Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Dạng 3.1. Nguyên hàm có dạng: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 trong đó P(x)là đa thức

1. Phương pháp giải

Đặt

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Vậy:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Một nguyên hàm của hàm số: f(x) = xsin√(1 + x2) là:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

* Xét: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Dùng phương pháp đổi biến: đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

ta được Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

* Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính (*):

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ta được

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đặt x − 1 = u => dx = du.

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Khi đó

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 2(x − 2) .sin2x

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Ta có: 2(x − 2).sin2x = (x − 2).(1 − cos2x) vì (cos2x= 1 − 2sin2x)

Do đó,

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Suy ra,

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 5. Tính Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Đặt t = √x => t2 = x => 2tdt = dx. Ta được Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Do đó,

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Dạng 3.2. Nguyên hàm có dạng Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Trong đó P(x) là đa thức

1. Phương pháp giải

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Vậy: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Dùng phương pháp từng phần:

Đặt:Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Một nguyên hàm của hàm số y = 2x.(ex − 1) là:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Ta có:Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x2 − 1)ex

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

ĐặtPhương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Suy raPhương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

ĐặtPhương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Suy ra

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. TìmPhương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Đặt u = 3x2 − x + 1 và dv = exdx

=> du = (6x − 1)dx và v = ex. Do đó:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đặt u1 = 6x − 1 và dv1 = exdx ta có du1 = 6dx và v1 = ex. Do đó:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Từ đó suy ra:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 5. TìmPhương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

ĐặtPhương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Dạng 3.3. Nguyên hàm có dạng: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 trong đó P(x) là đa thức

1. Phương pháp giải

ĐặtPhương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

VậyPhương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chọn câu khẳng định sai?

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

* Xét phương án A:

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Do đó phương án A sai .

Ví dụ 2. Một nguyên hàm của hàm số Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 là:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Ta có: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số y= x.lnx là

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: B

Ta có: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Nguyên hàm của hàm số Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 5. Nguyên hàm Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Dạng 3.4. Nguyên hàm có dạng: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

1. Phương pháp giải

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Vậy Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Bằng phương pháp tương tự ta tính được Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 sau đó thay vào I.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ta có: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

* Ta tính Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Suy ra,

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Thay (2) vào (1) ta được:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ta có: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

* Ta tính Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Suy ra,

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Thay (2) vào (1) ta được:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Tính Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: B

Ta có: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

* Ta tìm Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Suy ra,

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Trong đó, Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ta có: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Thay (3) vào (2) ta được:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Thay vào (1) ta được:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Dạng 3.5. Các dạng khác

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho F(x) = (x − 1).ex là một nguyên hàm của hàm số f(x). e2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f’(x). e2x.

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Từ giả thiết, ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Suy ra

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Vậy

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Từ giả thiết: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Vậy

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Cho F(x)= x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x).e2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f’(x). e2x?

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Từ giả thiết, ta có

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Suy ra

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Vậy

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

Ta có

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Từ giả thiết:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Vậy Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Cho Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 là một nguyên hàm của hàm số Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f’(x). lnx

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Từ giả thiết

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đặt

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đặt

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 . Biết F(1) = 0. Vậy F(x) bằng:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: B

Ta có

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Mà F(1)= 0 nên Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 5. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x + ln(x + 1) . Biết F(0) = 1, vậy F(x) bằng:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Ta có

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Lại có F(0) = 1 => C = 1

Vậy

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay | Toán lớp 12

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12