Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia. Xem ngay!

Tích vô hướng của hai vecto trong không gian - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Phương pháp tọa độ trong không gian

Tích vô hướng của hai vecto trong không gian

A. Phương pháp giải & Ví dụ

+ Tích vô hướng của hai vecto:

    a.b=a1.b1+ a2.b2+ a3.b3

+ ab⇔a1.b1+ a2.b2+ a3.b3=0

+ a2=a12+a22+a32

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto a=(1;2;1),

b=(3;-1;2), c=(4; -1; -3),d=(3; -3; -5),u=(1;m;2),m∈R.

a) Tính a.b; b(a-2c)

b) So sánh a.(b.c) và (a.b ) c

c) Tính các góc (a,b ), ( a+b,3a- 2c )

d) Tìm m để u⊥(b+d)

e) Tìm m để (u,a )=600

Hướng dẫn:

a) a =(1;2;1),b =(3;-1;2)

a .b =1.3+2.(-1)+1.2=3.

c =(4; -1; -3)⇒2c =(8; -2; -6)⇒ a -2c =(-7;4;7)

b (a -2c )=3.(-7)-1.4+2.7=-11

b) b .c =3.4+(-1).(-1)+2.(-3)=7⇒a .(b .c )=(7;14;7)

a .b =3⇒(a .b ) c =(12; -3; -9)

Vậy a .(b .c )≠(a .b ) c

c) Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒(a.b )≈710

+ a+ b=(4;1;3),3a- 2c=(-5;8;9)

⇒cos( a+b,3a- 2c )

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒( a +b ,3a - 2c )≈770

d) b +d =(6; -4; -3); u =(1;m;2)

u ⃗⊥(b +d ⃗ )⇔u .(b +d )=0⇔6-4m-6=0⇔m=0

e)

(u ,a )=600⇔cos⁡(u ,a )=1/2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a,b sao cho (a,b )=1200,

|a |=2; |b |=3. Tính |a+ b | và |a-2b |

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: a .b =|a |.|b |.cos⁡(a ,b )

Ta có: |a + b |2=(a + b )2=a 2+2a .b +b 2

=|a |2+|b |2+2|a |.|b |.cos⁡(a ,b )=4+9+2.2.3.((-1)/2)=7

⇒|a + b |=√7

Tương tự:

|a -2b |2 =|a |2+4|b |2-4|a |.|b |.cos⁡(a ,b )=4+36-4.2.3.((-1)/2)=52

⇒|a -2b |=2√(13)

Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; -1; 1), B(3; 5; 2), C(8; 4; 3), D(-2; 2m+1; -3)

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

b) Tìm m sao cho tam giác ABD vuông tại A

c) Tính số đo góc A của tam giác ABC

Hướng dẫn:

a) Ta có: AB=(1;6;1); BC=(5;-1;1)

AB.BC=1.5+6.(-1)+1.1=0

ABBC⇒ΔABC vuông tại B.

b) AB=(1;6;1); AD=(-4;2m+2; -4)

Tam giác ABD vuông tại A ⇔AB.AD=0

⇔1.(-4)+6.(2m+2)+1.(-4)=0

⇔12m+4=0⇔m=(-1)/3

c) AB=(1;6;1); AC=(6;5;2)

cos⁡A=cos⁡(AB;AC )

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒Â≈400

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho các vectơ u(u1;u2;u3) và v(v1;v2;v3), u. v=0 khi và chỉ khi:

   A. u1v1+u2v2+u3v3=0

   B. u1+v1+u2+v2+u3+v3=0

   C. u1v1+u2v2+u3v3=1

   D. u1v2+u2v3+u3v1=-1

Đáp án : A

Bài 2: Cho hai vectơ ab tạo với nhau góc 600 và |a| =2; |b| =4. Khi đó |a + b | bằng:

   A. 2√7    B. 2√3

   C. 2√5   D. 2

Đáp án : A

Giải thích :

|a + b |2=(a + b )2=|a |2+|b |2+2|a |.|b |.cos⁡(a + b )

=4+16+2.2.4.1/2=28

⇒|a + b |=2√7

Bài 3: Cho a(-2;1;3), b(1;2;m). Với giá trị nào của m để a vuông góc với b ?

   A. m=-1   B. m=1

   C. m=2   D. m=0

Đáp án : D

Giải thích :

a vuông góc với b khi và chỉ khi a . b=0

⇔-2.1+1.2+3.m=0⇔m=0

Bài 4: Tính cosin của góc giữa hai vectơ ab biết a(8;4;1), b(2;-2;1)

   A. 1/2   B. √(2)/2

   C. √(3)/2   D. 1/3

Đáp án : D

Giải thích :

cos⁡(a , b)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho tam giác ABC với A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Khi đó số đo của góc BACˆ bằng:

   A. 300    B. 900

   C. 600   D. 450

Đáp án : B

Giải thích :

AB=(-3;0; -4); AC=(4;0;-3)

cos⁡BACˆ=cos⁡( AB ; AC)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

BACˆ=900

Bài 6: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1). Khi đó số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và CD là :

   A. 300    B. 450

   C. 600   D. 900

Đáp án : B

Giải thích :

AB =(-1;1;0); CD =(-2;1; -2)

Gọi góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là α

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒α=450

Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai vecto a; b. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:

   A. a .|b |=|a |.b với mọi a ; b

   B. ( a b )2=a 2 . b 2 với mọi a ; b

   C. |a . b | ≤|a |.|b | với mọi a ; b

   D. a . b =0 khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0

Đáp án : C

Giải thích :

VD: a =(2; -3;1), b =(1;1;1)

⇒|a |=√14; |b |=√3

a) a . |b |=(2√3; -3√3;√3)

|a |. b =(√14; √14; √14)

a . |b |≠| a | . b

b) a b =2.1-3.1+1.1=0

a 2 . b 2=14.3=52

⇒( a b )2a 2 . b 2

d) a b =0 nhưng a0 hoặc b0

Vậy a, b, d sai, c đúng.

Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho a(-1;2;-3), b(3;3;4), c(5;0-1). Giá trị của a (b + c ) là:

   A. 8   B. 11

   C. -8   D. -11

Đáp án : D

Giải thích :

b + c =(8;3;3)

a (b + c )=-1.8+2.3-3.3=-11

Bài 9: Cho 3 điểm A(2; 1; -3), B(–2; 2; –6), C(5; 0; –1). Tích AB. AC bằng:

   A. -6   B. 65

   C. -19    D. 33

Đáp án : C

Giải thích :

AB =(-4;1; -3); AC=(3; -1;2)

AB . AC =-4.3+1.(-1)-3.2=-19

Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điều kiện để a vuông góc với b là gì ?

   A. a . b =0   B. [ a , b] = 0

   C. a + b = 0   D. a - b = 0

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 11: Cho hai vecto a; bthay đổi nhưng luôn thỏa mãn |a|=5; |b |=3. Giá trị lớn nhất của |a -2 b | là:

   A. 11   B. -1

   C. 1    D. √61

Đáp án : D

Giải thích :

Ta có: |a - 2 b |2 = ( a - 2 b )2 = | a |2 + 4| b |2 - 4| a |.| b |.cos⁡( a ; b )

| a -2 b | lớn nhất ⇔ | a - 2 b |2 lớn nhất ⇔cos⁡( a ; b )=0

Khi đó: | a - 2 b |2=| a |2+4| b |2=25+4.9=61

⇒|a - 2 b |=√61

Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba vectơ a(-1;1;0), b(1;1;0), c(1;1;1,). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

   A. | a|= √2    B. cb

   C. ab   D. | c |=√3

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có: c . b=1.1+1.1+0.1=2≠0

⇒ Hai vecto c ; b không vuông góc với nhau

Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có AB=(-3;0;4), AC=(5;-2;4). Độ dài trung tuyến AM là:

   A. 3√2   B. 4√2

   C. 2√3   D. 5√3

Đáp án : A

Giải thích :

Ta có: AB=|AB |=5; AC=|AC |=√45

cos⁡BACˆ =cos⁡(AB ; AC )

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: BC2=AB2+AC2 - 2AB.AC.cos⁡BACˆ =68

AM là trung tuyến

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒AM=3√2

Bài 14: Cho | a |=2; | b |=5, góc giữa hai vectơ ab bằng (2π)/3, u = k a - b; v = a + 2 b. Để u vuông góc với v thì k bằng?

   A. -45/6   B. 45/6

   C. 6/45   D. -6/45

Đáp án : A

Giải thích :

u = k a - b; v = a + 2 b

u . v =(k a - b )(a +2 b )=k a 2-2 b 2+(2k-1) a . b

Ta có: a . b =| a |.| b |.cos⁡( a ; b )=2.5.cos⁡(2π/3)=-5

u . v =4k-2.25+(2k-1).(-5)=-6k-45

Giả thiết: uv vuông góc với nhau ⇒ u . v =0

⇒-6k-45=0 ⇔ k=(-45)/6

Bài 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a=(x;2;1), b =(2;1;2), Tìm x biết cos( a , b )=2/3.

   A. x=1/2   B. x=1/3

   C. x=3/2   D. x=1/4

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A (-2;2;-1), B (-2;3;0), C (x;3;-1). Giá trị của x để tam giác ABC đều là:

   A. x=-1   B. x=-3

   C.Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án   D. x=1

Đáp án : C

Giải thích :

AB =(0;1;1); AC =(x+2;1;0); BC =(x+2;0;-1)

Tam giác ABC đều ⇔ BACˆ= ABCˆ=600

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔(x+2)2 + 1=2⇔(x+2)2=1

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 17: Cho hai vecto a; b tạo với nhau một góc 600. Biết độ dài của hai vecto đó lần lượt là 5 và 10. Độ dài của vecto hiệu a - b là:

   A. 15   B. 5

   C. 75   D. √(75)

Đáp án : D

Giải thích :

Ta có: | a - b |2=( a - b )2=| a |2+| b |2-2| a |.| b |.cos⁡( a ; b )

=25+100-2.5.10.cos⁡600 =75

⇒|a - b |=√75

Bài 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tam giác ABC với A(-4;3;5), B(-3;2;5) và C(5;-3;8). Tính cos⁡(AB ; BC ).

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

AB =(1; -1;0); BC =(8; -5;3)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tam giác ABC có A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Số đo của góc B là:

   A. 450   B. 600

   C. 300   D. 1200

Đáp án : A

Giải thích :

AB=(-3; 0;-4); BC=(7; 0;1)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒(AB ; BC )=1350

Bˆ=450

Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(x; y; z), B(m, n, p) thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện x2+y2+z2=4; m2+n2+p2=9. Vecto AB có độ dài nhỏ nhất là:

   A. 5   B. 1

   C. 13   D. Không tồn tại

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có: OA = 2; OB = 3

AB≤|OA-OB|=1

Dấu bằng xảy ra khi O nằm ngoài đoạn AB.

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 99K tại khoahoc.vietjack.com


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác