Phương pháp tính nguyên hàm từng phần (cực hay)

Bài viết Phương pháp tính nguyên hàm từng phần với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần (cực hay)

Dạng 3.1. Nguyên hàm có dạng: trong đó P(x)là đa thức

1. Phương pháp giải

Đặt

Vậy:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt

Ví dụ 2. Một nguyên hàm của hàm số: f(x) = xsin√(1 + x²) là:

Lời giải:

Đáp án: A

* Xét:

Dùng phương pháp đổi biến: đặt

ta được

* Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính (*):

Đặt

Ta được

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt x − 1 = u => dx = du.

Khi đó

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 2(x − 2) .sin²x

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: 2(x − 2).sin²x = (x − 2).(1 − cos2x) vì (cos2x= 1 − 2sin²x)

Do đó,

Đặt

Suy ra,

Ví dụ 5. Tính

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt t = √x => t² = x => 2tdt = dx. Ta được

Đặt

Do đó,

Dạng 3.2. Nguyên hàm có dạng Trong đó P(x) là đa thức

1. Phương pháp giải

Đặt

Vậy:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Lời giải:

Đáp án: C

Dùng phương pháp từng phần:

Đặt:

Ví dụ 2. Một nguyên hàm của hàm số y = 2x.(e^x − 1) là:

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Đặt

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x² − 1)e^x

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt

Suy ra

Đặt

Suy ra

Ví dụ 4. Tìm

Lời giải:

Đáp án: A

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Đặt u = 3x² − x + 1 và dv = e^xdx

=> du = (6x − 1)dx và v = e^x. Do đó:

Đặt u₁ = 6x − 1 và dv₁ = e^xdx ta có du₁ = 6dx và v₁ = e^x. Do đó:

Từ đó suy ra:

Ví dụ 5. Tìm

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt

Ta có:

Dạng 3.3. Nguyên hàm có dạng: trong đó P(x) là đa thức

1. Phương pháp giải

Đặt

Vậy

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chọn câu khẳng định sai?

Lời giải:

Đáp án: A

* Xét phương án A:

Đặt

Do đó phương án A sai .

Ví dụ 2. Một nguyên hàm của hàm số là:

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Đặt

Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số y= x.lnx là

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

Đặt

Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có

Ví dụ 4. Nguyên hàm của hàm số là

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Ví dụ 5. Nguyên hàm là

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Dạng 3.4. Nguyên hàm có dạng:

1. Phương pháp giải

Đặt

Vậy

Bằng phương pháp tương tự ta tính được sau đó thay vào I.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm là

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt

Ta có:

* Ta tính

Đặt

Suy ra,

Thay (2) vào (1) ta được:

Ví dụ 2. Tìm là

Lời giải:

Đáp án: C

Đặt

Ta có:

* Ta tính

Đặt

Suy ra,

Thay (2) vào (1) ta được:

Ví dụ 3. Tính là

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

* Ta tìm

Đặt

Suy ra,

Trong đó,

Đặt

Ta có:

Thay (3) vào (2) ta được:

Thay vào (1) ta được:

Dạng 3.5. Các dạng khác

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho F(x) = (x − 1).e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x). e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f’(x). e^2x.

Lời giải:

Đáp án: C

Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm

Từ giả thiết, ta có:

Suy ra

Vậy

Đặt

Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

Ta có:

Từ giả thiết:

Vậy

Ví dụ 2. Cho F(x)= x² là một nguyên hàm của hàm số f(x).e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f’(x). e^2x?

Lời giải:

Đáp án: D

Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm

Từ giả thiết, ta có

Suy ra

Vậy

Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

Ta có

Từ giả thiết:

Vậy

Ví dụ 3. Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số f’(x). lnx

Lời giải:

Đáp án: A

Từ giả thiết

Đặt

Đặt

Ví dụ 4. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số . Biết F(1) = 0. Vậy F(x) bằng:

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có

Mà F(1)= 0 nên

Ví dụ 5. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x + ln(x + 1) . Biết F(0) = 1, vậy F(x) bằng:

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có

Lại có F(0) = 1 => C = 1

Vậy

Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm nguyên hàm: $\int x\sin xdx$.

Bài 2. Tìm nguyên hàm: $\int x^2\cos xdx$.

Bài 3. Tìm nguyên hàm: $\int x\ln xdx$.

Bài 4. Tìm nguyên hàm: $\int \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)dx$.

Bài 5. Tìm nguyên hàm: $\int e^x\sin xdx$.

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản (cực hay)
• Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân cơ bản (cực hay)
• Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân từng phần (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ (cực hay)
• 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc (cực hay)

---