nên nếu so sánh theo phương sai, học sinh lớp 12A có điểm trung bình phân tán ít hơn.

3. Bài tập về phương sai

Bài 1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của 56 thiết bị điện tử sau:

Tuổi thọ (năm)	[2; 4)	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)
Tần số	9	15	20	12

Tìm phương sai của mẫu số liệu trên.

Bài 2. Bảng dưới đây thống kê số lượng khách hàng vào siêu thị trong 30 ngày đầu tiên khai trương, ta thu được bảng tần số ghép nhóm:

Số khách hàng	Tần số
[50; 80)	13
[80; 110)	15
[110; 140)	16
[140; 170)	18
[170; 200)	10
[200; 230)	4

Tìm phương sai của mẫu số liệu trên.

Bài 3. Trong một hội thi khéo tay, thời gian hoàn thảnh một sản phẩm thủ công của một số học sinh khối 12 được cho bởi bảng sau:

Thời gian	Tần số
10 ≤ t < 13	5
13 ≤ t < 16	10
16 ≤ t < 19	18
19 ≤ t < 22	12
22 ≤ t < 25	6

Tìm phương sai mẫu số liệu trên.

Bài 4. Người ta theo dõi sự thay đổi cân nặng, được tính bằng hiệu cân nặng trước và sau hai tháng áp dụng chế độ ăn kiêng của một số người cho kết quả:

Thay đổi cân nặng (kg)	[–2; –1)	[–1; 0)	[0; 1)	[1; 2)	[2; 3)
Số người nam	3	4	6	3	2
Số người nữ	4	3	5	4	2

Tìm phương sai của mẫu số liệu ứng với nam và nữ. Từ đó, nhận xét về sự thay đổi cân nặng của người nam, người nữ sau hai tháng áp dụng.

Bài 5. Biểu đồ dưới đây thống kê lại thu nhập trong một tháng của nhân viên hai công ty A và B (đơn vị: triệu đồng).

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu ở biểu đồ trên.

b) Tìm phương sai của mẫu số liệu đó. Đưa ra nhận xét về thu nhập của nhân viên trong một tháng của hai công ty A và B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Khoảng tứ phân vị là gì

• Độ lệch chuẩn là gì

• Nguyên hàm là gì

• Họ nguyên hàm của một hàm số là gì

• Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

• Tích phân là gì

---