Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp giải

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Trong đó u= u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y= f(u) liên tục và sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên K; a và b là hai số thuộc K

Dạng 3.1. Hàm đa thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Đặt t = 1 − x => −dt = dx. Đổi cận: x = 0 => t = 1; x = 1 => t = 0

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Dạng 3.2. Hàm phân thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Đặt t = x+ 1 => dt = dx. Đổi cận: x = 0 => t = 1; x = 1 => t = 2

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Tích phân Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đổi cận:

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Khi đó

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Vậy Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Tính tích phân Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay. Khi đó S = a + 2b bằng:

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Suy ra

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Trong Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t = x + 1 => dt =dx. Đổi cận: x = 1 => t = 2; x = 2 => y = 3.

Khi đó

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Tích phân Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Đặt Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đổi cận Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 5. Cho Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay. Khi đó (2a + b) bằng

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: B

Ta có: x3 + 3x2 − x−3 = (x+1)(x2 + 2x − 3)

Đặt

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đổi cận x = 0 => t = 3; x = 1 => t = 6

Khi đó

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Dạng 3.3. Hàm căn thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Đặt Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đổi cận x = 0 => t = 1; x = 1 => t = √

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Đặt x = sint

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Do đó

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Tích phân Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Đặt Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Suy ra: Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đổi cận Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Đặt t = x3 => dt = 3x2dx

Đổi cận: x = 0 => t = 0; x = 1 => t = 1

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đổi cận t = 0 => u = 0; t = 1 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 5. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

- Tính J:

Đặt t = √(x2 + 1)

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Suy ra:

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

- Tính K:

Đặt t = √(x2 + 1)

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Suy ra:

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Vậy: Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Dạng 3.4. Hàm lượng giác

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: B

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt: t = √(1 + 3 cosx)

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Khi đó

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

A. 2ln2 − 1    B.ln2 − 1    C. ln2 − 2    D.ln2+ 1

Đáp án: A

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt: t = 1 + cosx

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Khi đó

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: B

Đặt t = √(cos2x + 4sin2x) => t2 = cos2x + 4sin2x

Do đó

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Vậy

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

A. 2 − 3ln 2     B. 1 + 3ln2     C. 3 + ln2    D. 3 − ln2

Đáp án: A

Ta có:

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Cho nên:

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t = 1 + sinx

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Vậy

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 5. Tích phân Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Cách 1

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t = cos2 + 1 => dt = −2sinxcosx.dx

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đổi cận Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Cách 2

Đặt t = cosx dt = −sinx dx nên −dt = sinx.dx

Đổi cận Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Dạng 3.5. Hàm mũ, logarit

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

A. I = cos1    B. I = 1    C. I = sin1    D. Đáp án khác

Đáp án: B

Đặt Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đổi cận: Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Khi đó:

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đổi cận: Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Khi đó:

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Đặt Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đổi cận: x = 0=> t = 0; x = ln2 => t = 1.

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Tính

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Vậy Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

A. 2ln 3+2     B. 2ln2 + 3     C. 2ln3 − 1    D. 3ln2 − 1

Đáp án: C

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t = √(ex − 2) => t2 + 2 = ex => exdx = 2tdt

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 5. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Đặt: t = √(3ex − 4)

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đổi cận: Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

với Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Tính Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt: Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Vậy : Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Dạng 3.6. Tích phân Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

1. Phương pháp giải

Chứng minh:

• Đặt: b − x= t, suy ra x = b − t và dx = −dt, Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

• Do đó: Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

A. 0     B.1     C. 2    D. 3

Đáp án: C

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt:

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

=> dt = −dx; x = 0 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Nhưng tích phân không phụ thuộc và biến số, cho nên:

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Lấy (1) + (2) vế với vế ta có:

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Đặt

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

=> dx = −dt; x = 0 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

=> f(x)dx = log2(1 + tanx)dx Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Hay:

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Vậy:

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Cộng (1) và (2) ta có:

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Dạng 3.7. Dạng khác

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Đặt lnx = t, ta có Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12.

Đặt : u = ln( 1+ t2) ; dv = dt

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Từ đó có:

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Tiếp tục đặt t = tanu, ta tính được Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Thay vào (*) ta có Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: D

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

+ Tính Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t = √(1 + lnx) => t2 = 1 + lnx; Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Khi x = 1 => t = 1; x = e => x = √2

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

+ Tính Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12.

Đặt

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

A. e − 3 + 2ln 2    B. e + 3 + ln 2

C. 2e − 6 + ln2     D. 4ln2 + e − 2

Đáp án: A

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ta có Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Tính Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt t = 1 + lnx.

Ta có

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Vậy I = e − 1 − 2(1 − ln2) = e − 3 + 2ln2

Ví dụ 4. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

A. √2 − 3    B. 2√2 − 3    C. 2√3 − 2    D. √6 − 2

Đáp án: B

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Vậy I = I1 + I2 = 2√2 − 3

Ví dụ 5. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: B

+ Ta có

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đặt Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

+ Tính I1: Đặt u = x => du = dx;

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Tính I2:

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Vậy

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Ví dụ 6. Tính Dạng 3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Đáp án: A

Đặt t = −x => dt = −dx

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12 Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12