Khoảng tứ phân vị là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Khoảng tứ phân vị là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Khoảng tứ phân vị là gì.

Khoảng tứ phân vị là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Khái niệm khoảng tứ phân vị

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

trong đó các tần số m₁ > 0, m_k > 0 và n = m₁ + … + m_k là cỡ mẫu.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là D_Q = Q₃ – Q₁.

Tứ phân vị thứ r là: $Q_r=a_p+\frac{\frac{rn}{4}-\left(m_1+\mathrm{...}+m_{p-1}\right)}{m_p}\cdot \left(a_{p+1}-a_p\right)$, với $\left[a_p;a_{p+1}\right]$ là nhóm chứa tứ phân vị thứ r, với r = 1, 2, 3.

Ý nghĩa: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc. Khoảng tứ phân vị cũng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

Nhận xét: Do khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu số liệu nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường và có thể dùng đại lượng này để loại giá trị bất thường.

2. Ví dụ minh họa về khái niệm khoảng tứ phân vị

Ví dụ 1. Một mẫu số liệu ghép nhóm có các tứ phân vị là Q₁ = 63, Q₂ = 70 và Q₃ = 75. Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: $△$_Q = Q₃ – Q₁ = 75 – 63 = 12.

Ví dụ 2. Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong lớp 12A được cho trong bảng sau:

Thời gian (phút)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)	[40; 45)
Số học sinh	3	12	15	8

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu là n = 3 + 12 + 15 + 8 = 38. Gọi x₁, …, x₃₈ là thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong lớp 12A và giả sử rằng dãy số liệu gốc này được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì $\frac{n}{4}=9,5$ và 3 < 9,5 < 3 + 12 nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [30; 35) và ta có: $Q_1=30+\frac{9,5-3}{12}\cdot 5=\frac{785}{24}$.

Vì $\frac{3n}{4}=28,5$ và 3 + 12 < 28,5 < 3 + 12 + 15 nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [35; 40) và ta có: $Q_3=35+\frac{28,5-15}{15}\cdot 5=39,5$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: $△$_Q = Q₃ – Q₁ $=39,5-\frac{785}{24}\approx 6,8$.

Ví dụ 3. Kết quả điều tra tổng thu nhập trong một tháng của 100 hộ gia đình được cho trong bảng sau:

Tổng thu nhập (triệu đồng)	[0; 10)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)
Số gia đình	22	38	27	8	4	1

a) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

b) Biết rằng trong 100 hộ gia đình này, chỉ có đúng 1 hộ gia đình có thu nhập là 52 triệu đồng. Hỏi thu nhập của gia đình đó có phải là giá trị ngoại lệ không?

Hướng dẫn giải

a) Gọi x₁, …, x₁₀₀ là tổng thu nhập trong một tháng của 100 hộ gia đình và giả sử rằng dãy số liệu gốc này được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì $\frac{n}{4}=25$ và 22 < 25 < 22 + 38 nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [10; 20) và ta có: $Q_1=10+\frac{25-22}{38}\cdot 10=\frac{205}{19}$.

Vì $\frac{3n}{4}=75$ và 22 + 38 < 75 < 22 + 38 + 27 nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [20; 30) và ta có: $Q_3=20+\frac{75-\left(22+38\right)}{27}\cdot 10=\frac{230}{9}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: $△$_Q = Q₃ – Q₁ $=\frac{230}{9}-\frac{205}{19}\approx 14,8$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là khoảng 14,8 triệu đồng.

b) Có 1 gia đình có thu nhập 52 triệu đồng, thu nhập của hộ gia đình thuộc nhóm [50; 60). Vì Q₃ + 1,5$△$_Q $=\frac{16315}{342}\approx 47,7$ < 52 nên hộ gia đình có thu nhập là 52 triệu đồng là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

3. Bài tập về khái niệm khoảng tứ phân vị

Bài 1. Một mẫu số liệu ghép nhóm có các tứ phân vị là Q₁ = 14, Q₂ = 25 và Q₃ = 35. Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Bài 2. Bảng dưới đây thống kê số lượng khách hàng vào siêu thị trong 30 ngày đầu tiên khai trương, ta thu được bảng tần số ghép nhóm:

Số khách hàng	Tần số
[50; 80)	13
[80; 110)	15
[110; 140)	16
[140; 170)	18
[170; 200)	10
[200; 230)	4

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Bài 3. Bạn Nga ghi lại thời gian tập đạp xe (phút) của mình trong 70 ngày thu được bảng sau:

Thời gian	Tần số
0 ≤ t < 20	4
20 ≤ t < 40	12
40 ≤ t < 60	16
60 ≤ t < 80	11
80 ≤ t < 100	19
100 ≤ t < 120	8

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Bài 4. Bảng thống kê dưới đây cho độ tuổi kết hôn của phụ nữ vừa lập gia đình ở hai khu vực M và N:

Tuổi kết hôn	[18; 21)	[21; 24)	[24; 27)	[27; 30)	[30; 33)
Số phụ nữ khu vực M	9	15	20	12	4
Số phụ nữ khu vực N	8	17	22	7	6

a) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với mỗi khu vực M và N.

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì phụ nữ ở khu vực nào có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn.

Bài 5. Biểu đồ dưới đây biểu diễn thời gian hoàn thành bài kiểm tra 45 phút môn Toán của học sinh lớp 12A.

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu ở biểu đồ trên.

b) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Khoảng biến thiên là gì

• Phương sai là gì

• Độ lệch chuẩn là gì

• Nguyên hàm là gì

• Họ nguyên hàm của một hàm số là gì

• Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

---