Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

---

---

Với Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải môn Toán lớp 12 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

                           

I. LÝ THUYẾT

a. Phương trình mũ cơ bản: a^x = b (a > 0, a ≠ 1). 

* Với b > 0, ta có a^x = b ⇔ x = log_ab 

* Với b ≤ 0, phương trình vô nghiệm.

b. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản.

+ Biến đổi, quy về cùng cơ số:

+ Đặt ẩn phụ:

Ta thường gặp các dạng:

m.a^2f(x) + n.a^f(x) + p = 0

m.a^f(x) + n.b^f(x) + p = 0 , trong đó a.b = 1. 

Đặt t = a^f(x) t > 0, suy ra 

m.a^2f(x) + n.(a.b)^f(x) + p.b^2f(x) = 0 . Chia hai

vế cho b^2f(x) và đặt 

Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích:

u + v = uv + 1 ⇔ (u - 1)(v - 1) = 0 với đặt u = a^f(x), v = b^g(x) u > 0, v > 0

Au + Bv = Av + Bu ⇔ (A - B)(u - v) = 0 với đặt u = a^f(x), v = b^g(x) u > 0, v > 0  

Đặt ẩn phụ đưa không hoàn toàn: là việc dùng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một một phương trình với một ẩn phụ mà hệ số vẫn còn ẩn   rồi đưa về tích. 

Đặt nhiều ẩn phụ đưa về hệ phương trình

+ Logarit hóa: 

Phương trình 

Phương trình

a^f(x) = b^g(x) ⇔ log_aa^f(x) = log_ab^g(x) ⇔ f(x) = g(x).log_ab

hoặc  log_ba^f(x) = log_b^g(x) ⇔ f(x).log_ba = g(x)

+ Giải bằng phương pháp đồ thị:

Giải phương trình:

a^x = f(x) (0 < a ≠ 1) (∗) .  

Xem phương trình (∗) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = a (0 < a ≠ 1) và y = f(x). Khi đó ta thực hiện hai bước:

Bước1. Vẽ đồ thị các hàm số

y = a^x(0 < a ≠ 1) và y = f(x)

Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

+ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Tính chất 1. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a,b) thì số nghiệm của phương trình f(x) = k trên (a,b) không nhiều hơn một và f(u) = f(v) ⇔ u = u, ∀u, v ∈ (a,b) .

Tính chất 2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến); hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một. 

Tính chất 3. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình f(u) > f(v) ⇔ u > v hoặc u < v, ∀u, v ∈ D

+ Sử dụng đánh giá:

Giải phương trình f(x) = g(x).

Nếu ta đánh giá được 

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Phương trình mũ cơ bản

A. Phương pháp

a^x = b (a > 0, a ≠ 1) . Để giải pt trên, ta sử dụng định nghĩa logarit.

* Với b > 0, ta có a^x = b ⇔ x = log_ab 

* Với b ≤ 0, phương trình vô nghiệm.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Phương trình  có nghiệm là

A. x = log₂3 .                 B. x = log₃2.                C. x = log₄3.               D. x = log₃4.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có 

Câu 2. Phương trình 8^x = 4 có nghiệm là

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: 8^x = 4 ⇔ x = log₈4 ⇔

Câu 3. Nghiệm của phương trình 2^x + 2^x+1 = 3^x + 3^x+1  là:

A.                B. x = 1 .                 C. x = 0 .                D. 

Hướng dẫn giải

2^x + 2^x+1 = 3^x + 3^x+1 ⇔ 3.2^x = 4.3^x ⇔

Chọn A.

Câu 4. Nghiệm của phương trình 12.3^x + 3.15^x - 5^x+1 = 20 là:

A. x = log₃5 - 1.                    B. x = log₃5.          

C. x = log₃5 + 1.                    D. x = log₅3 - 1.

Hướng dẫn giải

12.3^x + 3.15^x - 5^x+1 = 20 ⇔ 3.3^x(5^x + 4) - 5(5^x + 4) = 0 ⇔ (5^x + 4)(3^x+1 - 5) = 0 

⇔ 3^x+1 = 5 ⇔ x = log₃5 - 1

Chọn A. 

Câu 5. Phương trình  có nghiệm là

A. x = 1.              B. x = 0.                C. x = -1.                  D. x = 3.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Nghiệm của phương trình là x = 1.

Câu 6. Tập nghiệm của ph­ương trình  là

A. {-2;2}                      B. ø                      C.                    D.   

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có

Câu 7. Giải phương trình  

A.                  B. x = 1                  C.                 D.  

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có:     

Câu 8. Phương trình 3^x.5^x-1 = 7 có nghiệm là

A. log₁₅35                     B. log₂₁5                  C. log₂₁35                  D. log₁₅21 

Hướng dẫn giải

Chọn A.

PT ⇔ 15^x = 35 ⇔ x = log₁₅35

Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

A. Phương pháp

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Tìm tập nghiệm của phương trình

A. .               

B. .               

C. {-4 + √3, -4 - √3}.           

D. {-2 + √3, -2 - √3}.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có 

Vậy tập ngiệm của phương trình: S =  

Câu 2. Nghiệm của phương trình  là:

A. .                                  B. 4.                      C. .                   D. 1.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có 

Vậy phương trình có nghiệm là 

Câu 3. Phương trình (0,2)^x+2 = (√5)^4x-4 tương đương với phương trình:

A. 5^-x+2 = 5^2x-2.                     B. 5^-x-2 = 5^2x-2.      

C. 5^-x-2 = 5^2x-4.                     D. 5^-x+2 = 5^2x-4.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Câu 4. Phương trình  có nghiệm là

A. x = -1.                 B. x = 2.                  C. x = -2.                 D. x = 1

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có 

Vậy phương trình có nghiệm là x = -1.

Câu 5. Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình (3^x)^x-1 = 64 thì giá trị của S là

A. .                                    B. -6.                    C. -3 .                    D. 1 .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có 

(3^x)^x-1 = 64 ⇔ 3^x(x-1) = 64 ⇔ x² - x = 6 ⇔ x² - x - 6 = 0 ⇔

Câu 6. Tìm tập nghiệm S của phương trình

A. S = ø.                B.               C. S = .                  D.  

Hướng dẫn giải

Chọn D. 

Phương trình đã cho tương đương với      

Vậy tập nghiệm của phương trình :

Câu 7. Nghiệm của phương trình 4^2x-m = 8^x là

A. x = -m.                B. x = -2m.                   C. x = 2m.                   D. x = m.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: 4^2x-m = 8^x ⇔ (2²)^2x-m = (2³)^x ⇔ 2^4x-2m = 2^3x ⇔ 4x - 2m = 3x ⇔ x = 2m

Vậy nghiệm của phương trình x = 2m. 

Câu 8. Tập nghiệm của phương trình   là

A. .                 B. .                    C. .                     D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C

 

Vậy tập nghiệm của phương trình: S = .

Dạng 3. Phương pháp đăt ẩn phụ

A. Phương pháp

Ta thường gặp các dạng:

m.a^2f(x) + n.a^f(x) + p = 0

m.a^f(x) + n.b^f(x) + p = 0 , trong đó a.b = 1. 

Đặt t = a^f(x) t > 0, suy ra 

m.a^2f(x) + n.(a.b)^f(x) + p.b^2f(x) = 0 . Chia hai

vế cho b^2f(x) và đặt 

Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích:

u + v = uv + 1 ⇔ (u - 1)(v - 1) = 0 với đặt u = a^f(x), v = b^g(x) u > 0, v > 0

Au + Bv = Av + Bu ⇔ (A - B)(u - v) = 0 với đặt u = a^f(x), v = b^g(x) u > 0, v > 0  

Đặt ẩn phụ đưa không hoàn toàn: là việc dùng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một một phương trình với một ẩn phụ mà hệ số vẫn còn ẩn   rồi đưa về tích. 

Đặt nhiều ẩn phụ đưa về hệ phương trình: Đặt ẩn phụ sau đó dựa vào các điều kiện để đưa phương trình đã cho về hệ phương trình với các ẩn mới.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Cho phương trình 4^x - 4^1-x = 3. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Phương trình vô nghiệm.

B. Phương trình có một nghiệm.

C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.

D. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 4^2x - 3.4^x - 4 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: 4^x - 4^1-x = 3  

Đặt t = 4^x (t > 0 ), khi đó phương trình đã cho tương đương với

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm, nghiệm này lớn hơn 0. Do đó A sai.

Chọn A.

Câu 2. Cho phương trình 3^2x+10 - 6.3^x+4 - 2 = 0(1). Nếu đặt t = 3^x+5 (t > 0) thì (1) trở thành phương trình nào?

A. 9t² - 6t - 2 = 0                  B. t² - 2t - 2 = 0     

C. t² - 18t - 2 = 0                   D. 9t² - 2t - 2 = 0 

Hướng dẫn giải

Chọn B.

3^2x+10 - 6.3^x+4 - 2 = 0 ⇔ 3^2(x+5) - 2.3^x+5 - 2 = 0

Vậy khi đặt t = 3^x+5 (t > 0) thì (1) trở thành phương trình t² - 2t - 2 = 0 

Câu 3. Phương trình   có tổng các nghiệm là:

A. log₃6.                  B. .                 C. .                 D. -log₃6.

Hướng dẫn giải

9^x - 5.3^x + 6 = 0 (1)

(1) ⇔ (3²)^x - 5.3^x + 6 = 0 ⇔ (3^x)² - 5.3^x + 6 = 0 (1^')   

Đặt t = 3^x > 0. Khi đó: (1^') ⇔ t² - 5t + 6 = 0   

Với t = 2 => 3^x = 2 ⇔ x = log₃2 .

Với t = 3 => 3^x = 3 ⇔ x = log₃3 = 1.

Suy ra 1 + log₃2 = log₃3 + log₃2 = log₃6.

Chọn A.

Câu 4. Cho phương trình 2^1+2x + 15.2^x - 8 = 0, khẳng định nào sau dây đúng?

A. Có một nghiệm.                B. Vô nghiệm.

C. Có hai nghiệm dương.       D. Có hai nghiệm âm.

Hướng dẫn giải

2^1+2x + 15.2^x - 8 = 0 (2)  

(2) ⇔ 2.2^x + 15.2^x - 8 = 0 ⇔ 2.(2^x)² + 15.2^x - 8 = 0 (2^') 

Đặt 

Với 

Do đó A đúng.

Chọn A.

Câu 5. Phương trình 5^x-1 + 5.(0,2)^x-2 = 26 có tổng các nghiệm là:

A. 1.                        B. 4.                      C. 2 .                      D. 3 .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

[Phương pháp tự luận]

5^x-1 + 5.(0,2)^x-2 = 26 ⇔ 5^x-1 + 5.5^2-x = 26

⇔ 5^x-1 + 25.5^1-x = 26

Đặt t = 5^x-1 (t > 0), phương trình trở thành: ⇔ t² - 26t + 25 = 0.

Vậy tổng các nghiệm là 4.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào máy tính 5^x-1 + 5.(0,2)^x-2 = 26. Nhấn dấu = để lưu phương trình.

Shift → Solve → 0 → =. Ra nghiệm x = 1 .

Shift → Solve → 4 → =. Ra nghiệm x = 3 .

Câu 6. Cho phương trình Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:

A. -2 .                       B. 2 .                      C. 0 .                      D. 1 .

Hướng dẫn giải

Đặt  (t > 0 ), khi đó phương trình đã cho tương đương với

 

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng -2 

Câu 7. Tìm tích các nghiệm của phương trình (√2 - 1)^x + (√2 + 1)^x - 2√2 = 0.

A. 2 .                   B. -1 .                      C. 0 .                       D. 1 .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có: (√2 - 1)(√2 + 1) = 1

Đặt t = (√2 - 1)^x, điều kiện t > 0. Suy ra (√2 - 1)^x =

Phương trình trở thành:

 

Vậy tích của hai nghiệm x₁x₂ = 1.(-1) = -1 

Câu 8. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số   để phương trình   có nghiệm.

A. (-∞;+∞).                B. (-∞;1) ∪ (1;+∞) .                    C. (1;+∞).                  D. 

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Xét phương trình 4^x + (1-3m)2^x + 2m² - m = 0 (1)  

Đặt t = 2^x, t > 0 Phương trình (1) trở thành t² + (1 - 3m)t + 2m² - m = 0 (2) 

Phương trình (2) luôn có 2 nghiệm x = m;x = 2m - 1,∀m 

Phương trình (1) có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm t > 0 

Từ đó suy ra  

                             

Dạng 4. Phương pháp logarit hóa

A. Phương pháp:

+ Phương trình 

+ Phương trình

a^f(x) = b^g(x) ⇔ log_aa^f(x) = log_ab^g(x) ⇔ f(x) = g(x).log_ab

hoặc log_ba^f(x) = log_bb^g(x) ⇔ f(x).log_ba= g(x)

B. Ví dụ minh họa:

Câu 1. Biết rằng phương trình  có 2 nghiệm là a,b. Khi đó a + b + ab có giá trị bằng

A. -1 + 2log₂3.                     B. 1 + log₂3 .           C. -1 .                    D. 1 + 2log₂3 .

Hướng dẫn giải.

Chọn C.

Ta có  

⇔ x² - 1 = (x + 1)log₂3

⇔ x²- x.log₂3 - 1- log₂3 = 0 ⇔  

Vậy ta có a + b + ab = -1 + 1 + log₂3 - 1- log₂3 = -1  

Câu 2. Phương trình  có hai nghiệm x₁,x₂ trong đó x₁ < x₂, hãy chọn phát biểu đúng?

A. 3x₁ - 2x₂ = log₃8 .             

B. 2x₁ - 3x₂ = log₃8.             

C. 2x₁ + 3x₂ = log₃54           

D. 3x₁ + 2x₂ = log₃54. 

Hướng dẫn giải

Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được:  

Câu 3. Cho hai số thực dương a,b lớn hơn 1 và biết phương trình  có nghiệm thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

A. 4                        B. 5                        C. 6                        D. 10

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với: x² + (x + 1)log_ab = 0 ⇔ x² + xlog_ab + log_ab = 0

Điều kiện để phương trình có nghiệm là  

Δ = (log_ab)²- 4log_ab ≥ 0 ⇔ log_ab ≥ 4(log_ab > 0)

Khi đó  

Với t = log_ab ≥ 4.

Chọn C.

Câu 4. Cho các số nguyên dương a,b lớn hơn 1. Biết phương trình  có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ và phương trình  có hai nghiệm phân biệt x₃,x₄ thỏa mãn (x₁ + x₂)(x₃ + x₄) < 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 3a + 2b.

A. 12                             B. 46                      C. 44                      D. 22 

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Với , lấy logarit cơ số a hai vế ta được:

x² + 1 = xlog_ab ⇔ x² - xlog_ab + 1 = 0

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt, khi đó

Δ = (log_ab)² - 4 > 0 ⇔ log_ab > 2 ⇔ b > a².

Tương tự ⇔ x² - 1 = xlog_b(9a) => Δ = (log_a(9a))² + 4 > 0

Khi đó theo Vi-ét ta có

Vì vậy b > 16 => S > 3.4 + 2.17 = 46.

Dạng 5. Phương pháp đồ thị, hàm số, đánh giá

A. Phương pháp

+ Giải bằng phương pháp đồ thị:

Giải phương trình: 

a^x = f(x) (0 < a ≠ 1) (∗) .  

Xem phương trình (∗) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = a^x (0 < a ≠ 1) và y = f(x). Khi đó ta thực hiện hai bước:

Bước1. Vẽ đồ thị các hàm số

y = a^x (0 < a ≠ 1) và y = f(x)

Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

+ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Tính chất 1. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a,b) thì số nghiệm của phương trình f(x) = k trên (a,b) không nhiều hơn một và f(u) = f(v) ⇔ u = v,∀u,v ∈ (a,b).

Tính chất 2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến); hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một. 

Tính chất 3. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình f(u) > f(v) ⇔ u > v (hoặc u < v),∀u,v ∈ D

+ Sử dụng đánh giá:

Giải phương trình f(x) = g(x) 

Nếu ta đánh giá được 

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Phương trình (x - 1).2^x = x + 1 có bao nhiêu nghiệm thực

A. 1.                        B. 0 .                      C. 3 .                      D. 2 .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Vì x = 1 không là nghiệm của phương trình nên ta có (x - 1).2^x = x + 1 ⇔  

Hàm số y = 2^x đồng biến trên R, hàm số  nghịch biến trên (-∞;1) và (1;+∞) .

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm.

Câu 2. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình  có nghiệm?

A. m ≤ 4                         B. m ≥ 4                 C. m ≤ 1                 D. m ≥ 1 

Hướng dẫn giải

Chia hai vế của bất phương trình cho , ta được

 

Xét hàm số  là hàm số nghịch biến.

Ta có: 0 ≤ sin²x ≤ 1 nên 1 ≤ y ≤ 4 

Vậy bất phương trình có nghiệm khi m ≤ 4

Chọn A.

Câu 3. Số nghiệm của phương trình là

A. 1 .                                      B. 3 .                      C. 2 .                      D. 4 .

Hướng dẫn giải

Chọn D

Phương trình đã cho  

⇔ x² + 3x - 6 + x² - x - 3 = (x² - x - 3). 

=> u + v = u.8^v + v.8^v (với u = x² + 3x - 6; v = x² - x - 3 )  

⇔ (8^u - 1)v + (8^v - 1)u = 0 (∗)

TH1. Nếu u = 0, khi đó (∗) ⇔ v = 0 =>

TH2. Nếu v = 0 tương tự TH1.

TH3. Nếu u > 0; v > 0 khi đó (8^u - 1)v + (8^v - 1)u > 0 => (∗) vô nghiệm.

TH4. Nếu u < 0; v < 0 tương tự TH3.

TH5. Nếu u > 0; v < 0, khi đó (8^u - 1)v + (8^v - 1)u < 0 => (∗) vô nghiệm.

TH6. Nếu u < 0; v > 0 tương tự TH5.

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Hoặc biến đổi  dễ thấy (Table = Mode 7).

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 3^x = mx + 1 có hai nghiệm phân biệt?

A. m > 0 .                     B.                      C. m ≥ 2.                    D. Không tồn tại m.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có: 3^x = mx + 1 là phương trình hoành độ giao điểm của y = 3^x và y = mx + 1.

Ta thấy y = mx + 1 luôn đi qua điểm cố định (0,1) nên

+ Nếu m < 0 thì y = mx + 1 là hàm nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số y = 3^x tại một điểm duy nhất.

+ Nếu m > 0 thì để đồ thị hàm số y = mx + 1 cắt đồ thị hàm số y = 3^x tại hai điểm phân biệt thì phải khác tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 3^x tại điểm (0,1), tức là m ≠ ln3.

Vậy  

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Tìm các nghiệm của phương trình 2^x-2 = 8¹⁰⁰.

A. x = 204 .                 B. x = 102.                C. x = 302.               D. x = 202.

Câu 2. Tìm nghiệm của phương trình 2^x = (√3)^x 

A. x = 1.                      B. x = -1.              C. x = 0.                D. x = 2.

Câu 3. Số nghiệm của phương trình  là:

A. 3 .                                     B. 0 .                      C. 1 .                      D. 2 .

Câu 4. Cho phương trình: 3^x = m + 1. Chọn phát biểu đúng

A. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

B. Phương trình có nghiệm với m ≥ -1.

C. Phương trình có nghiệm dương nếu m > 0 .

D. Phương trình luôn có nghiệm duy nhất x = log₃(m + 1) .

Câu 5. Phương trình có nghiệm là

A. x = 2, x = 7.               B. x = 4, x = 5.                 C. x = 1, x = 8.              D. x = 3, x = 6 .

Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình 

A. 0 .                             B. 1 .                                C. 3 .                             D. 4 .

Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình

A. x = 4.                        B. x = 2.                           C. x = 5.                       D. x = 3

Câu 8. Tìm nghiệm của phương trình .

Câu 9. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình  bằng:

A. 0                            B. 5                          C. 2                         D. 3 

Câu 10. Tổng các nghiệm của phương trình  bằng

A. 0                            B. 1                         C. 3                       D. 4 

Câu 11. Cho phương trình: 2.3^x+1 - 15^x + 2.5^x = 12, giá trị nào gần với tổng 2 nghiệm của phương trình trên nhất?

A. 1.75                       B. 1.74                    C. 1.73                   D. 1.72 

Câu 12. Số nghiệm của phương trình  là:

A. 4.                           B. 1.                        C. 2.                       D. 3.

Câu 13. Tổng các nghiệm của phương trình 2^2x-3 - 3.2^x-2 + 1 = 0 là 

A. 6 .                          B. 3 .                      C. 5 .                      D. -4 .

Câu 14. Giải phương trình 4^x - 6.2^x + 8 = 0 .

A. x = 1.                    B. x = 0;x = 2.                  C. x = 1;x = 2                    D. x = 2.

Câu 15. Phương trình 9^x - 3.3^x + 2 = 0 có hai nghiệm x₁,x₂ với x₁ < x₂. Giá trị A = 2x₁ + 3x₂ là

A. 2log₂3 .                        B. 1.                       C. 3log₃2 .                 D. 4log₃2 .

Câu 16. Phương trình (3 + √5)^x + (3 - √5)^x = 3.2^x có tổng các nghiệm là

A. 0 .                                B. 1 .                       C. -1 .                    D. 2 .

Câu 17. Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình 

A. 100 .                            B. 10 .                    C. 1 .                      D.  

Câu 18. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình 

A. -3                          B. -2                      C. -7                      D. 7 

Câu 19. Cho phương trình (7 + 4√3)^x + (2 + √3)^x. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình có một nghiệm vô tỉ.                   B. Phương trình có một nghiệm hữu tỉ.

C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu.                D. Tích của hai nghiệm bằng  .

Câu 20. Tìm m để phương trình  có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

A. m > 3.                     B. m = 3.                     C. 2 < m < 3.              D. m = 2.

Câu 21. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình  có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

A. 1                             B. 2                             C. 3                            D. 4 

Câu 22. Hỏi phương trình 3.2^x + 4.3^x + 5.4^x = 6.5^x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. 2 .                           B. 4 .                          C. 1 .                           D. 3 .

Câu 23. Biết phương trình  có nghiệm là a. Tính giá trị biểu thức

Câu 24. Cho số thực a > 1, b > 1. Biết phương trình  có hai nghiệm phân biện x₁,x₂. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

A. 4                         B. 3³√2                         C. 3³√4                     D. ³√4 

Câu 25. Phương trình (√3 - √2)^x + (√3 + √2)^x = (√10)^x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A.  .                                      B.                        C. 3.                       D. 4.

Câu 26. Phương trình   có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm?

A. 1                         B. 2                        C. 3                       D. 4 

Câu 27. Tìm số nghiệm của phương trình 2^x + 3^x + 4^x +....+ 2016^x + 2017^x = 2016 - x 

A. 1 .                       B. 2016 .                C. 2017 .                D. 0 .

Câu 28. Tìm các giá trị của m để phương trình:  có 2 nghiệm phân biệt:

A. √3 + √5 < m < 4.              B. 2√2 < m < 4 .                C. 2√2 < m < √3.             D. m > 2√2 .

Câu 29. Phương trình  có bao nhiêu nghiệm dương.

A. 3 .                           B. 1 .                       C. 2 .                      D. 0 .

Câu 30. Cho phương trình . Tìm m để phương trình vô nghiệm?

A. m > 0.                     B. m < 1.                C. Không có m.      D.  

Đáp án

1C	2C	3D	4C	5A	6A	7D	8A	9B	10A
11B	12A	13B	14C	15C	16A	17C	18A	19A	20B
21A	22C	23C	24C	25A	26A	27A	28A	29B	30C

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương trình lôgarit
• Bất phương trình mũ
• Bất phương trình lôgarit
• Bài toán về lãi suất ngân hàng
• Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit

---

---

---