Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số (cực hay)
Bài viết Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số.
Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số (cực hay)
Để tìm nguyên hàm của hàm số ta có thể dùng phương pháp đổi biến số. Phương pháp này chúng ta có hai hướng đổi biến số:
+ Hướng 1:
• Bước 1: Chọn t = φ(x) . Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp .
• Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt .
• Bước 3: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt .
• Bước 4: Khi đó:
*Hướng 2:
• Bước 1: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp .
• Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt
• Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt
• Bước 4: Khi đó tính: .
Dạng 2.1. Hàm đa thức
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số f(x) = ( 3x + 2)3 là:
Lời giải:
Đáp án: C
Ta có:
Đặt t = 3x + 2; khi đó ta có;
Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số f(x)= (1 − 2x)5 là:
Lời giải:
Đáp án: A
Đặt t = 1 − 2x, khi đó ta có:
Ví dụ 3. Tính nguyên hàm
Lời giải:
Đáp án: B
Đặt t = x2 + 2x + 5 , khi đó ta có:
Ví dụ 4. Tính
Lời giải:
Đáp án: A
Ta có:
Đặt t = x3 + 3x + 10, khi đó (*) trở thành:
Ví dụ 5. Tính
Lời giải:
Đáp án: C
Ta có:
Đặt , khi đó (*) trở thành:
Dạng 2.2. Hàm phân thức
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính
Lời giải:
Đáp án: A
Ta có:
Đặt t = x2 + 1, khi đó (*) trở thành:
Ví dụ 2. Cho . Khi đó S = a + b + c bằng
Lời giải:
Đáp án: B
Ví dụ 3. Nguyên hàm của có dạng F(x) = − ln|x2 + bx + 1| + ln(x2 + c) + C. Khi đó P = (a + b + 2c)b4 bằng
Lời giải:
Đáp án: D
Ta có:
Vậy
Ví dụ 4. Tìm hàm số f(x) = x2 + ax + ln|bx + 1| + c biết và f(0) = 1. Khi đó S = (2a − b)3. c bằng
Lời giải:
Đáp án: A
Ta có:
Vì
Mà
Suy ra, a= 1, b= 2, c= 1 nên S = (2a − b)3 . c = 0
Ví dụ 5. . Khi đó bằng
A. 2 B. −2 C. 4 D. 3
Lời giải:
Đáp án: C
Dạng 2.3. Hàm chứa căn thức
1. Phương pháp giải
Dấu hiệu |
Cách chọn |
√(a2 − x2) |
Đặt x = |a|. sint; với hoặc x= |a|. cost; với t ∈ [0; π] |
√(x2 − a2) |
Đặt ; với hoặc ; với |
√(a2 + a2) |
Đặt x= |a|. tant; với hoặc x = |a|.cot t; với t ∈ (0; π) |
hoặc |
Đặt x= acos2t |
Đặt x = a + (b − a)sin2t |
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Kết quả của là:
Lời giải:
Đáp án: D
Đặt
Ví dụ 2. Một nguyên hàm của hàm số y = x√(1 + x2) là:
Lời giải:
Đáp án: D
Đặt
Vậy
Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số: là:
Lời giải:
Đáp án: C
Đặt t = 1 − 4x, khi đó(*) trở thành :
Ví dụ 4. Một nguyên hàm của hàm số: là:
Lời giải:
Đáp án: B
Đặt √(2 − x2) = t => x2 = 2 − t2 => xdx = −tdt
Ví dụ 5. Cho . Tính S = logb2a + logab + 2016?
A. 2018 B. 2020 C. 2025 D. 2030
Lời giải:
Đáp án: A
Đặt √(x2 + 3) => t2 = x2 + 3 => 2tdt = 2xdx => xdx = tdt
Suy ra:
Do đó, b = 3, a = 3
Vậy S = logb2a + logab + 2016 = 2018
Dạng 2.4. Hàm lượng giác
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm
Lời giải:
Đáp án: C
Ta có :
Đặt t = sinx + 1, từ (*) suy ra:
Ví dụ 2. Tìm
Lời giải:
Đáp án: C
Đặt t= sin x, khi đó (*) trở thành:
Ví dụ 3. Tìm
Lời giải:
Đáp án: C
Vì lũy thừa của sin là số lẻ nên ta đổi biến u = cosx => du = (cosx)'dx.
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm:
Lời giải:
Đáp án: D
Ta có:
Đặt u= tanx => . Khi đó, từ (*) ta suy ra:
Ví dụ 5. Tìm
Lời giải:
Đáp án: D
Ta có:
Đặt
, với
Dạng 2.5. Hàm mũ, logarit
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên hàm của
Lời giải:
Đáp án: B
Đặt t= 2x+ 2016, khi đó (*) trở thành:
Ví dụ 2. Tìm
Lời giải:
Đáp án: B
Đặt t= 3x − 3, khi đó (*) trở thành:
Ví dụ 3. Một nguyên hàm của hàm số
Lời giải:
Đáp án: C
Đặt t= 7x3 + 1, khi đó (*) trở thành:
Ví dụ 4. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (III). C. Chỉ (I) và (II). D. Chỉ (I) và (III).
Lời giải:
Đáp án: D
Ta tìm nguyên hàm của các hàm số:
(I):
(II):
(III):
Do đó, (I) và (III) đúng.
Ví dụ 5. Một nguyên hàm của hàm số
Lời giải:
Đáp án: D
Ta có:
Đặt t = lnx, khi đó (*) trở thành:
Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm nguyên hàm: .
Bài 2. Tìm nguyên hàm: .
Bài 3. Tìm nguyên hàm: .
Bài 4. Tìm nguyên hàm: .
Bài 5. Tìm nguyên hàm: .
Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản (cực hay)
- Phương pháp tính nguyên hàm từng phần (cực hay)
- Phương pháp tính tích phân cơ bản (cực hay)
- Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (cực hay)
- Phương pháp tính tích phân từng phần (cực hay)
- Phương pháp tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối (cực hay)
- Phương pháp tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ (cực hay)
- 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc (cực hay)
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12