Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Để tìm nguyên hàm của hàm số ta có thể dùng phương pháp đổi biến số. Phương pháp này chúng ta có hai hướng đổi biến số:

+ Hướng 1:

• Bước 1: Chọn t = φ(x) . Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp .

• Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt .

• Bước 3: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt .

• Bước 4: Khi đó:

*Hướng 2:

• Bước 1: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp .

• Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt

• Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt

• Bước 4: Khi đó tính: .

Dạng 2.1. Hàm đa thức

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số f(x) = ( 3x + 2)³ là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có:

Đặt t = 3x + 2; khi đó ta có;

Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số f(x)= (1 − 2x)⁵ là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Đặt t = 1 − 2x, khi đó ta có:

Ví dụ 3. Tính nguyên hàm

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Đặt t = x² + 2x + 5 , khi đó ta có:

Ví dụ 4. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

Đặt t = x³ + 3x + 10, khi đó (*) trở thành:

Ví dụ 5. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có:

Đặt , khi đó (*) trở thành:

Dạng 2.2. Hàm phân thức

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

Đặt t = x² + 1, khi đó (*) trở thành:

Ví dụ 2. Cho . Khi đó S = a + b + c bằng

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ví dụ 3. Nguyên hàm của có dạng F(x) = − ln|x² + bx + 1| + ln(x² + c) + C. Khi đó P = (a + b + 2c)b⁴ bằng

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ta có:

Vậy

Ví dụ 4. Tìm hàm số f(x) = x² + ax + ln|bx + 1| + c biết và f(0) = 1. Khi đó S = (2a − b)³. c bằng

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

Vì

Mà

Suy ra, a= 1, b= 2, c= 1 nên S = (2a − b)³ . c = 0

Ví dụ 5. . Khi đó bằng

A. 2    B. −2    C. 4    D. 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Dạng 2.3. Hàm chứa căn thức

1. Phương pháp giải

Dấu hiệu	Cách chọn
√(a2 − x2)	Đặt x = |a|. sint; với hoặc x= |a|. cost; với t ∈ [0; π]
√(x2 − a2)	Đặt ; với hoặc ; với
√(a2 + a2)	Đặt x= |a|. tant; với hoặc x = |a|.cot t; với t ∈ (0; π)
hoặc	Đặt x= acos2t
	Đặt x = a + (b − a)sin2t

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Kết quả của là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Đặt

Ví dụ 2. Một nguyên hàm của hàm số y = x√(1 + x²) là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Đặt

Vậy

Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số: là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Đặt t = 1 − 4x, khi đó(*) trở thành :

Ví dụ 4. Một nguyên hàm của hàm số: là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Đặt √(2 − x²) = t => x² = 2 − t² => xdx = −tdt

Ví dụ 5. Cho . Tính S = log_b²a + log_ab + 2016?

A. 2018    B. 2020    C. 2025    D. 2030

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Đặt √(x² + 3) => t² = x² + 3 => 2tdt = 2xdx => xdx = tdt

Suy ra:

Do đó, b = 3, a = 3

Vậy S = log_b²a + log_ab + 2016 = 2018

Dạng 2.4. Hàm lượng giác

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có :

Đặt t = sinx + 1, từ (*) suy ra:

Ví dụ 2. Tìm

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Đặt t= sin x, khi đó (*) trở thành:

Ví dụ 3. Tìm

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Vì lũy thừa của sin là số lẻ nên ta đổi biến u = cosx => du = (cosx)'dx.

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm:

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ta có:

Đặt u= tanx => . Khi đó, từ (*) ta suy ra:

Ví dụ 5. Tìm

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ta có:

Đặt

, với

Dạng 2.5. Hàm mũ, logarit

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên hàm của

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Đặt t= 2x+ 2016, khi đó (*) trở thành:

Ví dụ 2. Tìm

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Đặt t= 3x − 3, khi đó (*) trở thành:

Ví dụ 3. Một nguyên hàm của hàm số

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Đặt t= 7x³ + 1, khi đó (*) trở thành:

Ví dụ 4. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ?

A. Chỉ (I). B. Chỉ (III). C. Chỉ (I) và (II). D. Chỉ (I) và (III).

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ta tìm nguyên hàm của các hàm số:

(I):

(II):

(III):

Do đó, (I) và (III) đúng.

Ví dụ 5. Một nguyên hàm của hàm số

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ta có:

Đặt t = lnx, khi đó (*) trở thành:

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay
• Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay
• Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay
• Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay
• Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay
• Phương pháp tính tích hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay
• Phương pháp tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ cực hay
• 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

• Hơn 7500 câu trắc nghiệm Toán có đáp án
• Hơn 5000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết
• Gần 4000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án
• Hơn 5000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án
• Kho trắc nghiệm các môn khác

---