Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số (cực hay)

Bài viết Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số.

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số (cực hay)

Để tìm nguyên hàm của hàm số ta có thể dùng phương pháp đổi biến số. Phương pháp này chúng ta có hai hướng đổi biến số:

+ Hướng 1:

• Bước 1: Chọn t = φ(x) . Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp .

• Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt .

• Bước 3: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt .

• Bước 4: Khi đó:

*Hướng 2:

• Bước 1: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp .

• Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt

• Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt

• Bước 4: Khi đó tính: .

Dạng 2.1. Hàm đa thức

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số f(x) = ( 3x + 2)³ là:

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Đặt t = 3x + 2; khi đó ta có;

Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số f(x)= (1 − 2x)⁵ là:

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt t = 1 − 2x, khi đó ta có:

Ví dụ 3. Tính nguyên hàm

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt t = x² + 2x + 5 , khi đó ta có:

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Đặt t = x³ + 3x + 10, khi đó (*) trở thành:

Ví dụ 5. Tính

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Đặt , khi đó (*) trở thành:

Dạng 2.2. Hàm phân thức

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Đặt t = x² + 1, khi đó (*) trở thành:

Ví dụ 2. Cho . Khi đó S = a + b + c bằng

Lời giải:

Đáp án: B

Ví dụ 3. Nguyên hàm của có dạng F(x) = − ln|x² + bx + 1| + ln(x² + c) + C. Khi đó P = (a + b + 2c)b⁴ bằng

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Vậy

Ví dụ 4. Tìm hàm số f(x) = x² + ax + ln|bx + 1| + c biết và f(0) = 1. Khi đó S = (2a − b)³. c bằng

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Vì

Mà

Suy ra, a= 1, b= 2, c= 1 nên S = (2a − b)³ . c = 0

Ví dụ 5. . Khi đó bằng

A. 2    B. −2    C. 4    D. 3

Lời giải:

Đáp án: C

Dạng 2.3. Hàm chứa căn thức

1. Phương pháp giải

Dấu hiệu	Cách chọn
√(a2 − x2)	Đặt x = |a|. sint; với hoặc x= |a|. cost; với t ∈ [0; π]
√(x2 − a2)	Đặt ; với hoặc ; với
√(a2 + a2)	Đặt x= |a|. tant; với hoặc x = |a|.cot t; với t ∈ (0; π)
hoặc	Đặt x= acos2t
	Đặt x = a + (b − a)sin2t

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Kết quả của là:

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt

Ví dụ 2. Một nguyên hàm của hàm số y = x√(1 + x²) là:

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt

Vậy

Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số: là:

Lời giải:

Đáp án: C

Đặt t = 1 − 4x, khi đó(*) trở thành :

Ví dụ 4. Một nguyên hàm của hàm số: là:

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt √(2 − x²) = t => x² = 2 − t² => xdx = −tdt

Ví dụ 5. Cho . Tính S = log_b²a + log_ab + 2016?

A. 2018    B. 2020    C. 2025    D. 2030

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt √(x² + 3) => t² = x² + 3 => 2tdt = 2xdx => xdx = tdt

Suy ra:

Do đó, b = 3, a = 3

Vậy S = log_b²a + log_ab + 2016 = 2018

Dạng 2.4. Hàm lượng giác

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có :

Đặt t = sinx + 1, từ (*) suy ra:

Ví dụ 2. Tìm

Lời giải:

Đáp án: C

Đặt t= sin x, khi đó (*) trở thành:

Ví dụ 3. Tìm

Lời giải:

Đáp án: C

Vì lũy thừa của sin là số lẻ nên ta đổi biến u = cosx => du = (cosx)'dx.

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm:

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Đặt u= tanx => . Khi đó, từ (*) ta suy ra:

Ví dụ 5. Tìm

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Đặt

, với

Dạng 2.5. Hàm mũ, logarit

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên hàm của

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt t= 2x+ 2016, khi đó (*) trở thành:

Ví dụ 2. Tìm

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt t= 3x − 3, khi đó (*) trở thành:

Ví dụ 3. Một nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Đáp án: C

Đặt t= 7x³ + 1, khi đó (*) trở thành:

Ví dụ 4. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ?

A. Chỉ (I). B. Chỉ (III). C. Chỉ (I) và (II). D. Chỉ (I) và (III).

Lời giải:

Đáp án: D

Ta tìm nguyên hàm của các hàm số:

(I):

(II):

(III):

Do đó, (I) và (III) đúng.

Ví dụ 5. Một nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Đặt t = lnx, khi đó (*) trở thành:

Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm nguyên hàm: $\int x^3\sqrt{x^2+4}dx$.

Bài 2. Tìm nguyên hàm: $\int \frac{\ln x}{x\sqrt{\ln x+2}}dx$.

Bài 3. Tìm nguyên hàm: $\int \frac{2e^x+1}{e^x+1}dx$.

Bài 4. Tìm nguyên hàm: $\int \frac{dx}{x\left(1+\sqrt{x}\right)}$.

Bài 5. Tìm nguyên hàm: $\int \frac{1}{x\sqrt{x^3+9}}dx$.

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản (cực hay)
• Phương pháp tính nguyên hàm từng phần (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân cơ bản (cực hay)
• Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân từng phần (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ (cực hay)
• 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc (cực hay)

---