Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay
Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay - Toán lớp 12
Để tìm nguyên hàm của hàm số ta có thể dùng phương pháp đổi biến số. Phương pháp này chúng ta có hai hướng đổi biến số:
+ Hướng 1:
• Bước 1: Chọn t = φ(x) . Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp .
• Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt .
• Bước 3: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt .
• Bước 4: Khi đó:
*Hướng 2:
• Bước 1: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp .
• Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt
• Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt
• Bước 4: Khi đó tính: .
Dạng 2.1. Hàm đa thức
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số f(x) = ( 3x + 2)3 là:
Đáp án: C
Ta có:
Đặt t = 3x + 2; khi đó ta có;
Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số f(x)= (1 − 2x)5 là:
Đáp án: A
Đặt t = 1 − 2x, khi đó ta có:
Ví dụ 3. Tính nguyên hàm
Đáp án: B
Đặt t = x2 + 2x + 5 , khi đó ta có:
Ví dụ 4. Tính
Đáp án: A
Ta có:
Đặt t = x3 + 3x + 10, khi đó (*) trở thành:
Ví dụ 5. Tính
Đáp án: C
Ta có:
Đặt , khi đó (*) trở thành:
Dạng 2.2. Hàm phân thức
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính
Đáp án: A
Ta có:
Đặt t = x2 + 1, khi đó (*) trở thành:
Ví dụ 2. Cho . Khi đó S = a + b + c bằng
Đáp án: B
Ví dụ 3. Nguyên hàm của có dạng F(x) =
− ln|x2 + bx + 1| +
ln(x2 + c) + C. Khi đó P = (a + b + 2c)b4 bằng
Đáp án: D
Ta có:
Vậy
Ví dụ 4. Tìm hàm số f(x) = x2 + ax + ln|bx + 1| + c biết và f(0) = 1. Khi đó S = (2a − b)3. c bằng
Đáp án: A
Ta có:
Vì
Mà
Suy ra, a= 1, b= 2, c= 1 nên S = (2a − b)3 . c = 0
Ví dụ 5. . Khi đó
bằng
A. 2 B. −2 C. 4 D. 3
Đáp án: C
Dạng 2.3. Hàm chứa căn thức
1. Phương pháp giải
Dấu hiệu |
Cách chọn |
√(a2 − x2) |
Đặt x = |a|. sint; với |
√(x2 − a2) |
Đặt |
√(a2 + a2) |
Đặt x= |a|. tant; với |
|
Đặt x= acos2t |
Đặt x = a + (b − a)sin2t |
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Kết quả của là:
Đáp án: D
Đặt
Ví dụ 2. Một nguyên hàm của hàm số y = x√(1 + x2) là:
Đáp án: D
Đặt
Vậy
Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số: là:
Đáp án: C
Đặt t = 1 − 4x, khi đó(*) trở thành :
Ví dụ 4. Một nguyên hàm của hàm số: là:
Đáp án: B
Đặt √(2 − x2) = t => x2 = 2 − t2 => xdx = −tdt
Ví dụ 5. Cho . Tính S = logb2a + logab + 2016?
A. 2018 B. 2020 C. 2025 D. 2030
Đáp án: A
Đặt √(x2 + 3) => t2 = x2 + 3 => 2tdt = 2xdx => xdx = tdt
Suy ra:
Do đó, b = 3, a = 3
Vậy S = logb2a + logab + 2016 = 2018
Dạng 2.4. Hàm lượng giác
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm
Đáp án: C
Ta có :
Đặt t = sinx + 1, từ (*) suy ra:
Ví dụ 2. Tìm
Đáp án: C
Đặt t= sin x, khi đó (*) trở thành:
Ví dụ 3. Tìm
Đáp án: C
Vì lũy thừa của sin là số lẻ nên ta đổi biến u = cosx => du = (cosx)'dx.
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm:
Đáp án: D
Ta có:
Đặt u= tanx => . Khi đó, từ (*) ta suy ra:
Ví dụ 5. Tìm
Đáp án: D
Ta có:
Đặt
, với
Dạng 2.5. Hàm mũ, logarit
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên hàm của
Đáp án: B
Đặt t= 2x+ 2016, khi đó (*) trở thành:
Ví dụ 2. Tìm
Đáp án: B
Đặt t= 3x − 3, khi đó (*) trở thành:
Ví dụ 3. Một nguyên hàm của hàm số
Đáp án: C
Đặt t= 7x3 + 1, khi đó (*) trở thành:
Ví dụ 4. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (III). C. Chỉ (I) và (II). D. Chỉ (I) và (III).
Đáp án: D
Ta tìm nguyên hàm của các hàm số:
(I):
(II):
(III):
Do đó, (I) và (III) đúng.
Ví dụ 5. Một nguyên hàm của hàm số
Đáp án: D
Ta có:
Đặt t = lnx, khi đó (*) trở thành:
Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay
- Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay
- Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay
- Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay
- Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay
- Phương pháp tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay
- Phương pháp tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ cực hay
- 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com
- Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán có đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết
- Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án
- Kho trắc nghiệm các môn khác
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12