Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu (cực hay)
Bài viết Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu.
Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu (cực hay)
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
A. Phương pháp giải & Ví dụ
+ Phương trình (S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 là phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R
+ Phương trình (S): x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2-d>0 là phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c); bán kính
Ví dụ minh họa
Bài 1: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu, nếu là phương trình mặt cầu, hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó
a) (x-2)2+(y+3)2+z2=5
b) x2+y2+z2-2x+4y-6z+1=0
c) 3x2+3y2+3z2-6x+3y+21=0
Lời giải:
a) Phương trình (x-2)2+(y+3)2+z2=5 có dạng
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 nên là phương trình mặt cầu có tâm
I (2; -3; 0) và bán kính R=√5.
b) Phương trình x2+y2+z2-2x+4y-6z+1=0 có dạng
x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với a = 1; b = -2; c = 3, d = 1
⇒ a2+b2+c2-d=13>0
Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 3) và bán kính R=√13.
c) Phương trình 3x2+3y2+3z2-6x+3y+21=0
⇔ x2+y2+z2-2x+y+7=0
Phương trình có dạng x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với
a=1;b=(-1)/2;c=0;d=7 ⇒a2+b2+c2-d=(-23)/4<0
Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mỗi phương trình sau là phương trình mặt cầu.
a) x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0
b) x2+y2+z2-2(m-3)x-4mz+8=0
Lời giải:
a) Phương trình x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0 có
a=m;b=-(m+1); c=2;d=1.
Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0
⇔ m2+(m+1)2+22-1>0⇔2m2+2m+3>0 ⇔m∈R.
b) Phương trình x2+y2+z2-2(m-3)x-4mz+8=0 có a=m-3;
b=0;c=2m;d=8
Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔a2+b2+c2-d>0
⇔(m-3)2+4m2-8>0 ⇔5m2-6m+1>0
Bài 3: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x2+y2+z2+2(m+2)x-2(m-3)z+m2-1=0 là phương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
Lời giải:
Phương trình x2+y2+z2+2(m+2)x-2(m-3)z+m2-1=0 có:
a=-(m+2);b=0;c=m-3;d=m2-1
Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0
⇔ (m+2)2+(m-3)2-m2+1>0 ⇔ m2-2m+14>0 ⇔ m∈R.
Khi đó, bán kính mặt cầu là:
Dấu bằng xảy ra khi m = 1.
Vậy với m = 1 thì mặt cầu có bán kính nhỏ nhất R=√13.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?
A. x2+y2+z2-2x=0
B. x2+y2 - z2+2x-y+1=0
C. 2x2+2y2 = (x+y)2 - z2+2x-1
D. (x+y)2 = 2xy - z2 - 1
Lời giải:
Đáp án : A
Giải thích :
Phương trình x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0
Bài 2: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu?
A. x2 + y2 + z2 + 2x - 2y + 1 = 0.
B. x2 + y2 + z2 - 2x = 0.
C. 2x2 + 2y2 = (x + y)2 - z2 + 2x - 1.
D. ( x + y)2 = 2xy - z2 + 1 - 4x.
Lời giải:
Đáp án : C
Giải thích :
Bài 3: Cho các phương trình sau:
( x - 1)2 + y2 + z2 = 1
x2 + ( 2y - 1)2+ z2 = 4
x2 + y2 + z2 + 1 = 0
( 2x + 1)2+ ( 2y - 1)2 + 4z2 = 16
Số phương trình là phương trình mặt cầu là:
A. 1 B. 3
C. 4 D. 2
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
Các phương trình mặt cầu là:
( x - 1)2 + y2 + z2 = 1
x2 + ( 2y - 1)2 + z2 = 4
Bài 4: Mặt cầu ( S ): x2+ y2+ z2- 2x + 10y + 3z + 1 = 0 đi qua điểm có tọa độ nào sau đây?
A. (3; - 2; - 4) B. ( 2;1;9)
C. ( 4; - 1;0) D.(- 1;3; - 1)
Lời giải:
Đáp án : B
Giải thích :
Thử trực tiếp đáp án, điểm (2; 1; 9) thỏa mãn phương trình mặt cầu.
Bài 5: Mặt cầu ( S ): x2+ y2 + z2 - 4x + 1 = 0 có tọa độ tâm và bán kính R là:
A. I(-2;0;0), R = √3
B. I(2;0;0), R = √3
C. I(0;2;0), R = √3
D. I(2;0;0), R = 3
Lời giải:
Đáp án : B
Giải thích :
( S ): x2 + y2 + z2- 4x + 1 = 0
⇔ (x-2)2+y2+z2=3
Phương trình có tâm I (2 ; 0 ; 0), bán kính R=√3
Bài 6: Phương trình mặt cầu có tâm I(-1;2;3), bán kình R=3 là:
A. (x + 1)2+ ( y - 2)2 + ( z + 3)2 = 9
B. ( x + 1)2+ ( y - 2)2+ ( z + 3)2 = 3
C. ( x - 1)2+ ( y + 2)2 + ( z - 3)2 = 9
D. ( x + 1)2+ ( y - 2)2+ ( z + 3)2 = 9
Lời giải:
Đáp án : A
Giải thích :
Phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c), bán kính R là:
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2
Bài 7: Mặt cầu ( S ): ( x + y)2= 2xy - z2 + 1 - 4x có tâm là:
A. I(2;0;0) B. I(4;0;0)
C. I(-4;0;0) D. I(-2;0;0)
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
(x+y)2=2xy-z2+1-4x ⇔ x2+y2+z2+4x=1
Phương trình có a=-2;b=0;c=0 ⇒ I(-2;0;0)
Bài 8: Mặt cầu có phương trình nào sau đây có tâm là I(-1;1;0) ?
A. x2+ y2 + z2+ 2x - 2y + 1 = 0.
B. x2 + y2+ z2 - 2x + 2y = 0.
C. 2x2 + 2y2 = ( x + y)2 - z2+ 2x - 1 - 2xy.
D. ( x + y)2 = 2xy - z2+ 1 - 4x.
Lời giải:
Đáp án : A
Giải thích :
A. x2+ y2 + z2 + 2x - 2y + 1 = 0.
⇔ (x+1)2+(y-1)2+z2=1
Phương trình có tâm I (-1 ; 1 ; 0), bán kính R =1
B. x2 + y2 + z2 - 2x + 2y = 0.
⇔ (x-1)2+(y+1)2+z2=2
Phương trình có tâm I (1 ; -1 ; 0), bán kính R=√2
C.2x2+ 2y2= ( x + y )2 - z2 + 2x - 1 - 2xy.
⇔ x2+y2+z2-2x+1=0
⇔ (x-1)2+y2+z2=0
Đây không phải là phương trình mặt cầu.
D. (x + y)2= 2xy - z2+ 1 - 4x.
⇔ x2+y2+z2+4x-1=0
⇔(x+2)2+y2+z2=5
Phương trình có tâm I (-2 ; 0 ; 0), bán kính R=√5
Bài 9: Gọi I là tâm mặt cầu ( S ): x2 + y2 + ( z - 2)2= 4. Độ dài OI→ (O là gốc tọa độ) bằng?
A. 1 B. 4
C. 2 D. √2
Lời giải:
Đáp án : C
Giải thích :
Mặt cầu ( S ): x2 + y2 + ( z - 2)2= 4 có tâm I (0; 0; 2) ⇒ OI=2
Bài 10: Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm của ba trục toạ độ ?
A. x2+ y2 + z2 - 6x = 0.
B. x2 + y2 + z2 - 6y = 0.
C. x2 + y2 + z2 - 6z = 0.
D. x2 + y2 + z2 = 9.
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
Giao điểm của 3 trục tọa độ là điểm O (0; 0; 0)
Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm O (0; 0; 0) và bán kính R = 3 là
x2+y2+z2=9
C. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 10y + 3z + 1 = 0, tìm tâm và bán kính mặt cầu.
Bài 2. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x2 + y2 + z2 + 2(m + 2)x - 2(m - 3)z + m2 – 1 = 0 là phương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 9. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của (S).
Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 1)2 + (y + 3)2 + z2 = 9. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của (S).
Bài 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 – 2x + 4y – 2z = 19. Tìm tọa độ tâm O và tính bán kính R của (S).
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn SALE shopee Tết:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12