Phương pháp tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ (cực hay)

Bài viết Phương pháp tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ.

Phương pháp tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ (cực hay)

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

1. Phương pháp giải

Cho hàm số y= f(x) xác định, liên tục trên đoạn [−a; a].

• Nếu hàm số y= f (x) là hàm số chẵn thì

• Nếu hàm số y= f(x) là hàm số lẻ thì

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Lời giải:

Đáp án: D

Xét hàm số xác định với mọi x.

Ta có:

Suy ra, hàm số y= f(x ) là hàm số lẻ nên ta có:

Ví dụ 2. Tính

A. 10    B. 20     C. 100    D. Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có;

+ Tính

Xét hàm số xác định và liên tục trên [−10; 10].

Ta có:

Suy ra: f(−x) = −f(x) nên hàm số y = f(x) là hàm số lẻ.

Do đó:

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: C

Xét hàm số y = x² + 2cosx xác định và liên tục trên R

Ta có; f(−x) = (−x)² + 2. cos(−x) = x² + 2cosx

Suy ra: f(x) = f(−x) nên hàm số f(x) là hàm số chẵn

Do đó, ta có;

Ví dụ 5. Tính

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Trong đó :

Và

Xét hàm số liên tục trên R.

Ta có:

Suy ra, f(−x) = −f(x) nên hàm số y = f(x) là hàm số lẻ.

Do đó, ta có:

Vậy

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn f(x) + f(-x) = $\sqrt{2+2\cos 2x},\forall x\in ℝ$. Tính tích phân: $I=\underset{-\frac{3\pi }{2}}{\overset{\frac{3\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Bài 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn f(x) + f(-x) = cos2x, ∀x ∈ ℝ. Tính tích phân: $I=\underset{-\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Bài 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn f(x) + f(-x) = x², ∀x ∈ ℝ. Tính tích phân: $I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Bài 4. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và số thực a dương. Biết rẳng với mọi x ∈ [0;a] thì f(x) > 0 và f(x).f(a – x) = 1. Tính tích phân: $I=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{dx}{1+f\left(x\right)}$.

Bài 5. Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f(x) + 2f(1 - x) = 3x, ∀x ∈ ℝ. Tính tích phân: $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Bài 6. Tính tích phân: $I=\underset{-\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(x^2+3\cos x\right)dx$.

Bài 7. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và hàm số chẵn thỏa mãn $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+e^x}dx=1$. Tính tích phân: $I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Bài 8. Cho f(x) là hàm số chẵn trên ℝ và k > 0. Tính tích phân $I=\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+e^{kx}}dx$.

Bài 9. Tính tích phân $I=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+1}-x}dx$.

Bài 10. Tính tích phân $I=\underset{-5}{\overset{5}{\int }}\left(\frac{x^3+x^5+x^{11}}{x^2+x^4+x^{10}+100}+1\right)dx$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản (cực hay)
• Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số (cực hay)
• Phương pháp tính nguyên hàm từng phần (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân cơ bản (cực hay)
• Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân từng phần (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối (cực hay)
• 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc (cực hay)

---