Phương pháp tính tích phân cơ bản (cực hay)

Bài viết Phương pháp tính tích phân cơ bản với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp tính tích phân cơ bản.

Phương pháp tính tích phân cơ bản (cực hay)

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Dạng 1. Tính chất của tích phân

1. Phương pháp giải

Giả sử cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K và a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có

Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thì

Nếu ∀x ∈ [a, b]: f(x) ≥ g(x)

Nếu ∀x ∈ [a, b] nếu M ≤ f(x) ≤ N thì

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tích phân . Tính tích phân

A . I= 40    B. I= 10    C. I= 20    D. I= 5

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt

Đổi cận: với x = 0 => t = 0

Với x = 6 => t = 3

Ta có:

Suy ra:

Ví dụ 2. Cho hàm số y= f(x) liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn và . Tính giá trị của biểu thức

A. P= 4    B. P= 16    C. P= 8    D. P= 10

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và . Tính .

A. I= 9    B. I= 1   C. I = − 1    D. I = −9

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

Kết hợp với giả thiết suy ra

Ví dụ 4. Cho . Khi đó bằng

A. 2    B. 4    C. 6    D. 8

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Dạng 2. Tính trực tiếp

1. Phương pháp giải

Cho hàm số y= f(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: .

Như vậy, để tính tích phân của 1 hàm số ta cần:

• Bước 1: Xác định F(x) là nguyên hàm của hàm số.

• Bước 2. Tính F(b) − F(a).

Dạng 2.1. Hàm đa thức

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân bằng

A.I=1    B.I= 2    C.I= 3    D. I= −1

Lời giải:

Đáp án: A

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị của m sao cho :

A.1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn.

Ví dụ 3. Tích phân bằng

Lời giải:

Đáp án: C

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

Ví dụ 5. Tích phân bằng

Lời giải:

Đáp án: A

Do x ∈ (1; 8) => x > 0 nên . Vì vậy

Dạng 2.2. Hàm phân thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân bằng

Lời giải:

Đáp án: D

Ví dụ 2. Tích phân bằng

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

Ví dụ 3. Cho tích phân (a,b,c ∈ Q). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. a < 0    B. c < 0    C. b > 0    D. a + b + c > 0

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Ví dụ 5. Tính tích phân

A . 2ln3 − ln2     B. ln3 − 2ln2     C. 2ln3 − 3ln2     D. 3ln2 +2ln3

Lời giải:

Đáp án: A

Cách 1: (Hệ số bất định)

Ta có:

Thay x= −2 vào hai tử số: 3= A và thay x= −3 vào hai tử số: −B= −1 suy ra B= 1

Do đó

Vậy:

Cách 2

Ta có:

Do đó

Dạng 2.3. Hàm căn thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Lời giải:

Đáp án: C

Ví dụ 2. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Ví dụ 3. Tính

Lời giải:

Đáp án: D

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Ví dụ 5. Tính

Lời giải:

Đáp án: D

Dạng 2.4. Hàm lượng giác

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân có giá trị là

Lời giải:

Đáp án: B

Ví dụ 2. Tích phân có giá trị là

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có

Ví dụ 3. Giả sử khi đó a+ b là

Lời giải:

Đáp án: B

Suy ra

Vậy

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Ví dụ 5. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Dạng 2.5. Hàm mũ, logarit

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân bằng

Lời giải:

Đáp án: D

Vậy:

Ví dụ 2. Tích phân có giá trị là:

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Ví dụ 3. Tính

Lời giải:

Đáp án: C

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Ví dụ 5. Tính

Lời giải:

Đáp án: C

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản (cực hay)
• Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số (cực hay)
• Phương pháp tính nguyên hàm từng phần (cực hay)
• Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân từng phần (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ (cực hay)
• 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc (cực hay)

---