Tích có hướng của hai vecto trong không gian - Bài tập đầy đủ các dạng có đáp án



Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Tích có hướng của hai vecto trong không gian

Phương pháp giải

1. Định nghĩa:

Trong không gian Oxyz cho hai vecto a=(a1;a2;a3 ) và b=(b1;b2;b3 ). Tích có hướng của hai vecto ab , kí hiệu là [a , b ], được xác định bởi

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Chú ý: Tích có hướng của hai vecto là một vecto, tích vô hướng của hai vecto là một số.

2. Tính chất

+ [a, b ]⊥ a ; [a , b ]⊥ b

+ [a , b ]=-[b, a ]

+ [i, j ]=k ; [ j , k ]= i ; [k , i ]= j

+ |[ a , b ]|=| a |.| b |.sin⁡( a , b )

+ a , b cùng phương ⇔ [a , b ]= 0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

3. Ứng dụng của tích có hướng (chương trình nâng cao)

+ Điều kiện đồng phẳng của ba vecto:

    a , bc đồng phẳng ⇔[ a , b ]. c =0

+ Diện tích hình bình hành ABCD:

    SABCD=|[AB ; AD ]|

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Diện tích tam giác ABC:

    SABC=1/2 |[AB ; AC ]|

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:

    VABCD.A'B'C'D'=|[AB; AD ]. AA' |

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Thể tích tứ diện ABCD

    VABCD=1/3 |[AB ; AC ]. AD |

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; 1), B(-1; 1; 2), C(-1; 1; 0), D(2; -1; -2).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A

Hướng dẫn:

AB =(-2;1;1); AC =(-2;1; -1); AD =(1; -1; -3)

⇒[AB , AC ]=(-2;-4;0) ⇒[ AB , AC ]. AD =2≠0

AB , AC , AD không đồng phẳng.

Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) VABCD=1/6 |[AB , AC ]. AD |=2/6=1/3

Ta có: BC =(0;0; -2), BD =(3; -2; -4)

⇒[ BC , BD ]=(-4; -6;0)⇒SBCD=1/2 |[BC , BD ]|=√13

VABCD=1/3 d(A;(BCD)).SBCD

⇒d(A;(BCD))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; -1; 4), D(4; -3; 0). Chứng minh AB và CD cắt nhau.

Hướng dẫn:

+ Ta có: AB =(3; -5; -8); AC =(5; -6; -11);

AD =(7; -8; -15), CD =(2; -2; -4)

⇒[ AB , AC ]=(7;-7;7) ⇒[ AB ,(AC) ⃗ ].(AD) ⃗=0

AB , AC , AD đồng phẳng.

⇒ A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng (1)

+ [AB , CD ]=(4; -4;4) ≠0AB , CD không cùng phương (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB và CD cắt nhau.

Bài 3: : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1; 1; 1), B(2; 1; 2), E(-1; 2; -2), D(3; 1; 2). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DCGH)

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ AB=(1;0;1), AD=(2;0;1), AE=(-2;1; -3)

⇒[ AB , AD ]=(0;1;0)⇒[ AB , AD ]. AE=1

⇒VABCD.EFGH=|[ AB , AD ]. AE |=1

+ SAEFB=|[ AB , AE ]|=√3

⇒SDCGH=SAEFB=√3

VABCD.EFGH=d(A;(DCGH)).SDCGH

⇒d(A;(DCGH))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác