Tính đơn điệu của hàm số là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Tính đơn điệu của hàm số là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính đơn điệu của hàm số là gì.

Tính đơn điệu của hàm số là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

• Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f (x) là hàm số xác định trên K.

+ Hàm số y = f (x) được gọi là đồng biến trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f (x₁) < f (x₂).

+ Hàm số y = f (x) được gọi là nghịch biến trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f (x₁) > f (x₂).

• Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

• Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

• Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

• Định lí: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng K.

+ Nếu f’ (x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f (x) đồng biến trên khoảng K.

+ Nếu f’ (x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng K.

Chú ý: Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng K.

• Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x):

+ Tìm tập xác định của hàm số.

+ Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x_i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

+ Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

+ Kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Ví dụ minh họa về khái niệm tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1. Cho hàm số có đồ thị như sau:

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị hàm số ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng (–1; 1), nghịch biến trên các khoảng (–∞; –1) và (1; + ∞).

Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của hàm số:

a) $y=\frac{1}{3}{x}^3+x^2+x+6$.

b) $y=\frac{x-4}{x+1}$.

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số là $ℝ$.

Ta có: y’ = x² + 2x + 1 = (x + 1)². Vì y’ ≥ 0 với mọi x ∈ $ℝ$ và y’ = 0 $\iff$ x = –1.

Do đó, hàm số đồng biến trên $ℝ$.

b) Tập xác định của hàm số là $ℝ\backslash \left(-1\right)$.

Ta có: $y\text{'}=\frac{5}{{\left(x+1\right)}^2}$ với mọi x ≠ –1.

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞; –1) và (–1; + ∞).

Ví dụ 3. Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Giả sử tọa độ x(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t ≥ 0 (giây) được cho bởi công thức: x(t) = t³ – 2t² + t + 2.

a) Trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào chất điểm chuyển động sang trái?

b) Chất điểm chuyển hướng khi nào?

Hướng dẫn giải

a) Vận tốc của chất điểm là: v(t) = x’(t) = 3t² – 4t + 1, v(t) = 0 $\iff$ t = 1 hoặc $t=\frac{1}{3}$

Chất điểm chuyển động sang phải khi v > 0, khi t ∈ $\left(0;\frac{1}{3}\right)$ hoặc t ∈ (1; + ∞); chất điểm chuyển động sang trái khi v < 0, khi t ∈ $\left(\frac{1}{3};1\right)$.

b) Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Chất điểm chuyển hướng tại các thời điểm mà vận tốc đổi dấu (từ âm sang dương hoặc từ dương sang âm), tức là tại thời điểm t = 1 giây hoặc $t=\frac{1}{3}$ giây.

3. Bài tập về khái niệm tính đơn điệu của hàm số

Bài 1. Một hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tìm khoảng đơn điệu của hàm số đó.

Bài 2.

a) Chứng minh rằng hàm số $f\left(x\right)=\frac{x+3}{2x+1}$ nghịch biến trên khoảng (1; +$\infty$).

b) Chứng minh rằng hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+x^2+4x$ đồng biến trên $ℝ$?

Bài 3. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) $y=-\frac{1}{3}{x}^3+2x^2-10x+1$.

b) $y=\frac{x+6}{x+1}$.

c) y = x⁴ + 4x² + 1.

d) $y=\sqrt{8-2x^2}$

Bài 4. Tìm giá trị của m để:

a) Hàm số $y=\frac{x+m}{x-4}$ đồng biến trên từng khoảng xác định.

b) Hàm số $y=\frac{-x^2+2x+m}{x+1}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định

Bài 5. Người ta thấy rằng trong vòng 4 năm tính từ đầu năm 2019, giá thành P của một loại sản phẩm vào tháng thứ t thay đổi theo công thức:

P(t) = 40t³ – 1 800t² + 24 000t + 50 000 (đồng) với 0 ≤ t ≤ 48.

Hãy cho biết trong khoảng thời gian nào giá thành sản phẩm tăng, trong khoảng thời gian nào giá thành sản phẩm giảm?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Cực trị của hàm số là gì

• Giá trị lớn nhất của hàm số là gì

• Giá trị nhỏ nhất của hàm số là gì

• Cách tìm GTLN – GTNN của hàm số

• Đường tiệm cận ngang là gì

---