Tích vô hướng của hai vecto trong không gian - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Phương pháp tọa độ trong không gian

Tích vô hướng của hai vecto trong không gian

A. Phương pháp giải & Ví dụ

+ Tích vô hướng của hai vecto:

    a.b=a1.b1+ a2.b2+ a3.b3

+ ab⇔a1.b1+ a2.b2+ a3.b3=0

+ a2=a12+a22+a32

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto a=(1;2;1),

b=(3;-1;2), c=(4; -1; -3),d=(3; -3; -5),u=(1;m;2),m∈R.

a) Tính a.b; b(a-2c)

b) So sánh a.(b.c) và (a.b ) c

c) Tính các góc (a,b ), ( a+b,3a- 2c )

d) Tìm m để u⊥(b+d)

e) Tìm m để (u,a )=600

Hướng dẫn:

a) a =(1;2;1),b =(3;-1;2)

a .b =1.3+2.(-1)+1.2=3.

c =(4; -1; -3)⇒2c =(8; -2; -6)⇒ a -2c =(-7;4;7)

b (a -2c )=3.(-7)-1.4+2.7=-11

b) b .c =3.4+(-1).(-1)+2.(-3)=7⇒a .(b .c )=(7;14;7)

a .b =3⇒(a .b ) c =(12; -3; -9)

Vậy a .(b .c )≠(a .b ) c

c) Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒(a.b )≈710

+ a+ b=(4;1;3),3a- 2c=(-5;8;9)

⇒cos( a+b,3a- 2c )

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒( a +b ,3a - 2c )≈770

d) b +d =(6; -4; -3); u =(1;m;2)

u ⃗⊥(b +d ⃗ )⇔u .(b +d )=0⇔6-4m-6=0⇔m=0

e)

(u ,a )=600⇔cos⁡(u ,a )=1/2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a,b sao cho (a,b )=1200,

|a |=2; |b |=3. Tính |a+ b | và |a-2b |

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: a .b =|a |.|b |.cos⁡(a ,b )

Ta có: |a + b |2=(a + b )2=a 2+2a .b +b 2

=|a |2+|b |2+2|a |.|b |.cos⁡(a ,b )=4+9+2.2.3.((-1)/2)=7

⇒|a + b |=√7

Tương tự:

|a -2b |2 =|a |2+4|b |2-4|a |.|b |.cos⁡(a ,b )=4+36-4.2.3.((-1)/2)=52

⇒|a -2b |=2√(13)

Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; -1; 1), B(3; 5; 2), C(8; 4; 3), D(-2; 2m+1; -3)

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

b) Tìm m sao cho tam giác ABD vuông tại A

c) Tính số đo góc A của tam giác ABC

Hướng dẫn:

a) Ta có: AB=(1;6;1); BC=(5;-1;1)

AB.BC=1.5+6.(-1)+1.1=0

ABBC⇒ΔABC vuông tại B.

b) AB=(1;6;1); AD=(-4;2m+2; -4)

Tam giác ABD vuông tại A ⇔AB.AD=0

⇔1.(-4)+6.(2m+2)+1.(-4)=0

⇔12m+4=0⇔m=(-1)/3

c) AB=(1;6;1); AC=(6;5;2)

cos⁡A=cos⁡(AB;AC )

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒Â≈400

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho các vectơ u(u1;u2;u3) và v(v1;v2;v3), u. v=0 khi và chỉ khi:

   A. u1v1+u2v2+u3v3=0

   B. u1+v1+u2+v2+u3+v3=0

   C. u1v1+u2v2+u3v3=1

   D. u1v2+u2v3+u3v1=-1

Đáp án : A

Bài 2: Cho hai vectơ ab tạo với nhau góc 600 và |a| =2; |b| =4. Khi đó |a + b | bằng:

   A. 2√7    B. 2√3

   C. 2√5   D. 2

Đáp án : A

Giải thích :

|a + b |2=(a + b )2=|a |2+|b |2+2|a |.|b |.cos⁡(a + b )

=4+16+2.2.4.1/2=28

⇒|a + b |=2√7

Bài 3: Cho a(-2;1;3), b(1;2;m). Với giá trị nào của m để a vuông góc với b ?

   A. m=-1   B. m=1

   C. m=2   D. m=0

Đáp án : D

Giải thích :

a vuông góc với b khi và chỉ khi a . b=0

⇔-2.1+1.2+3.m=0⇔m=0

Bài 4: Tính cosin của góc giữa hai vectơ ab biết a(8;4;1), b(2;-2;1)

   A. 1/2   B. √(2)/2

   C. √(3)/2   D. 1/3

Đáp án : D

Giải thích :

cos⁡(a , b)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho tam giác ABC với A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Khi đó số đo của góc BACˆ bằng:

   A. 300    B. 900

   C. 600   D. 450

Đáp án : B

Giải thích :

AB=(-3;0; -4); AC=(4;0;-3)

cos⁡BACˆ=cos⁡( AB ; AC)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

BACˆ=900

Bài 6: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1). Khi đó số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và CD là :

   A. 300    B. 450

   C. 600   D. 900

Đáp án : B

Giải thích :

AB =(-1;1;0); CD =(-2;1; -2)

Gọi góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là α

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒α=450

Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai vecto a; b. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:

   A. a .|b |=|a |.b với mọi a ; b

   B. ( a b )2=a 2 . b 2 với mọi a ; b

   C. |a . b | ≤|a |.|b | với mọi a ; b

   D. a . b =0 khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0

Đáp án : C

Giải thích :

VD: a =(2; -3;1), b =(1;1;1)

⇒|a |=√14; |b |=√3

a) a . |b |=(2√3; -3√3;√3)

|a |. b =(√14; √14; √14)

a . |b |≠| a | . b

b) a b =2.1-3.1+1.1=0

a 2 . b 2=14.3=52

⇒( a b )2a 2 . b 2

d) a b =0 nhưng a0 hoặc b0

Vậy a, b, d sai, c đúng.

Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho a(-1;2;-3), b(3;3;4), c(5;0-1). Giá trị của a (b + c ) là:

   A. 8   B. 11

   C. -8   D. -11

Đáp án : D

Giải thích :

b + c =(8;3;3)

a (b + c )=-1.8+2.3-3.3=-11

Bài 9: Cho 3 điểm A(2; 1; -3), B(–2; 2; –6), C(5; 0; –1). Tích AB. AC bằng:

   A. -6   B. 65

   C. -19    D. 33

Đáp án : C

Giải thích :

AB =(-4;1; -3); AC=(3; -1;2)

AB . AC =-4.3+1.(-1)-3.2=-19

Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điều kiện để a vuông góc với b là gì ?

   A. a . b =0   B. [ a , b] = 0

   C. a + b = 0   D. a - b = 0

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 11: Cho hai vecto a; bthay đổi nhưng luôn thỏa mãn |a|=5; |b |=3. Giá trị lớn nhất của |a -2 b | là:

   A. 11   B. -1

   C. 1    D. √61

Đáp án : D

Giải thích :

Ta có: |a - 2 b |2 = ( a - 2 b )2 = | a |2 + 4| b |2 - 4| a |.| b |.cos⁡( a ; b )

| a -2 b | lớn nhất ⇔ | a - 2 b |2 lớn nhất ⇔cos⁡( a ; b )=0

Khi đó: | a - 2 b |2=| a |2+4| b |2=25+4.9=61

⇒|a - 2 b |=√61

Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba vectơ a(-1;1;0), b(1;1;0), c(1;1;1,). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

   A. | a|= √2    B. cb

   C. ab   D. | c |=√3

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có: c . b=1.1+1.1+0.1=2≠0

⇒ Hai vecto c ; b không vuông góc với nhau

Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có AB=(-3;0;4), AC=(5;-2;4). Độ dài trung tuyến AM là:

   A. 3√2   B. 4√2

   C. 2√3   D. 5√3

Đáp án : A

Giải thích :

Ta có: AB=|AB |=5; AC=|AC |=√45

cos⁡BACˆ =cos⁡(AB ; AC )

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: BC2=AB2+AC2 - 2AB.AC.cos⁡BACˆ =68

AM là trung tuyến

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒AM=3√2

Bài 14: Cho | a |=2; | b |=5, góc giữa hai vectơ ab bằng (2π)/3, u = k a - b; v = a + 2 b. Để u vuông góc với v thì k bằng?

   A. -45/6   B. 45/6

   C. 6/45   D. -6/45

Đáp án : A

Giải thích :

u = k a - b; v = a + 2 b

u . v =(k a - b )(a +2 b )=k a 2-2 b 2+(2k-1) a . b

Ta có: a . b =| a |.| b |.cos⁡( a ; b )=2.5.cos⁡(2π/3)=-5

u . v =4k-2.25+(2k-1).(-5)=-6k-45

Giả thiết: uv vuông góc với nhau ⇒ u . v =0

⇒-6k-45=0 ⇔ k=(-45)/6

Bài 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a=(x;2;1), b =(2;1;2), Tìm x biết cos( a , b )=2/3.

   A. x=1/2   B. x=1/3

   C. x=3/2   D. x=1/4

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A (-2;2;-1), B (-2;3;0), C (x;3;-1). Giá trị của x để tam giác ABC đều là:

   A. x=-1   B. x=-3

   C.Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án   D. x=1

Đáp án : C

Giải thích :

AB =(0;1;1); AC =(x+2;1;0); BC =(x+2;0;-1)

Tam giác ABC đều ⇔ BACˆ= ABCˆ=600

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔(x+2)2 + 1=2⇔(x+2)2=1

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 17: Cho hai vecto a; b tạo với nhau một góc 600. Biết độ dài của hai vecto đó lần lượt là 5 và 10. Độ dài của vecto hiệu a - b là:

   A. 15   B. 5

   C. 75   D. √(75)

Đáp án : D

Giải thích :

Ta có: | a - b |2=( a - b )2=| a |2+| b |2-2| a |.| b |.cos⁡( a ; b )

=25+100-2.5.10.cos⁡600 =75

⇒|a - b |=√75

Bài 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tam giác ABC với A(-4;3;5), B(-3;2;5) và C(5;-3;8). Tính cos⁡(AB ; BC ).

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

AB =(1; -1;0); BC =(8; -5;3)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tam giác ABC có A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Số đo của góc B là:

   A. 450   B. 600

   C. 300   D. 1200

Đáp án : A

Giải thích :

AB=(-3; 0;-4); BC=(7; 0;1)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒(AB ; BC )=1350

Bˆ=450

Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(x; y; z), B(m, n, p) thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện x2+y2+z2=4; m2+n2+p2=9. Vecto AB có độ dài nhỏ nhất là:

   A. 5   B. 1

   C. 13   D. Không tồn tại

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có: OA = 2; OB = 3

AB≤|OA-OB|=1

Dấu bằng xảy ra khi O nằm ngoài đoạn AB.

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác