Phương pháp tính tích phân từng phần (cực hay)

Bài viết Phương pháp tính tích phân từng phần với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp tính tích phân từng phần.

Phương pháp tính tích phân từng phần (cực hay)

Dạng 4.1. Tích phân có dạng: trong đó P(x) là đa thức

1. Phương pháp giải

Đặt

Vậy

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

A. π² − 4    B. π² + 4    C. 2π² − 3    D. 2π² + 3

Lời giải:

Đáp án: A

*Đặt

Khi đó:

Đặt

Khi đó:

Vậy: I = π² + 2(−2) = π² − 4

Ví dụ 2. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có

Đặt

Ví dụ 3. Tính

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có

Đặt

Đặt

Vậy

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

+ Tính

Đặt

+ Tính Đặt x = π − t => dx = −dt

Đặt t = cosx => dt = −sinx.dx , đặt t = tanu => dt = (1 + tan²u)du

Vậy

Dạng 4.2. Tích phân có dạng trong đó P(x) là đa thức

1. Phương pháp giải

Đặt

Vậy

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt u = x; dv = e^−x.dx, suy ra du = dx; v = −e^−x

Ví dụ 2. Tìm a > 0 sao cho

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt u = x, , suy ra du = dx,

Theo giả thiết ta có:

Ví dụ 3. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt

Vậy

Ví dụ 4. Tính

A. 0     B.1     C. 2     D. 3

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có

Đặt

Dạng 4.3. Tích phân có dạng:

1. Phương pháp giải

Đặt

Vậy

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân bằng:

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt u = lnx, dv = (2x − 1)dx suy ra , v = x² − x

Ví dụ 2. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt

Do đó

Ví dụ 3. Tính

A. 3ln3    B. 2ln3    C. 3ln3 − 2.    D. 2 − 3ln3.

Lời giải:

Đáp án: C

Đặt u = ln(x² − x); dv = dx

Suy ra:

Ví dụ 4. Tính

A. 20ln2 − 6ln3 − 4    B. 10ln2 + ln3 − 1

C. 12ln2 + 2ln3 − 3     D.10 ln 3 − 2ln 2 − 3

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt

Tính

Đặt t = √(x + 1)

Từ đó I = 20 ln2 − 6ln 3 − 4

Ví dụ 5. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt

Do đó

Dạng 4.4. Tích phân có dạng: .

1. Phương pháp giải

Đặt

Vậy

Bằng phương pháp tương tự ta tính được sau đó thay vào I.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Trong đó

* Ta tính H

Đặt:

Từ (1) và (2) suy ra,

Ví dụ 2. Tính

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt

Ví dụ 3. Tính

A. 1     B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt

Đặt

Đặt

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản (cực hay)
• Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số (cực hay)
• Phương pháp tính nguyên hàm từng phần (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân cơ bản (cực hay)
• Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ (cực hay)
• 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc (cực hay)

---