Các dạng bài tập Tích phân chọn lọc, có đáp án

Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Phần Tích phân và ứng dụng Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 300 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Tích phân và ứng dụng hay nhất tương ứng.

Các dạng bài tập Tích phân chọn lọc, có đáp án

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Bài tập trắc nghiệm

Phương pháp tính tích phân cơ bản

Dạng 1. Tính chất của tích phân

1. Phương pháp giải

Giả sử cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K và a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có

Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thì Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Nếu ∀x ∈ [a, b]: f(x) ≥ g(x) Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Nếu ∀x ∈ [a, b] nếu M ≤ f(x) ≤ N thì Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tích phân Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay . Tính tích phân

A . I= 40 B. I= 10 C. I= 20 D. I= 5

Hướng dẫn:

Đáp án: B

Đặt Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Đổi cận: với x = 0 => t = 0

Với x = 6 => t = 3

Ta có:

Suy ra: Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Ví dụ 2. Cho hàm số y= f(x) liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay và . Tính giá trị của biểu thức

A. P= 4 B. P= 16 C. P= 8 D. P= 10

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Ta có:

Dạng 2. Tính trực tiếp

1. Phương pháp giải

Cho hàm số y= f(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay .

Như vậy, để tính tích phân của 1 hàm số ta cần:

• Bước 1: Xác định F(x) là nguyên hàm của hàm số.

• Bước 2. Tính F(b) − F(a).

Dạng 2.1. Hàm đa thức

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay bằng

A.I=1 B.I= 2 C.I= 3 D. I= −1

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị của m sao cho Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay :

A.1 B. 2 C. 3 D. 4

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Ta có:

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn.

Dạng 2.2. Hàm phân thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay bằng

Hướng dẫn:

Đáp án: D

Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Ví dụ 2. Tích phân Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay bằng

Hướng dẫn:

Đáp án: B

Ta có:

Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Dạng 2.3. Hàm căn thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: C

Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Ví dụ 2. Tính Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: B

Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Dạng 2.4. Hàm lượng giác

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay có giá trị là

Hướng dẫn:

Đáp án: B

Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Ví dụ 2. Tích phân Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay có giá trị là

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Ta có

Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Dạng 2.5. Hàm mũ, logarit

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay bằng

Hướng dẫn:

Đáp án: D

Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Vậy: Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Ví dụ 2. Tích phân Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay có giá trị là:

Hướng dẫn:

Đáp án: D

Ta có:

Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Phương pháp giải

Trong đó u= u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y= f(u) liên tục và sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên K; a và b là hai số thuộc K

Dạng 3.1. Hàm đa thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Đặt t = 1 − x => −dt = dx. Đổi cận: x = 0 => t = 1; x = 1 => t = 0

Dạng 3.2. Hàm phân thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Đặt t = x+ 1 => dt = dx. Đổi cận: x = 0 => t = 1; x = 1 => t = 2

Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Ví dụ 2. Tích phân Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: D

Đặt Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Đổi cận:

Khi đó

Vậy Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Dạng 3.3. Hàm căn thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Đặt Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Đổi cận x = 0 => t = 1; x = 1 => t = √

Ví dụ 2. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Đặt x = sint

Do đó

Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Dạng 3.4. Hàm lượng giác

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: B

Đặt: t = √(1 + 3 cosx)

Khi đó

Ví dụ 2. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

A. 2ln2 − 1 B.ln2 − 1 C. ln2 − 2 D.ln2+ 1

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Đặt: t = 1 + cosx

Khi đó

Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Dạng 3.5. Hàm mũ, logarit

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

A. I = cos1 B. I = 1 C. I = sin1 D. Đáp án khác

Hướng dẫn:

Đáp án: B

Đặt Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Đổi cận: Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Khi đó:

Ví dụ 2. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Đặt Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Đổi cận: Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Khi đó:

Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Dạng 3.6. Tích phân

1. Phương pháp giải

Chứng minh:

• Đặt: b − x= t, suy ra x = b − t và dx = −dt, Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

• Do đó: Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

A. 0 B.1 C. 2 D. 3

Hướng dẫn:

Đáp án: C

Đặt:

=> dt = −dx; x = 0 Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Nhưng tích phân không phụ thuộc và biến số, cho nên:

Lấy (1) + (2) vế với vế ta có:

Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Ví dụ 2. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Đặt

=> dx = −dt; x = 0 Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

=> f(x)dx = log₂(1 + tanx)dx Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Hay:

Vậy:

Dạng 3.7. Dạng khác

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Đặt lnx = t, ta có Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay .

Đặt : u = ln( 1+ t²) ; dv = dt

Từ đó có:

Tiếp tục đặt t = tanu, ta tính được Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Thay vào (*) ta có Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Ví dụ 2. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: D

+ Tính Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Đặt t = √(1 + lnx) => t² = 1 + lnx; Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Khi x = 1 => t = 1; x = e => x = √2

+ Tính Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay .

Đặt

Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Phương pháp tính tích phân từng phần

Dạng 4.1. Tích phân có dạng: trong đó P(x) là đa thức

1. Phương pháp giải

Đặt

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Vậy

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

A. π² − 4 B. π² + 4 C. 2π² − 3 D. 2π² + 3

Hướng dẫn:

Đáp án: A

*Đặt Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Khi đó:

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Đặt Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Khi đó:

Vậy: I = π² + 2(−2) = π² − 4

Ví dụ 2. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Đáp án: B

Ta có

Đặt Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Dạng 4.2. Tích phân có dạng trong đó P(x) là đa thức

1. Phương pháp giải

Đặt Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Vậy Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Đặt u = x; dv = e^−x.dx, suy ra du = dx; v = −e^−x

Ví dụ 2. Tìm a > 0 sao cho Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: D

Đặt u = x, Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay , suy ra du = dx,

Theo giả thiết ta có:

Dạng 4.3. Tích phân có dạng:

1. Phương pháp giải

Đặt Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Vậy Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay bằng:

Hướng dẫn:

Đáp án: D

Đặt u = lnx, dv = (2x − 1)dx suy ra Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay , v = x² − x

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Ví dụ 2. Tính Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Đặt Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Do đó

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Dạng 4.4. Tích phân có dạng: .

1. Phương pháp giải

Đặt Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Vậy Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Bằng phương pháp tương tự ta tính được Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay sau đó thay vào I.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Ta có:

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Trong đó

* Ta tính H

Đặt: Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Từ (1) và (2) suy ra, Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Ví dụ 2. Tính Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Hướng dẫn:

Đáp án: D

Đặt Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official