Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay - Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Dạng 1.1. Hàm đa thức

1. Phương pháp giải

Để tính nguyên hàm của các hàm đa thức ta cần sử dụng các công thức sau:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Trong đó, k là hằng số.

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)= x2 − 2x + x−2

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số: Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Nguyên hàm F(x) của hàm số Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Nguyên hàm F(x) của hàm số Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 5. Tìm hàm số f(x) biết rằng f'(x) = 2x + 1 và f(1) = 5?

A. x2 + x + 3     B. x2 + x − 3     C. x2 + x     D. x2 − x.

Đáp án: A

Theo giả thiết ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Vậy hàm số cần tìm là f(x) = x2 + x + 3

Dạng 1.2. Hàm phân thức

1. Phương pháp giải

Để tìm nguyên hàm của các hàm phân thức ta cần sử dụng các công thức sau:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Khi đó tổng S = A + B + C bằng

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: B

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

=> A(x − 5)(x + 4) + B(x + 2)(x + 4) + C(x + 2)(x − 5) = 1

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12là:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: B

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Cho Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12Khi đó P = 2a + b bằng:

A. 0     B. 1     C. 2     D. 3

Đáp án: B

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Suy ra a = −1; b = 3 => P = 2a + b = 1

Ví dụ 4. Cho Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12. Khi đó P = 2(a + b)c bằng

A. 2     B. −2     C. 1     D. 0

Đáp án: D

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Suy ra a = −1; b = 3 => P = 2a + b = 1

Ví dụ 5. Tìm hàm số f(x)= x2 + ax + ln |bx+ 1| + c biết Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 và f(0) = 1. Khi đó S = (2a − b)3.c bằng

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Mà f(0) = 1 nên c = 1. Khi đó, f(x)= x2 + x+ ln|2x+ 1| +1

Suy ra, a = 1, b = 2 và c = 1 nên S = (2a − b)3c= 0

Dạng 1.3. Hàm chứa căn thức

1. Phương pháp giải

Để tìm nguyên hàm của các hàm chứa căn thức ta cần linh hoạt sử dụng các công thức sau:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Nguyên hàm của hàm số: Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Dạng 1.4. Hàm lượng giác

1. Phương pháp giải

Để tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác ta cần sử dụng các công thức sau:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ngoài ra, ta cần sử dụng các tính chất của nguyên hàm; các công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tích thành tổng, công thức hạ bậc...

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 4cos4x là

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Tính Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12, kết quả là:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Tính Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12, kết quả là:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Một nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx . cosxlà:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 5. Một nguyên hàm của hàm số f(x)= cos5x. cosx là:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: C

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Dạng 1.5. Hàm số mũ, logarit

1. Phương pháp giải

Để tìm nguyên hàm của các hàm số mũ ta cần sử dụng các công thức sau:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ngoài ra, ta còn sử dụng tính chất của nguyên hàm, tính chất của lũy thừa, hàm số mũ.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số f(x) = ex.( 2 − e−x ) là

A. 2ex + x + C.     B. ex + e−x + C.    

C. 2ex − x+ C.     D. 2ex + 2x + C.

Đáp án: C

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: B

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Tính Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12, kết quả là:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 5. Kết quả nào sai trong các kết quả sau:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Ta xét các phương án:

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay | Toán lớp 12

Vậy phương án A sai.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12