Phương trình bậc hai với hệ số thực là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Phương trình bậc hai với hệ số thực là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình bậc hai với hệ số thực là gì.

Phương trình bậc hai với hệ số thực là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 với a, b, c $\in ℝ$ , a ≠ 0.

Xét biệt thức $∆$ = b² – 4ac. Ta thấy:

+ Khi $∆$ = 0, phương trình có một nghiệm thực $x=\frac{-b}{2a}$.

+ Khi $∆$ > 0, có hai căn bậc hai (thực) của $∆$ là $\pm \sqrt{∆}$  và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{∆}}{2a}.$

+ Khi $∆$ < 0, phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức $x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|∆|}}{2a}.$

2. Ví dụ minh họa về phương trình bậc hai với hệ số thực

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) x² + 2x + 5 = 0.

b) 2x² – 3x + 7 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có D = 2² – 4.5 = –16 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phức là:

$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –1 ± 2i.

b) Ta có $∆$ = (–3)² – 4.2.7 = –47 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phức là:

$x_{1,2}=\frac{3\pm i\sqrt{47}}{4}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x_{1,2}=\frac{3\pm i\sqrt{47}}{4}$ .

Ví dụ 2. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z⁴ + 2z² – 3 = 0.

Hướng dẫn giải

z⁴ + 2z² – 3 = 0

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: $S=\{\pm 1;\pm i\sqrt{3}\}.$

3. Bài tập tự luyện về phương trình bậc hai với hệ số thực

Bài 1. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) 4x² + 3x + 1 = 0.

b) x² + 5x + 10 = 0.

c) 3x³ – 4x² + 6x = 0.

Bài 2. Biết x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình x² + $\sqrt{2}$x + 3 = 0 trên tập số phức. Hãy tính:

a) $x_1^2+x_2^2$ .

b) ${(x_1-x_2)}^2$ .

Bài 3. Tìm các phương trình bậc hai có nghiệm là:

a) 1 + i và 1 – i.

b) 3 + $\sqrt{2i}$  và 3 – $\sqrt{2i}$ .

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Môđun của số phức là gì

• Số phức liên hợp là gì

• Phép cộng số phức

• Phép trừ số phức

• Phép nhân số phức

• Căn bậc hai của số thực âm là gì

---