Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay

Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay - Toán lớp 12

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Dạng 1. Tính chất của tích phân

1. Phương pháp giải

Giả sử cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K và a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có

Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thì

Nếu ∀x ∈ [a, b]: f(x) ≥ g(x)

Nếu ∀x ∈ [a, b] nếu M ≤ f(x) ≤ N thì

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tích phân . Tính tích phân

A . I= 40    B. I= 10    C. I= 20    D. I= 5

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Đặt

Đổi cận: với x = 0 => t = 0

Với x = 6 => t = 3

Ta có:

Suy ra:

Ví dụ 2. Cho hàm số y= f(x) liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn và . Tính giá trị của biểu thức

A. P= 4    B. P= 16    C. P= 8    D. P= 10

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và . Tính .

A. I= 9    B. I= 1   C. I = − 1    D. I = −9

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ta có:

Kết hợp với giả thiết suy ra

Ví dụ 4. Cho . Khi đó bằng

A. 2    B. 4    C. 6    D. 8

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có:

Dạng 2. Tính trực tiếp

1. Phương pháp giải

Cho hàm số y= f(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: .

Như vậy, để tính tích phân của 1 hàm số ta cần:

• Bước 1: Xác định F(x) là nguyên hàm của hàm số.

• Bước 2. Tính F(b) − F(a).

Dạng 2.1. Hàm đa thức

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân bằng

A.I=1    B.I= 2    C.I= 3    D. I= −1

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị của m sao cho :

A.1    B. 2    C. 3    D. 4

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn.

Ví dụ 3. Tích phân bằng

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ví dụ 4. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ta có:

Ví dụ 5. Tích phân bằng

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Do x ∈ (1; 8) => x > 0 nên . Vì vậy

Dạng 2.2. Hàm phân thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân bằng

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ví dụ 2. Tích phân bằng

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ta có:

Ví dụ 3. Cho tích phân (a,b,c ∈ Q). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. a < 0    B. c < 0    C. b > 0    D. a + b + c > 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ta có:

Ví dụ 4. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ví dụ 5. Tính tích phân

A . 2ln3 − ln2     B. ln3 − 2ln2     C. 2ln3 − 3ln2     D. 3ln2 +2ln3

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Cách 1: (Hệ số bất định)

Ta có:

Thay x= −2 vào hai tử số: 3= A và thay x= −3 vào hai tử số: −B= −1 suy ra B= 1

Do đó

Vậy:

Cách 2

Ta có:

Do đó

Dạng 2.3. Hàm căn thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ví dụ 2. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ví dụ 3. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ví dụ 4. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ví dụ 5. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Dạng 2.4. Hàm lượng giác

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân có giá trị là

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ví dụ 2. Tích phân có giá trị là

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có

Ví dụ 3. Giả sử khi đó a+ b là

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Suy ra

Vậy

Ví dụ 4. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ví dụ 5. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Dạng 2.5. Hàm mũ, logarit

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân bằng

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Vậy:

Ví dụ 2. Tích phân có giá trị là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ta có:

Ví dụ 3. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ví dụ 4. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ví dụ 5. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay
• Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay
• Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay
• Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cực hay
• Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay
• Phương pháp tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay
• Phương pháp tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ cực hay
• 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

• Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán có đáp án
• Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết
• Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án
• Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án
• Kho trắc nghiệm các môn khác

---