Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia chỉ 399k, tại khoahoc.vietjack.com. Xem ngay Xem ngay!

Tích có hướng của hai vecto trong không gian - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Phương pháp tọa độ trong không gian

Tích có hướng của hai vecto trong không gian

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Định nghĩa:

Trong không gian Oxyz cho hai vecto a=(a1;a2;a3 ) và b=(b1;b2;b3 ). Tích có hướng của hai vecto ab , kí hiệu là [a , b ], được xác định bởi

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Chú ý: Tích có hướng của hai vecto là một vecto, tích vô hướng của hai vecto là một số.

2. Tính chất

+ [a, b ]⊥ a ; [a , b ]⊥ b

+ [a , b ]=-[b, a ]

+ [i, j ]=k ; [ j , k ]= i ; [k , i ]= j

+ |[ a , b ]|=| a |.| b |.sin⁡( a , b )

+ a , b cùng phương ⇔ [a , b ]= 0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

3. Ứng dụng của tích có hướng (chương trình nâng cao)

+ Điều kiện đồng phẳng của ba vecto:

    a , bc đồng phẳng ⇔[ a , b ]. c =0

+ Diện tích hình bình hành ABCD:

    SABCD=|[AB ; AD ]|

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Diện tích tam giác ABC:

    SABC=1/2 |[AB ; AC ]|

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:

    VABCD.A'B'C'D'=|[AB; AD ]. AA' |

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Thể tích tứ diện ABCD

    VABCD=1/3 |[AB ; AC ]. AD |

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; 1), B(-1; 1; 2), C(-1; 1; 0), D(2; -1; -2).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A

Hướng dẫn:

AB =(-2;1;1); AC =(-2;1; -1); AD =(1; -1; -3)

⇒[AB , AC ]=(-2;-4;0) ⇒[ AB , AC ]. AD =2≠0

AB , AC , AD không đồng phẳng.

Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) VABCD=1/6 |[AB , AC ]. AD |=2/6=1/3

Ta có: BC =(0;0; -2), BD =(3; -2; -4)

⇒[ BC , BD ]=(-4; -6;0)⇒SBCD=1/2 |[BC , BD ]|=√13

VABCD=1/3 d(A;(BCD)).SBCD

⇒d(A;(BCD))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; -1; 4), D(4; -3; 0). Chứng minh AB và CD cắt nhau.

Hướng dẫn:

+ Ta có: AB =(3; -5; -8); AC =(5; -6; -11);

AD =(7; -8; -15), CD =(2; -2; -4)

⇒[ AB , AC ]=(7;-7;7) ⇒[ AB ,(AC) ⃗ ].(AD) ⃗=0

AB , AC , AD đồng phẳng.

⇒ A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng (1)

+ [AB , CD ]=(4; -4;4) ≠0AB , CD không cùng phương (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB và CD cắt nhau.

Bài 3: : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1; 1; 1), B(2; 1; 2), E(-1; 2; -2), D(3; 1; 2). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DCGH)

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ AB=(1;0;1), AD=(2;0;1), AE=(-2;1; -3)

⇒[ AB , AD ]=(0;1;0)⇒[ AB , AD ]. AE=1

⇒VABCD.EFGH=|[ AB , AD ]. AE |=1

+ SAEFB=|[ AB , AE ]|=√3

⇒SDCGH=SAEFB=√3

VABCD.EFGH=d(A;(DCGH)).SDCGH

⇒d(A;(DCGH))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;2;1), B(1;0;2), C(-1;2;3). Diện tích tam giác ABC là:

   A. (3√5)/2   B. 3√5

   C. 4√5   D. 5/2

Đáp án : B

Giải thích :

AB =(3; -2;1); AC =(1;0;2)⇒[AB , AC ]=(-4; -5;2)

SABC=1/2 |[AB , AC ]|=(3√5)/2

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(-2;1;-1). Thể tích của tứ diện ABCD là:

   A. 1   B. 2

   C. 1/3   D. 1/2

Đáp án : D

Giải thích :

AB =(-1; 1;0); AC=(-1;0;1); AD=(-3;1; -1)

⇒[AB , AC ]=(1;1;1)⇒ AD . [AB , AC ]=-3

VABCD=1/6 |AD . [AB , AC ]|=1/2

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0). Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

   A. √5   B. √3

   C. 4√2   D. 2√5

Đáp án : A

Giải thích :

AB=(-5; 0;-10); AC=(3;0;-6); BC=(8;0;4)

AB=5√5;AC=3√5;BC=4√5

SABC=1/2 |[ AB , AC ]|=30

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, p là nửa chu vi tam giác

Ta có:

S=pr

⇒rToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án=√5

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;1), B(5;5;4), C(3;2;-1), D(4;1;3). Thể tích tứ diện ABCD là:

   A. 3   B. 4

   C. 9   D. 6

Đáp án : C

Giải thích :

AB=(3; 6;3); AC=(1;3;-2); AD=(2;-2; 2)

⇒[ AB , AC ]=(-21;9;3)⇒ AD . [AB , AC ]=-54

VABCD=1/6 |AD . [AB , AC ]|=9

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD. Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:

   A. Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   B. Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   C. Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   D. Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là:

   A. (2√30)/5   B. (√30)/5

   C. (√10)/5   D. (√6)/2

Đáp án : B

Giải thích :

AB=(-1; 0;1); AC=(1;1;1)⇒[AB , AC ]=(-1;2;-1)

SABC=1/2 |[ AB , AC ]|=√6/2

BC=| BC |=√5

SABC=1/2 h.BC ⇒h=(2S)/BC=√(30)/5

Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OAMN với S(0;0;1), A(1;1;0), M(m;0;0), N(0;n;0). Trong đó m>0, n>0 và m+n=6. Thể tích hình chóp S.OAMN là:

   A. 1   B. 2

   C. 4   D. 6

Đáp án : A

Giải thích :

OA=(1;1;0), OM=(m;0;0), ON=(0;n;0), OS=(0;0;1)

[ OA , OM ]=(0;0; -m)⇒ OS . [ OA , OM ]=(0;0; -m)

⇒VS.OAM=1/6 |OS . [OA , OM ]|=m/6

[OA , ON ]=(0;0; m)⇒ OS . [OA , OM ]=(0;0; n)

⇒VS.OAN=1/6 |OS . [OA , ON ]|=n/6

Ta có:

VS.OAMN=m/6+n/6=(m+n)/6=1

Bài 8: Cho A(1;-2;0), B(3;3;2), C(-1;2;2), D(3;3;1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng

   A. 3   B. 4

   C. 5   D. 6

Đáp án : A

Giải thích :

AB=(2;5-;2); AC=(-2;4;2); AD=(2;5;1)

⇒[AB , AC ]=(2; -8;18) ⇒ AD . [AB , AC ]=-18

VABCD=1/6 |AD . [AB , AC ]|=3

Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1). Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD là:

   A. 5   B. 6

   C. 7   D. 9

Đáp án : D

Giải thích :

Áp dụng công thức:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

tính được: h= 9

Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1; 0; 0); B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

   A. Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

   B. Tam giác ABD là tam giác đều.

   C. AB⊥CD

   D. Tam giác BCD là tam giác vuông.

Đáp án : D

Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(4;0;0), B(x0;y0;0) với x0>0, y0>0 sao cho OB=8 và góc AOBˆ=600 . Gọi C(0;0;c) với c>0. Để thể tích tứ diện OABC bằng 16√3 thì giá trị thích hợp của c là:

   A. 6   B. 3

   C. √3   D. 6√3

Đáp án : A

Giải thích :

OA=(4;0;0), OB=(x0;y0;0); OC=(0;0;c)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

OB=√(x02+y02 )=8 ⇒y0=4√3

OA=(4;0;0); OB=(4;4√3;0) ⇒[ OA , OB ]=(0;0;16√3)

OC[ OA , OB ]=16c√3

VABCD=1/6 |OC [ OA , OB]|=1/6.16c√3=16√3 ⇒c=6

Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng:

   A. 30   B. 40

   C. 50   D. 60

Đáp án : A

Giải thích :

VABCD=1/6 |AD . [ AB , AC ]|=30

Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) điểm D thuộc Oy và thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ của D là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

D thuộc Oy ⇒ D(0;y;0)

AB=(1;-1;2); AC=(0;-2;4); AD=(-2;y-1;1)

⇒ [AB , AC ]=(0; -4;-2) ⇒ AD . [AB , AC ]=2-4y

VABCD=1/6 |AD . [ AB , AC ]|=|2-4y|/6=5

⇒ |2-4y|=30Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(0;0;2), B(3;0;5), C(1;1;0), D(4;1;2). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống (ABC) là:

   A. √(11)   B. √(11)/11

   C. 1   D. 11

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có AB(3;0;3), AC(1;1;-2), và AD(4;1;0).

Dễ thấy [AB, AC]Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án=(-3;9;3),

nên SABC=1/2|[AB, AC]|Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy chiều cao hạ từ đỉnh D của tứ diện là Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(0; 2; -2); B(-3; 1; -1);

C(4; 3; 0), D(1; 2; m). Tìm m để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.

Một học sinh giải như sau:

   Bước 1: AB=(-3;-1;1), AC=(4;1;2), AD= (1;0;m+2)

   Bước 2: [AB, AC]Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án=(-3;10;1)

    [AB , AC ]. AD= 3+m+2 = m+5

   Bước 3: A, B, C, D đồng phẳng⇔[AB, AC]. AD= 3+m+2 = m+5 = 0 ⇔ m= -5.

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

   A. Đúng.   B. Sai từ bước 1.

   C. Sai từ bước 2.   D. Sai từ bước 3.

Đáp án : C

Giải thích :

Bước 2 sai. Phép tính đúng ở đây phải là [AB, AC] . AD = -3+m +2= m -1.

Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;1), B(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao của tam giác kẻ từ C là:

   A. √(26)   B. √(26)/2

   C. √(26)/3   D. 26

Đáp án : C

Giải thích :

AB(-1;2;2), AC(1;1;-1). Độ dài đường cao kẻ từ C của tam giác ABC là:

d(C, AB)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD biết A(-2;2;6), B(-3;1;8), C(-1;0;7), D(1;2;3). Gọi H là trung điểm của CD, SH⊥(ABCD). Để khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 27/2(đvtt) thì có hai điểm S1, S2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2

   A. (0; 1; 5)    B. (1; 0; 5)

   C. (0; -1; -5)    D. (-1; 0; -5)

Đáp án : A

Giải thích :

Ta có: AB=(-1;-1;2); AC=(1; -2;1) ⇒ [AB; AC ]=(3;3;3)

⇒SABC=1/2 |[AB ; AC ]|=(3√3)/2

DC=(-2; -2;4); AB=(-1;-1;2) ⇒ DC=2 AB

⇒ ABCD là hình thang và SABCD=3SABC=(9√3)/2

VABCD=1/3 SH.SABCD=27/2 ⇒SH=3√3

Lại có H là trung điểm của CD ⇒H (0;1;5)

Gọi S (a; b; c) ⇒ SH=(-a;1-b;5-c)

Do SH⊥(ABCD) nên SH=k[ AB ; AC]=(3k;3k;3k)

⇒3√3Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án⇒k=±1

Với k = 1 ⇒ SH=(3;3;3)⇒S(-3; -2;2)

Với k = -1 ⇒ SH=(-3;-3;-3)⇒S(3; 4;8)

⇒I(0;1;5)

Bài 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1). Độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ D là:

   A. 3   B. 1

   C. 2   D. 1/2

Đáp án : A

Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;1), B(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao của tam giác kẻ từ C là:

   A. √(26)   B. √(26)/2

   C. √(26)/3   D. 26

Đáp án : C

Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và D thuộc trục Oy. Biết VABCD=5 và có hai điểm D1(0;y1;0), D2(0;y2;0) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó y1+y2 bằng

   A. 1   B. 0

   C. 2   D. 3

Đáp án : A

Giải thích :

D thuộc trục Oy ⇒D(0;y;0)

AB=(1; -1;2), AC=(0; -2;4), AD=(-2;y-1;1)

⇒[ AB; AC ]=(0; -4; -2)⇒[AB ; AC ] . AD=-4y+2

VABCD=1/6 |[ AB ; AC ] . AD |=1/6 |-4y+2|=5 ⇒y=-7;y=8

⇒D(0; -7;8) và D (0;8;0)

⇒ y1+y2= 1

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác