Tổng hợp lý thuyết Chương 3: Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng



Tổng hợp lý thuyết Chương 3: Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng

Dưới đây là phần tổng hợp kiến thức, công thức, lý thuyết Toán lớp 12 Chương 3: Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng ngắn gọn, chi tiết. Hi vọng tài liệu Lý thuyết Toán lớp 12 theo chương này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức môn Toán lớp 12.

Lý thuyết Nguyên hàm

Bài giảng: Bài 1 : Nguyên hàm - Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên VietJack)

A. Tóm tắt lý thuyết

I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1. Nguyên hàm

    Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

    Định lí:

    1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

    2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

    Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C

2. Tính chất của nguyên hàm

    Tính chất 1: (∫f(x)dx)' = f(x) và ∫f'(x)dx = f(x) + C

    Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx với k là hằng số khác 0.

    Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

    Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1. Phương pháp đổi biến số

    Định lí 1: Nếu ∫f(u)du = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

    ∫f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + C

    Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0) thì ta có ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

    Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u(x) và y = y(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

    ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx

    Hay ∫udv = uv - ∫vdu

B. Kĩ năng giải bài tập

    - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.

    - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.

    - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Lý thuyết Tích phân

Bài giảng: Bài 2 : Tích phân - Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên VietJack)

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

    Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b] Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f(x) kí hiệu là Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Ta dùng kí hiệu Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải để chỉ hiệu số F(b) - F(a). Vậy Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

    Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải hay Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải. Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

    Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2. Tính chất của tích phân

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

B. Kĩ năng giải bài tập

1. Một số phương pháp tính tích phân

I. Dạng 1: Tính tích phân theo công thức

    Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

II. Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân

    Sử dụng tính chất Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

    Ví dụ 2: Tính tích phân Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

Hướng dẫn:

    Nhận xét: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải. Do đó

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

III. Dạng 3: Phương pháp đổi biến số

    1) Đổi biến số dạng 1

    Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và α ≤ u(x) ≤ β. Giả sử có thể viết f(x) = g(u(x))u'(x), x ∈ [a; b] với g liên tục trên đoạn [α; β]. Khi đó, ta có

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Ví dụ 3: Tính tích phân Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

Hướng dẫn:

    Đặt u = sinx. Ta có du = cosxdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u(0) = 0; x = π/2 ⇒ u(π/2) = 1

    Khi đó Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    2) Đổi biến số dạng 2

    Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α; β](*) sao cho φ(α) = a,φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α; β]. Khi đó:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải thì nên đổi biến dạng 1.

    Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    a) Đặt x = sint ta có dx = costdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π/2.

    Vậy Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    b) Đặt x = tant, ta có dx = (1 + tan2t)dt. Đổi cận: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

    Vậy Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

IV. Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.

    Định lí : Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    hay viết gọn là Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải. Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Dạng hàm

P(x): Đa thức

Q(x): sin(kx) hay cos(kx)

P(x): Đa thức

Q(x): ekx

P(x): Đa thức

Q(x): ln(ax + b)

P(x): Đa thức

Q(x): 1/sin2x hay 1/cos2x

Cách đặt

* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

* u = ln(ax + b)

* dv = P(x)dx

* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

    Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.

    Ví dụ 5: Tính các tích phân sau : Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hướng dẫn:

    a) Đặt Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Do đó Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    b) Đặt Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85




Các loạt bài lớp 12 khác