Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia. Xem ngay!

Tìm tọa độ của vecto, của điểm - Toán lớp 12



Tìm tọa độ của vecto, của điểm

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Tọa độ của vecto

a) Định nghĩa

Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của vecto u đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước

     u=(x;y;z)⇔u=xi+yj+zk

b) Tính chất

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto a =(a1;a2;a3 ) và b =(b1;b2;b3 ); k∈R

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

2. Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa

M(x;y;z)⇔OM= xi+yj+zk(x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ)

b) Tính chất

Cho A(x A; y A; z A );B(x B; y B; z B )

+ AB =(xA-xB;yA-yB;zA-zB )

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1:Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto a =-3i +5j +2k ; b =(3;2; -1); c =3j -2k ; d =(5; -3;2)

a) Tìm tọa độ của các vecto a - 2b + c ; 3b -2c +d

b) Tìm tọa độ của vecto 2a -b +1/3c

c) Phân tích vecto d theo 3 vecto a ; b ; c

Hướng dẫn:

a) a =(-3;5;2); 2b =(6;4; -2); c =(0;3; -2)

a- 2 b+ c=(-9;4; 2)

3 b=(9;6; -3); 2 c=(0;6; -4); d=(5; -3;2)

⇒3 b-2 c+ d=(14; -3;7)

b)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

c) giả sử d=ma+nb+pc

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3;1);B(2;5;1) và vecto OC=-3 i+2 j+5 k

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

b) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA, BE và OA = 2BE.

c) Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 AB+2 AM=3 CM

Hướng dẫn:

a)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

BC; AC không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng

Gọi D (x; y; z) ⇒AD=(x-1;y+3;z-1)

ABCD là hình bình hành ⇔AD=BC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

b)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

OA; OB không cùng phương hay O, A, B không thẳng hàng.

Gọi E (x; y; z) ⇒EB=(2-x;5-y;1-z)

Theo đề bài, tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA, BE và OA = 2BE.

OA=2EB

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

c) Gọi M (x; y; z). Ta có:

AB=(1;8;0)⇒3AB=(3;24;0)

AM=(x-1;y+3;z-1)⇒2AM=(2x-2;2y+6;2z-2)

CM=(x+3;y-2;z-5)⇒3CM=(3x+9;3y-6;3z-15)

3AB+2AM=3CM

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy M(-8; 36; 13)

Bài 3:Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; -1;1);C^' (4;5; -5). Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Gọi C (x; y; z)

Ta có: AB =(1;1;1);DC =(x-1;y+1;z-1)

Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔AB =DC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Gọi D’ (x; y; z)

Ta có: D'C' =(4-x;5-y; -5-z); DC =(1;1;1)

Tứ giác DCC’D’ là hình bình hành ⇔D'C'=DC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Gọi A’ (x; y; z)

Ta có: A'D'=(3-x;4-y; -6-z); AD=(0; -1;0)

Tứ giác ADD’A’ là hình bình hành ⇔A'D'=AD

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Gọi B’ (x; y; z)

Ta có: D'C'=(1;1;1);A'B'=(x-3;y-5;z+6)

Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔A'B'=D'C'

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 3; 2), B(3; -5; 6), C (2; 1; 3).

a) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh AB

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC và hình chiếu của G lên Ox

c) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm A qua điểm C

d) Tìm tọa độ điểm F trên mặt phẳng Oxz sao cho |FA+FB+FC | nhỏ nhất

e) Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với điểm B qua trục tung.

Hướng dẫn:

a) M là trung điểm của cạnh AB

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánhay M(2; -1;4)

b) G là trọng tâm của tam giác ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hình chiếu của G lên trục Ox là H (2; 0; 0)

c) Gọi N (x; y; z)

N đối xứng với A qua C ⇔ C là trung điểm của AN

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒N(3; -1;4)

d) Ta có: |FA +FB +FC |=|3FG |=3FG

Do đó: |FA +FB +FC | nhỏ nhất ⇔ FG nhỏ nhất ⇔ F là hình chiếu của G lên mặt phẳng (Oxz)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

e) Hình chiếu của B lên trục Oy là H (0; -5; 0)

B’ là điểm đối xứng với điểm B qua trục tung ⇔ H là trung điểm của đoạn BB’

⇒B'(-3; -5; -6)

B. Bài tập vận dụng

Bài tập Tìm tọa độ của vecto, của điểm (P1)

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba vectơ: a=(2; -5;3), b=(0;2;-1),c=(1;7;2). Tọa độ vectơ d=a-4b-2c là:

   A. (0; - 27;3)    B. (1;2; - 7)

   C. (0;27;3)    D. (0;27; - 3)

Đáp án : A

Giải thích :

a=(2; -5;3), 4b=(0;8; -4);2c=(2;14;4)

d=a-4b-2c=(0; -27;3)

Bài 2:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC với A(3;-2;5), B(-2;1;-3) và C(5;1;1). Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là:

   A. G(2;0;1)    B. G(2;1;-1)

   C. G(-2;0;1)    D. G(2;0;-1)

Đáp án : A

Giải thích :

A (3; -2; 5), B(-2; 1; -3), C(5; 1; 1)

G là trọng tâm tam giác ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

hay G(2;0;1)

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(4;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành:

   A. (4;-2;4)    B. (2;-2;4)

   C. (-4;2;4)    D. (4;2;2)

Đáp án : C

Giải thích :

D (x; y; z) ⇒DC=(-x; -y;4-z)

AB=(-4;2;0)

ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB=DC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒D(4; -2;4)

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Tìm khoảng cách giữa hai điểm M(2;1;-3) và N(4;-5;0) ?

   A. 5    B. 6

   C. 7    D. 8

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD với A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(1;1;1). Khi đó trung điểm G của MN có tọa độ là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(1;1;1)

M là trung điểm của AB ⇒M(1/2;1/2;0 )

N là trung điểm của CD ⇒N(1/2;1/2;1)

G là trung điểm của MN ⇒ G(1/2; 1/2; 1/2)

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC A(2;0;0), B(0;3;1), C(-3;6;4). Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MC=2MB. Độ dài đoạn AM bằng:

   A. 3√3    B. 2√7

   C. √29    D. √30

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi M(x; y; z)

CM=(-3-x;6-y;4-z); MB=(x;y-3;z-1)

Theo bài ra, CM=2MB

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒M(-1;4;2)

A(2; 0; 0)

⇒AM=√29

Bài 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho OM=i-2j+3k, khi đó tọa độ của điểm M với hệ Oxyz là:

   A. (-1;2;-3)    B. (1;-2;3)

   C. (1;-2;1)    D. (-2;1;3)

Đáp án : B

Bài 8:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình bình hành OABD có OA=a(-1;1;0), OB=b(1;1;0) (O là gốc toạ độ) . Toạ độ tâm hình bình hành OABD là:

   A. (1/2;1/2;0)   B. (1;0;0)

   C. (1;0;1)    D. (1;1;0)

Đáp án : A

Giải thích :

Tâm hình bình hành OABD là trung điểm của đường chéo OB

⇒Tọa độ tâm là (1/2; 1/2;0)

Bài 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-2;3;3). Điểm M(a;b;c) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM, khi đó P=a2+b2-c2 có giá trị bằng:

   A. 44    B. 43

   C. 42    D. 45

Đáp án : A

Giải thích :

M(a; b; c) ⇒MC=(-2-a;3-b;3-c)

AB=(1; -3;4)

ABCM là hình bình hành ⇔AB=MC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒P=a2+b2-c2=44

Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, có hai điểm trên trục hoành mà khoảng cách từ đó đến điểm M(-3; 4; 8) bằng 12. Tổng hai hoành độ của chúng là:

   A. -6    B. 5

   C. 6    D. 11

Đáp án : A

Giải thích :

Điểm cần tìm N (x; 0; 0)

MN2=(x+3)2+42+82=(x+3)2+80

Theo bài ra: MN = 12

⇒(x+3)2+80=122⇔(x+3)2=64

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ Có 2 điểm N thỏa mãn có tọa độ là (5; 0; 0) và (-11; 0; 0)

⇒Tổng hoành độ của chúng bằng -6

Bài 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-2;3;3). Tìm tọa độ điểm D và chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC:

   A. D(0;1;3)    B. D(0;3;1)

   C. D(0;-3;1)   D. D(0;3;-1)

Đáp án : A

Giải thích :

AB=|AB |=√26; AC=|AC |=26

AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

Do đó điểm D chân đường phân giác trong của góc A là trung điểm của BC

⇒D(0;1;3)

Bài 12: Trong không gian Oxyz cho vecto u=mi+j+2k. Biết |u|=√5. Khi đó giá trị m bằng:

   A. m=0    B. m=1

   C. m=2    D. m=-1

Đáp án : A

Giải thích :

u=(m;1;2)⇒|u |=√(m2+1+22 )=√(m2+5)

Theo bài ra: |u |=√5⇒√(m2+5)=√5⇒m=0

Bài 13: Trong không gian Oxyz cho các vectơ a=(2;1;1), c=(3;-1;2). Tìm tọa độ của vectơ b thỏa mãn biểu thức 2b-a+3c=0 là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

2b-a+3c=0⇒2b=a-3c=(-7;4; -5)

b=((-7)/2;2; (-5)/2)

Bài 14: Cho hai điểm A(3;4;2) và B(-1;-2;2). Xét điểm C sao cho điểm G(1;1;2) là trọng tâm của tam giác ABC. Chọn câu đúng:

   A. C(1;1;2)    B. C(0;1;2)

   C. C(1;1;0)    D. Không có điểm C như thế.

Đáp án : A

Giải thích :

C(x; y; z)

G(1; 1; 2) là trọng tâm của tam giác ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒C(1;1;2)

Bài 15: Chọn hệ tọa độ sao cho các đỉnh A, B, A', C' của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' là A(-2; 0; 0), B(1; 0; 0), A’ (0; 0; 1), C’ (1; 1; 1). Tìm tọa độ của tâm hình vuông BCC'B'.

   A. (1/2;1;1)    B.(1;1/2;1)

   C. (1;1/2;1/2)    D. (1;1;1/2)

Đáp án : C

Giải thích :

Tâm của hình vuông BCC’B’ là trung điểm của đường chéo BC’

⇒Tọa độ tâm là (1;1/2; 1/2 )

Bài tập Tìm tọa độ của vecto, của điểm (P2)

Bài 16: Trong không gian cho hai điểm A(-1;2;3), B(0;1;1), độ dài đoạn bằng:

   A. √6    B. √8

   C. √10    D. √12

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 17: Trong không gian Oxyz, gọi i, j, klà các vectơ đơn vị, khi đó với M(x;y;z) thì OMbằng:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0). Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trong mặt phẳng Oxz, tính bán kính:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi I (a; 0; c ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có: IA2=(a-2)2+12+(c-6)2

IB2=(a+3)2+12+(c+4)2

IC2=(a-5)2+12+c2

Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA = IB = IC hay

IA2=IB2=IC2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm K(2;4;6), gọi K' là hình chiếu vuông góc của K trên trục Oz, khi đó trung điểm OK' có toạ độ là:

   A. (1;0;0)    B. (0;0;3)

   C. (0;2;0)    D. (1;2;3)

Đáp án : B

Giải thích :

K’ là hình chiếu vuông góc của K trên trục Oz ⇒K' (0;0;6)

⇒ Trung điểm OK’ có tọa độ là (0; 0; 3)

Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho điểm M nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho M không trùng với gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy, khi đó tọa độ điểm M là (a, b, c ≠ 0 ):

   A. (0;b;a)    B. (a;b;0)

   C. (0;0;c)    D. (a;1;1)

Đáp án : B

Bài 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho a(0;3;4) và |b|=2|a|, khi đó tọa độ vectơ b có thể là:

   A. (-8;0;-6)    B. (4;0;3)

   C.(2;0;1)    D. (0;3;4)

Đáp án : A

Giải thích :

|a |=5⇒ |b |=2|a |=10

b(-8;0; -6)

Bài 22: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba vectơ a(1;-1;2), b(3;0;-1), c(-2;5;1), vectơ m=a+ b- ccó tọa độ là:

   A. (6;0;-6)    B. (-6;6;0)

   C. (6;-6;0)    D. (0;6;-6)

Đáp án : C

Bài 23: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;-3), B(2;4;-1), C(2;-2;0). Độ dài các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC lần lượt là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án :A

Bài 24: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;-3), B(2;4;-1), C(2;-2;0). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Bài 25: Trong không gian Oxyz, cho ba vecto a=(1;2;3), b=(-2;0;1), c=(-1;0;1). Tìm tọa độ của vectơ n=a+b+2c-3i

   A. n=(-6;2;-6)    B. n=(6;2;-6)

    C.n=(-6;-2;-6)     D.n=(-6;2;6)

Đáp án : D

Bài 26: Cho điểm M(1;2;-3), hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng(Oxy) là điểm:

   A. M'(1;2;0)    B. M'(1;0;-3)

   C. M'(0;2;-3)    D. M'(1;2;3)

Đáp án : A

Bài 27: Cho điểm M(-2;5;0), hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm

   A. M'(0;-5;0)    B. M'(0;5;0)

   C. M'(2;5;0)    D. M'(-2;0;0)

Đáp án : B

Bài 28: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), B(2;-1;2). Điểm M trên trục Ox và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Theo bài ra, M cách đều 2 điểm A, B

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔|x-1|=|x-2|⇔x=3/2

⇒M(3/2;0;0)

Bài 29: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1;0;2), B(-2;1;3), C(3;2;4), D(6;9;-5). Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD

   A. G(3;3;14/4)    B. G(8;12;4)

   C. G(2;3;1)    D. G(-9;18/4;-30)

Đáp án : C

Bài 30: Cho điểm M(3;2;-1), điểm M'(a;b;c) đối xứng của M qua trục Oy, khi đó a+b+c bằng:

   A. 4    B. 6

   C. 0   D. 2

Đáp án : C

Giải thích :

H ( 0; 2; 0) là hình chiếu vuông góc của M trên Oy

M’ đối xứng với M qua Oy nên H là trung điểm của MM’

⇒M'(-3;2;1)

Khi đó a + b + c = 0

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 99K tại khoahoc.vietjack.com


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác