Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Để tìm nguyên hàm của hàm số ta có thể dùng phương pháp đổi biến số. Phương pháp này chúng ta có hai hướng đổi biến số:

+ Hướng 1:

• Bước 1: Chọn t = φ(x) . Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp .

• Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt .

• Bước 3: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt .

• Bước 4: Khi đó: Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

*Hướng 2:

• Bước 1: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp .

• Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt

• Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt

• Bước 4: Khi đó tính: Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12.

Dạng 2.1. Hàm đa thức

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số f(x) = ( 3x + 2)3 là:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t = 3x + 2; khi đó ta có;

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số f(x)= (1 − 2x)5 là:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t = 1 − 2x, khi đó ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Tính nguyên hàm Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: B

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t = x2 + 2x + 5 , khi đó ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Tính Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t = x3 + 3x + 10, khi đó (*) trở thành:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 5. Tính Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12, khi đó (*) trở thành:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Dạng 2.2. Hàm phân thức

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t = x2 + 1, khi đó (*) trở thành:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Cho Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12. Khi đó S = a + b + c bằng

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: B

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Nguyên hàm của Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 có dạng F(x) = Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 − ln|x2 + bx + 1| + Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12ln(x2 + c) + C. Khi đó P = (a + b + 2c)b4 bằng

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Vậy

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Tìm hàm số f(x) = x2 + ax + ln|bx + 1| + c biết Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 và f(0) = 1. Khi đó S = (2a − b)3. c bằng

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Suy ra, a= 1, b= 2, c= 1 nên S = (2a − b)3 . c = 0

Ví dụ 5. Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12. Khi đó Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 bằng

A. 2    B. −2    C. 4    D. 3

Đáp án: C

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Dạng 2.3. Hàm chứa căn thức

1. Phương pháp giải

Dấu hiệu

Cách chọn

√(a2 − x2)

Đặt x = |a|. sint; với Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 hoặc x= |a|. cost; với t ∈ [0; π]

√(x2 − a2)

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12; với Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 hoặc Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12; với Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

√(a2 + a2)

Đặt x= |a|. tant; với Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 hoặc x = |a|.cot t; với t ∈ (0; π)

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 hoặc Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt x= acos2t

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt x = a + (b − a)sin2t

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Kết quả của Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 là:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Đặt

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Một nguyên hàm của hàm số y = x√(1 + x2) là:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Đặt

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Vậy

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số: Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 là:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t = 1 − 4x, khi đó(*) trở thành :

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Một nguyên hàm của hàm số: Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 là:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: B

Đặt √(2 − x2) = t => x2 = 2 − t2 => xdx = −tdt

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 5. Cho Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12. Tính S = logb2a + logab + 2016?

A. 2018    B. 2020    C. 2025    D. 2030

Đáp án: A

Đặt √(x2 + 3) => t2 = x2 + 3 => 2tdt = 2xdx => xdx = tdt

Suy ra:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Do đó, b = 3, a = 3

Vậy S = logb2a + logab + 2016 = 2018

Dạng 2.4. Hàm lượng giác

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Ta có :

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t = sinx + 1, từ (*) suy ra:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t= sin x, khi đó (*) trở thành:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Vì lũy thừa của sin là số lẻ nên ta đổi biến u = cosx => du = (cosx)'dx.

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm: Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt u= tanx => Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12. Khi đó, từ (*) ta suy ra:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 5. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 , với Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Dạng 2.5. Hàm mũ, logarit

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên hàm của Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: B

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t= 2x+ 2016, khi đó (*) trở thành:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: B

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t= 3x − 3, khi đó (*) trở thành:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Một nguyên hàm của hàm số Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t= 7x3 + 1, khi đó (*) trở thành:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ?

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

A. Chỉ (I). B. Chỉ (III). C. Chỉ (I) và (II). D. Chỉ (I) và (III).

Đáp án: D

Ta tìm nguyên hàm của các hàm số:

(I):

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

(II):

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

(III):

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Do đó, (I) và (III) đúng.

Ví dụ 5. Một nguyên hàm của hàm số Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t = lnx, khi đó (*) trở thành:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12