Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Phương pháp tính tích phân đổi biến số cực hay | Toán lớp 12

Phương pháp giải

Trong đó u= u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y= f(u) liên tục và sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên K; a và b là hai số thuộc K

Dạng 3.1. Hàm đa thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Đặt t = 1 − x => −dt = dx. Đổi cận: x = 0 => t = 1; x = 1 => t = 0

Dạng 3.2. Hàm phân thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Đặt t = x+ 1 => dt = dx. Đổi cận: x = 0 => t = 1; x = 1 => t = 2

Ví dụ 2. Tích phân

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Đặt

Đổi cận:

Khi đó

Vậy

Ví dụ 3. Tính tích phân . Khi đó S = a + 2b bằng:

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Suy ra

Trong

Đặt t = x + 1 => dt =dx. Đổi cận: x = 1 => t = 2; x = 2 => y = 3.

Khi đó

Ví dụ 4. Tích phân

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Đặt

Đổi cận

Ví dụ 5. Cho . Khi đó (2a + b) bằng

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ta có: x³ + 3x² − x−3 = (x+1)(x² + 2x − 3)

Đặt

Đổi cận x = 0 => t = 3; x = 1 => t = 6

Khi đó

Dạng 3.3. Hàm căn thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Đặt

Đổi cận x = 0 => t = 1; x = 1 => t = √

Ví dụ 2. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Đặt x = sint

Do đó

Ví dụ 3. Tích phân

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Đặt

Suy ra:

Đổi cận

Ví dụ 4. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Đặt t = x³ => dt = 3x²dx

Đổi cận: x = 0 => t = 0; x = 1 => t = 1

Đặt

Đổi cận t = 0 => u = 0; t = 1

Ví dụ 5. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

- Tính J:

Đặt t = √(x² + 1)

Suy ra:

- Tính K:

Đặt t = √(x² + 1)

Suy ra:

Vậy:

Dạng 3.4. Hàm lượng giác

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Đặt: t = √(1 + 3 cosx)

Khi đó

Ví dụ 2. Tính

A. 2ln2 − 1    B.ln2 − 1    C. ln2 − 2    D.ln2+ 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Đặt: t = 1 + cosx

Khi đó

Ví dụ 3. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Đặt t = √(cos²x + 4sin²x) => t² = cos²x + 4sin²x

Do đó

Vậy

Ví dụ 4.

A. 2 − 3ln 2     B. 1 + 3ln2     C. 3 + ln2    D. 3 − ln2

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

Cho nên:

Đặt t = 1 + sinx

Vậy

Ví dụ 5. Tích phân

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Cách 1

Đặt t = cos² + 1 => dt = −2sinxcosx.dx

Đổi cận

Cách 2

Đặt t = cosx dt = −sinx dx nên −dt = sinx.dx

Đổi cận

Dạng 3.5. Hàm mũ, logarit

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho

A. I = cos1    B. I = 1    C. I = sin1    D. Đáp án khác

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Đặt

Đổi cận:

Khi đó:

Ví dụ 2. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Đặt

Đổi cận:

Khi đó:

Ví dụ 3. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Đặt

Đổi cận: x = 0=> t = 0; x = ln2 => t = 1.

Tính

Vậy

Ví dụ 4. Tính

A. 2ln 3+2     B. 2ln2 + 3     C. 2ln3 − 1    D. 3ln2 − 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Đặt t = √(e^x − 2) => t² + 2 = e^x => e^xdx = 2tdt

Ví dụ 5. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Đặt: t = √(3e^x − 4)

Đổi cận:

với

Tính

Đặt:

Vậy :

Dạng 3.6. Tích phân

1. Phương pháp giải

Chứng minh:

• Đặt: b − x= t, suy ra x = b − t và dx = −dt,

• Do đó:

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

A. 0     B.1     C. 2    D. 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Đặt:

=> dt = −dx; x = 0

Nhưng tích phân không phụ thuộc và biến số, cho nên:

Lấy (1) + (2) vế với vế ta có:

Ví dụ 2. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Đặt

=> dx = −dt; x = 0

=> f(x)dx = log₂(1 + tanx)dx

Hay:

Vậy:

Ví dụ 3. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Đặt

Cộng (1) và (2) ta có:

Dạng 3.7. Dạng khác

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Đặt lnx = t, ta có .

Đặt : u = ln( 1+ t²) ; dv = dt

Từ đó có:

Tiếp tục đặt t = tanu, ta tính được

Thay vào (*) ta có

Ví dụ 2. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

+ Tính

Đặt t = √(1 + lnx) => t² = 1 + lnx;

Khi x = 1 => t = 1; x = e => x = √2

+ Tính .

Đặt

Ví dụ 3. Tính

A. e − 3 + 2ln 2    B. e + 3 + ln 2

C. 2e − 6 + ln2     D. 4ln2 + e − 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có

Tính

Đặt t = 1 + lnx.

Ta có

Vậy I = e − 1 − 2(1 − ln2) = e − 3 + 2ln2

Ví dụ 4. Tính

A. √2 − 3    B. 2√2 − 3    C. 2√3 − 2    D. √6 − 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Vậy I = I₁ + I₂ = 2√2 − 3

Ví dụ 5. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

+ Ta có

Đặt

+ Tính I₁: Đặt u = x => du = dx;

Tính I₂:

Vậy

Ví dụ 6. Tính

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Đặt t = −x => dt = −dx

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản cực hay
• Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay
• Phương pháp tính nguyên hàm từng phần cực hay
• Phương pháp tính tích phân cơ bản cực hay
• Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay
• Phương pháp tính tích hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay
• Phương pháp tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ cực hay
• 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

• Hơn 7500 câu trắc nghiệm Toán có đáp án
• Hơn 5000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết
• Gần 4000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án
• Hơn 5000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án
• Kho trắc nghiệm các môn khác

---