Tìm tọa độ của vecto, của điểm - Toán lớp 12



Tìm tọa độ của vecto, của điểm

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Tọa độ của vecto

a) Định nghĩa

Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của vecto u đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước

     u=(x;y;z)⇔u=xi+yj+zk

b) Tính chất

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto a =(a1;a2;a3 ) và b =(b1;b2;b3 ); k∈R

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

2. Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa

M(x;y;z)⇔OM= xi+yj+zk(x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ)

b) Tính chất

Cho A(x A; y A; z A );B(x B; y B; z B )

+ AB =(xA-xB;yA-yB;zA-zB )

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

+Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1:Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto a =-3i +5j +2k ; b =(3;2; -1); c =3j -2k ; d =(5; -3;2)

a) Tìm tọa độ của các vecto a - 2b + c ; 3b -2c +d

b) Tìm tọa độ của vecto 2a -b +1/3c

c) Phân tích vecto d theo 3 vecto a ; b ; c

Hướng dẫn:

a) a =(-3;5;2); 2b =(6;4; -2); c =(0;3; -2)

a- 2 b+ c=(-9;4; 2)

3 b=(9;6; -3); 2 c=(0;6; -4); d=(5; -3;2)

⇒3 b-2 c+ d=(14; -3;7)

b)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

c) giả sử d=ma+nb+pc

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3;1);B(2;5;1) và vecto OC=-3 i+2 j+5 k

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

b) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA, BE và OA = 2BE.

c) Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 AB+2 AM=3 CM

Hướng dẫn:

a)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

BC; AC không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng

Gọi D (x; y; z) ⇒AD=(x-1;y+3;z-1)

ABCD là hình bình hành ⇔AD=BC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

b)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

OA; OB không cùng phương hay O, A, B không thẳng hàng.

Gọi E (x; y; z) ⇒EB=(2-x;5-y;1-z)

Theo đề bài, tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA, BE và OA = 2BE.

OA=2EB

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

c) Gọi M (x; y; z). Ta có:

AB=(1;8;0)⇒3AB=(3;24;0)

AM=(x-1;y+3;z-1)⇒2AM=(2x-2;2y+6;2z-2)

CM=(x+3;y-2;z-5)⇒3CM=(3x+9;3y-6;3z-15)

3AB+2AM=3CM

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy M(-8; 36; 13)

Bài 3:Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; -1;1);C^' (4;5; -5). Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Gọi C (x; y; z)

Ta có: AB =(1;1;1);DC =(x-1;y+1;z-1)

Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔AB =DC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Gọi D’ (x; y; z)

Ta có: D'C' =(4-x;5-y; -5-z); DC =(1;1;1)

Tứ giác DCC’D’ là hình bình hành ⇔D'C'=DC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Gọi A’ (x; y; z)

Ta có: A'D'=(3-x;4-y; -6-z); AD=(0; -1;0)

Tứ giác ADD’A’ là hình bình hành ⇔A'D'=AD

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Gọi B’ (x; y; z)

Ta có: D'C'=(1;1;1);A'B'=(x-3;y-5;z+6)

Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔A'B'=D'C'

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 3; 2), B(3; -5; 6), C (2; 1; 3).

a) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh AB

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC và hình chiếu của G lên Ox

c) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm A qua điểm C

d) Tìm tọa độ điểm F trên mặt phẳng Oxz sao cho |FA+FB+FC | nhỏ nhất

e) Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với điểm B qua trục tung.

Hướng dẫn:

a) M là trung điểm của cạnh AB

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánhay M(2; -1;4)

b) G là trọng tâm của tam giác ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hình chiếu của G lên trục Ox là H (2; 0; 0)

c) Gọi N (x; y; z)

N đối xứng với A qua C ⇔ C là trung điểm của AN

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒N(3; -1;4)

d) Ta có: |FA +FB +FC |=|3FG |=3FG

Do đó: |FA +FB +FC | nhỏ nhất ⇔ FG nhỏ nhất ⇔ F là hình chiếu của G lên mặt phẳng (Oxz)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

e) Hình chiếu của B lên trục Oy là H (0; -5; 0)

B’ là điểm đối xứng với điểm B qua trục tung ⇔ H là trung điểm của đoạn BB’

⇒B'(-3; -5; -6)

B. Bài tập vận dụng

Bài tập Tìm tọa độ của vecto, của điểm (P1)

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba vectơ: a=(2; -5;3), b=(0;2;-1),c=(1;7;2). Tọa độ vectơ d=a-4b-2c là:

   A. (0; - 27;3)    B. (1;2; - 7)

   C. (0;27;3)    D. (0;27; - 3)

Đáp án : A

Giải thích :

a=(2; -5;3), 4b=(0;8; -4);2c=(2;14;4)

d=a-4b-2c=(0; -27;3)

Bài 2:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC với A(3;-2;5), B(-2;1;-3) và C(5;1;1). Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là:

   A. G(2;0;1)    B. G(2;1;-1)

   C. G(-2;0;1)    D. G(2;0;-1)

Đáp án : A

Giải thích :

A (3; -2; 5), B(-2; 1; -3), C(5; 1; 1)

G là trọng tâm tam giác ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

hay G(2;0;1)

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(4;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành:

   A. (4;-2;4)    B. (2;-2;4)

   C. (-4;2;4)    D. (4;2;2)

Đáp án : C

Giải thích :

D (x; y; z) ⇒DC=(-x; -y;4-z)

AB=(-4;2;0)

ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB=DC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒D(4; -2;4)

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Tìm khoảng cách giữa hai điểm M(2;1;-3) và N(4;-5;0) ?

   A. 5    B. 6

   C. 7    D. 8

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD với A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(1;1;1). Khi đó trung điểm G của MN có tọa độ là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(1;1;1)

M là trung điểm của AB ⇒M(1/2;1/2;0 )

N là trung điểm của CD ⇒N(1/2;1/2;1)

G là trung điểm của MN ⇒ G(1/2; 1/2; 1/2)

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC A(2;0;0), B(0;3;1), C(-3;6;4). Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MC=2MB. Độ dài đoạn AM bằng:

   A. 3√3    B. 2√7

   C. √29    D. √30

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi M(x; y; z)

CM=(-3-x;6-y;4-z); MB=(x;y-3;z-1)

Theo bài ra, CM=2MB

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒M(-1;4;2)

A(2; 0; 0)

⇒AM=√29

Bài 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho OM=i-2j+3k, khi đó tọa độ của điểm M với hệ Oxyz là:

   A. (-1;2;-3)    B. (1;-2;3)

   C. (1;-2;1)    D. (-2;1;3)

Đáp án : B

Bài 8:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình bình hành OABD có OA=a(-1;1;0), OB=b(1;1;0) (O là gốc toạ độ) . Toạ độ tâm hình bình hành OABD là:

   A. (1/2;1/2;0)   B. (1;0;0)

   C. (1;0;1)    D. (1;1;0)

Đáp án : A

Giải thích :

Tâm hình bình hành OABD là trung điểm của đường chéo OB

⇒Tọa độ tâm là (1/2; 1/2;0)

Bài 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-2;3;3). Điểm M(a;b;c) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM, khi đó P=a2+b2-c2 có giá trị bằng:

   A. 44    B. 43

   C. 42    D. 45

Đáp án : A

Giải thích :

M(a; b; c) ⇒MC=(-2-a;3-b;3-c)

AB=(1; -3;4)

ABCM là hình bình hành ⇔AB=MC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒P=a2+b2-c2=44

Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, có hai điểm trên trục hoành mà khoảng cách từ đó đến điểm M(-3; 4; 8) bằng 12. Tổng hai hoành độ của chúng là:

   A. -6    B. 5

   C. 6    D. 11

Đáp án : A

Giải thích :

Điểm cần tìm N (x; 0; 0)

MN2=(x+3)2+42+82=(x+3)2+80

Theo bài ra: MN = 12

⇒(x+3)2+80=122⇔(x+3)2=64

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ Có 2 điểm N thỏa mãn có tọa độ là (5; 0; 0) và (-11; 0; 0)

⇒Tổng hoành độ của chúng bằng -6

Bài 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-2;3;3). Tìm tọa độ điểm D và chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC:

   A. D(0;1;3)    B. D(0;3;1)

   C. D(0;-3;1)   D. D(0;3;-1)

Đáp án : A

Giải thích :

AB=|AB |=√26; AC=|AC |=26

AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

Do đó điểm D chân đường phân giác trong của góc A là trung điểm của BC

⇒D(0;1;3)

Bài 12: Trong không gian Oxyz cho vecto u=mi+j+2k. Biết |u|=√5. Khi đó giá trị m bằng:

   A. m=0    B. m=1

   C. m=2    D. m=-1

Đáp án : A

Giải thích :

u=(m;1;2)⇒|u |=√(m2+1+22 )=√(m2+5)

Theo bài ra: |u |=√5⇒√(m2+5)=√5⇒m=0

Bài 13: Trong không gian Oxyz cho các vectơ a=(2;1;1), c=(3;-1;2). Tìm tọa độ của vectơ b thỏa mãn biểu thức 2b-a+3c=0 là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

2b-a+3c=0⇒2b=a-3c=(-7;4; -5)

b=((-7)/2;2; (-5)/2)

Bài 14: Cho hai điểm A(3;4;2) và B(-1;-2;2). Xét điểm C sao cho điểm G(1;1;2) là trọng tâm của tam giác ABC. Chọn câu đúng:

   A. C(1;1;2)    B. C(0;1;2)

   C. C(1;1;0)    D. Không có điểm C như thế.

Đáp án : A

Giải thích :

C(x; y; z)

G(1; 1; 2) là trọng tâm của tam giác ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒C(1;1;2)

Bài 15: Chọn hệ tọa độ sao cho các đỉnh A, B, A', C' của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' là A(-2; 0; 0), B(1; 0; 0), A’ (0; 0; 1), C’ (1; 1; 1). Tìm tọa độ của tâm hình vuông BCC'B'.

   A. (1/2;1;1)    B.(1;1/2;1)

   C. (1;1/2;1/2)    D. (1;1;1/2)

Đáp án : C

Giải thích :

Tâm của hình vuông BCC’B’ là trung điểm của đường chéo BC’

⇒Tọa độ tâm là (1;1/2; 1/2 )

Bài tập Tìm tọa độ của vecto, của điểm (P2)

Bài 16: Trong không gian cho hai điểm A(-1;2;3), B(0;1;1), độ dài đoạn bằng:

   A. √6    B. √8

   C. √10    D. √12

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 17: Trong không gian Oxyz, gọi i, j, klà các vectơ đơn vị, khi đó với M(x;y;z) thì OMbằng:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0). Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trong mặt phẳng Oxz, tính bán kính:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi I (a; 0; c ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có: IA2=(a-2)2+12+(c-6)2

IB2=(a+3)2+12+(c+4)2

IC2=(a-5)2+12+c2

Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA = IB = IC hay

IA2=IB2=IC2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm K(2;4;6), gọi K' là hình chiếu vuông góc của K trên trục Oz, khi đó trung điểm OK' có toạ độ là:

   A. (1;0;0)    B. (0;0;3)

   C. (0;2;0)    D. (1;2;3)

Đáp án : B

Giải thích :

K’ là hình chiếu vuông góc của K trên trục Oz ⇒K' (0;0;6)

⇒ Trung điểm OK’ có tọa độ là (0; 0; 3)

Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho điểm M nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho M không trùng với gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy, khi đó tọa độ điểm M là (a, b, c ≠ 0 ):

   A. (0;b;a)    B. (a;b;0)

   C. (0;0;c)    D. (a;1;1)

Đáp án : B

Bài 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho a(0;3;4) và |b|=2|a|, khi đó tọa độ vectơ b có thể là:

   A. (-8;0;-6)    B. (4;0;3)

   C.(2;0;1)    D. (0;3;4)

Đáp án : A

Giải thích :

|a |=5⇒ |b |=2|a |=10

b(-8;0; -6)

Bài 22: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba vectơ a(1;-1;2), b(3;0;-1), c(-2;5;1), vectơ m=a+ b- ccó tọa độ là:

   A. (6;0;-6)    B. (-6;6;0)

   C. (6;-6;0)    D. (0;6;-6)

Đáp án : C

Bài 23: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;-3), B(2;4;-1), C(2;-2;0). Độ dài các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC lần lượt là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án :A

Bài 24: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;-3), B(2;4;-1), C(2;-2;0). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Bài 25: Trong không gian Oxyz, cho ba vecto a=(1;2;3), b=(-2;0;1), c=(-1;0;1). Tìm tọa độ của vectơ n=a+b+2c-3i

   A. n=(-6;2;-6)    B. n=(6;2;-6)

    C.n=(-6;-2;-6)     D.n=(-6;2;6)

Đáp án : D

Bài 26: Cho điểm M(1;2;-3), hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng(Oxy) là điểm:

   A. M'(1;2;0)    B. M'(1;0;-3)

   C. M'(0;2;-3)    D. M'(1;2;3)

Đáp án : A

Bài 27: Cho điểm M(-2;5;0), hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm

   A. M'(0;-5;0)    B. M'(0;5;0)

   C. M'(2;5;0)    D. M'(-2;0;0)

Đáp án : B

Bài 28: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), B(2;-1;2). Điểm M trên trục Ox và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Theo bài ra, M cách đều 2 điểm A, B

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔|x-1|=|x-2|⇔x=3/2

⇒M(3/2;0;0)

Bài 29: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1;0;2), B(-2;1;3), C(3;2;4), D(6;9;-5). Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD

   A. G(3;3;14/4)    B. G(8;12;4)

   C. G(2;3;1)    D. G(-9;18/4;-30)

Đáp án : C

Bài 30: Cho điểm M(3;2;-1), điểm M'(a;b;c) đối xứng của M qua trục Oy, khi đó a+b+c bằng:

   A. 4    B. 6

   C. 0   D. 2

Đáp án : C

Giải thích :

H ( 0; 2; 0) là hình chiếu vuông góc của M trên Oy

M’ đối xứng với M qua Oy nên H là trung điểm của MM’

⇒M'(-3;2;1)

Khi đó a + b + c = 0

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác