Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia chỉ 399k, tại khoahoc.vietjack.com. Xem ngay Xem ngay!

Tìm tâm và bán kính mặt cầu - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Phương pháp tọa độ trong không gian

Tìm tâm và bán kính mặt cầu

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

+ Phương trình (S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 là phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R

+ Phương trình (S): x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2-d>0 là phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c); bán kính

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu, nếu là phương trình mặt cầu, hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó

a) (x-2)2+(y+3)2+z2=5

b) x2+y2+z2-2x+4y-6z+1=0

c) 3x2+3y2+3z2-6x+3y+21=0

Hướng dẫn:

a) Phương trình (x-2)2+(y+3)2+z2=5 có dạng

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 nên là phương trình mặt cầu có tâm

I (2; -3; 0) và bán kính R=√5.

b) Phương trình x2+y2+z2-2x+4y-6z+1=0 có dạng

x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với a = 1; b = -2; c = 3, d = 1

⇒ a2+b2+c2-d=13>0

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 3) và bán kính R=√13.

c) Phương trình 3x2+3y2+3z2-6x+3y+21=0

⇔ x2+y2+z2-2x+y+7=0

Phương trình có dạng x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với

a=1;b=(-1)/2;c=0;d=7 ⇒a2+b2+c2-d=(-23)/4<0

Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mỗi phương trình sau là phương trình mặt cầu.

a) x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0

b) x2+y2+z2-2(m-3)x-4mz+8=0

Hướng dẫn:

a) Phương trình x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0 có

a=m;b=-(m+1); c=2;d=1.

Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0

⇔ m2+(m+1)2+22-1>0⇔2m2+2m+3>0 ⇔m∈R.

b) Phương trình x2+y2+z2-2(m-3)x-4mz+8=0 có a=m-3;

b=0;c=2m;d=8

Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔a2+b2+c2-d>0

⇔(m-3)2+4m2-8>0 ⇔5m2-6m+1>0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x2+y2+z2+2(m+2)x-2(m-3)z+m2-1=0 là phương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

Phương trình x2+y2+z2+2(m+2)x-2(m-3)z+m2-1=0 có:

a=-(m+2);b=0;c=m-3;d=m2-1

Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0

⇔ (m+2)2+(m-3)2-m2+1>0 ⇔ m2-2m+14>0 ⇔ m∈R.

Khi đó, bán kính mặt cầu là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dấu bằng xảy ra khi m = 1.

Vậy với m = 1 thì mặt cầu có bán kính nhỏ nhất R=√13.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?

   A. x2+y2+z2-2x=0

   B. x2+y2 - z2+2x-y+1=0

   C. 2x2+2y2 = (x+y)2 - z2+2x-1

   D. (x+y)2 = 2xy - z2 - 1

Đáp án : A

Giải thích :

Phương trình x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0

Quảng cáo

Bài 2: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu?

   A. x2 + y2 + z2 + 2x - 2y + 1 = 0.

   B. x2 + y2 + z2 - 2x = 0.

   C. 2x2 + 2y2 = (x + y)2 - z2 + 2x - 1.

   D. ( x + y)2 = 2xy - z2 + 1 - 4x.

Đáp án : C

Giải thích :

Bài 3: Cho các phương trình sau:

    ( x - 1)2 + y2 + z2 = 1

    x2 + ( 2y - 1)2+ z2 = 4

   x2 + y2 + z2 + 1 = 0

   ( 2x + 1)2+ ( 2y - 1)2 + 4z2 = 16

Số phương trình là phương trình mặt cầu là:

   A. 1   B. 3

   C. 4   D. 2

Đáp án : D

Giải thích :

Các phương trình mặt cầu là:

( x - 1)2 + y2 + z2 = 1

x2 + ( 2y - 1)2 + z2 = 4

Bài 4: Mặt cầu ( S ): x2+ y2+ z2- 2x + 10y + 3z + 1 = 0 đi qua điểm có tọa độ nào sau đây?

   A. (3; - 2; - 4)   B. ( 2;1;9)

   C. ( 4; - 1;0)   D.(- 1;3; - 1)

Đáp án : B

Giải thích :

Thử trực tiếp đáp án, điểm (2; 1; 9) thỏa mãn phương trình mặt cầu.

Bài 5: Mặt cầu ( S ): x2+ y2 + z2 - 4x + 1 = 0 có tọa độ tâm và bán kính R là:

   A. I(-2;0;0), R = √3

   B. I(2;0;0), R = √3

   C. I(0;2;0), R = √3

   D. I(2;0;0), R = 3

Đáp án : B

Giải thích :

( S ): x2 + y2 + z2- 4x + 1 = 0

⇔ (x-2)2+y2+z2=3

Phương trình có tâm I (2 ; 0 ; 0), bán kính R=√3

Bài 6: Phương trình mặt cầu có tâm I(-1;2;3), bán kình R=3 là:

   A. (x + 1)2+ ( y - 2)2 + ( z + 3)2 = 9

   B. ( x + 1)2+ ( y - 2)2+ ( z + 3)2 = 3

   C. ( x - 1)2+ ( y + 2)2 + ( z - 3)2 = 9

   D. ( x + 1)2+ ( y - 2)2+ ( z + 3)2 = 9

Đáp án : A

Giải thích :

Phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c), bán kính R là:

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2

Bài 7: Mặt cầu ( S ): ( x + y)2= 2xy - z2 + 1 - 4x có tâm là:

   A. I(2;0;0)   B. I(4;0;0)

   C. I(-4;0;0)   D. I(-2;0;0)

Đáp án : D

Giải thích :

(x+y)2=2xy-z2+1-4x ⇔ x2+y2+z2+4x=1

Phương trình có a=-2;b=0;c=0 ⇒ I(-2;0;0)

Bài 8: Mặt cầu có phương trình nào sau đây có tâm là I(-1;1;0) ?

   A. x2+ y2 + z2+ 2x - 2y + 1 = 0.

   B. x2 + y2+ z2 - 2x + 2y = 0.

   C. 2x2 + 2y2 = ( x + y)2 - z2+ 2x - 1 - 2xy.

   D. ( x + y)2 = 2xy - z2+ 1 - 4x.

Đáp án : A

Giải thích :

A. x2+ y2 + z2 + 2x - 2y + 1 = 0.

⇔ (x+1)2+(y-1)2+z2=1

Phương trình có tâm I (-1 ; 1 ; 0), bán kính R =1

B. x2 + y2 + z2 - 2x + 2y = 0.

⇔ (x-1)2+(y+1)2+z2=2

Phương trình có tâm I (1 ; -1 ; 0), bán kính R=√2

C.2x2+ 2y2= ( x + y )2 - z2 + 2x - 1 - 2xy.

⇔ x2+y2+z2-2x+1=0

⇔ (x-1)2+y2+z2=0

Đây không phải là phương trình mặt cầu.

D. (x + y)2= 2xy - z2+ 1 - 4x.

⇔ x2+y2+z2+4x-1=0

⇔(x+2)2+y2+z2=5

Phương trình có tâm I (-2 ; 0 ; 0), bán kính R=√5

Quảng cáo

Bài 9: Gọi I là tâm mặt cầu ( S ): x2 + y2 + ( z - 2)2= 4. Độ dài OI (O là gốc tọa độ) bằng?

   A. 1   B. 4

   C. 2   D. √2

Đáp án : C

Giải thích :

Mặt cầu ( S ): x2 + y2 + ( z - 2)2= 4 có tâm I (0; 0; 2) ⇒ OI=2

Bài 10: Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm của ba trục toạ độ ?

   A. x2+ y2 + z2 - 6x = 0.

   B. x2 + y2 + z2 - 6y = 0.

   C. x2 + y2 + z2 - 6z = 0.

   D. x2 + y2 + z2 = 9.

Đáp án : D

Giải thích :

Giao điểm của 3 trục tọa độ là điểm O (0; 0; 0)

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm O (0; 0; 0) và bán kính R = 3 là

x2+y2+z2=9

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12