Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (cực hay)

Bài viết Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (cực hay)

Phương pháp giải

Trong đó u= u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y= f(u) liên tục và sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên K; a và b là hai số thuộc K

Dạng 3.1. Hàm đa thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt t = 1 − x => −dt = dx. Đổi cận: x = 0 => t = 1; x = 1 => t = 0

Dạng 3.2. Hàm phân thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt t = x+ 1 => dt = dx. Đổi cận: x = 0 => t = 1; x = 1 => t = 2

Ví dụ 2. Tích phân

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt

Đổi cận:

Khi đó

Vậy

Ví dụ 3. Tính tích phân . Khi đó S = a + 2b bằng:

Lời giải:

Đáp án: D

Suy ra

Trong

Đặt t = x + 1 => dt =dx. Đổi cận: x = 1 => t = 2; x = 2 => y = 3.

Khi đó

Ví dụ 4. Tích phân

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt

Đổi cận

Ví dụ 5. Cho . Khi đó (2a + b) bằng

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có: x³ + 3x² − x−3 = (x+1)(x² + 2x − 3)

Đặt

Đổi cận x = 0 => t = 3; x = 1 => t = 6

Khi đó

Dạng 3.3. Hàm căn thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt

Đổi cận x = 0 => t = 1; x = 1 => t = √

Ví dụ 2. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt x = sint

Do đó

Ví dụ 3. Tích phân

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt

Suy ra:

Đổi cận

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt t = x³ => dt = 3x²dx

Đổi cận: x = 0 => t = 0; x = 1 => t = 1

Đặt

Đổi cận t = 0 => u = 0; t = 1

Ví dụ 5. Tính

Lời giải:

Đáp án: D

- Tính J:

Đặt t = √(x² + 1)

Suy ra:

- Tính K:

Đặt t = √(x² + 1)

Suy ra:

Vậy:

Dạng 3.4. Hàm lượng giác

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt: t = √(1 + 3 cosx)

Khi đó

Ví dụ 2. Tính

A. 2ln2 − 1    B.ln2 − 1    C. ln2 − 2    D.ln2+ 1

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt: t = 1 + cosx

Khi đó

Ví dụ 3. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt t = √(cos²x + 4sin²x) => t² = cos²x + 4sin²x

Do đó

Vậy

Ví dụ 4.

A. 2 − 3ln 2     B. 1 + 3ln2     C. 3 + ln2    D. 3 − ln2

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Cho nên:

Đặt t = 1 + sinx

Vậy

Ví dụ 5. Tích phân

Lời giải:

Đáp án: D

Cách 1

Đặt t = cos² + 1 => dt = −2sinxcosx.dx

Đổi cận

Cách 2

Đặt t = cosx dt = −sinx dx nên −dt = sinx.dx

Đổi cận

Dạng 3.5. Hàm mũ, logarit

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho

A. I = cos1    B. I = 1    C. I = sin1    D. Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt

Đổi cận:

Khi đó:

Ví dụ 2. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt

Đổi cận:

Khi đó:

Ví dụ 3. Tính

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt

Đổi cận: x = 0=> t = 0; x = ln2 => t = 1.

Tính

Vậy

Ví dụ 4. Tính

A. 2ln 3+2     B. 2ln2 + 3     C. 2ln3 − 1    D. 3ln2 − 1

Lời giải:

Đáp án: C

Đặt t = √(e^x − 2) => t² + 2 = e^x => e^xdx = 2tdt

Ví dụ 5. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt: t = √(3e^x − 4)

Đổi cận:

với

Tính

Đặt:

Vậy :

Dạng 3.6. Tích phân

1. Phương pháp giải

Chứng minh:

• Đặt: b − x= t, suy ra x = b − t và dx = −dt,

• Do đó:

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

A. 0     B.1     C. 2    D. 3

Lời giải:

Đáp án: C

Đặt:

=> dt = −dx; x = 0

Nhưng tích phân không phụ thuộc và biến số, cho nên:

Lấy (1) + (2) vế với vế ta có:

Ví dụ 2. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt

=> dx = −dt; x = 0

=> f(x)dx = log₂(1 + tanx)dx

Hay:

Vậy:

Ví dụ 3. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt

Cộng (1) và (2) ta có:

Dạng 3.7. Dạng khác

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt lnx = t, ta có .

Đặt : u = ln( 1+ t²) ; dv = dt

Từ đó có:

Tiếp tục đặt t = tanu, ta tính được

Thay vào (*) ta có

Ví dụ 2. Tính

Lời giải:

Đáp án: D

+ Tính

Đặt t = √(1 + lnx) => t² = 1 + lnx;

Khi x = 1 => t = 1; x = e => x = √2

+ Tính .

Đặt

Ví dụ 3. Tính

A. e − 3 + 2ln 2    B. e + 3 + ln 2

C. 2e − 6 + ln2     D. 4ln2 + e − 2

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có

Tính

Đặt t = 1 + lnx.

Ta có

Vậy I = e − 1 − 2(1 − ln2) = e − 3 + 2ln2

Ví dụ 4. Tính

A. √2 − 3    B. 2√2 − 3    C. 2√3 − 2    D. √6 − 2

Lời giải:

Đáp án: B

Vậy I = I₁ + I₂ = 2√2 − 3

Ví dụ 5. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

+ Ta có

Đặt

+ Tính I₁: Đặt u = x => du = dx;

Tính I₂:

Vậy

Ví dụ 6. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt t = −x => dt = −dx

Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính tích phân I = $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{2}x{\cos }^{3}xdx$.

Bài 2. Tính tích phân I = $\underset{0}{\overset{e^{\frac{\pi }{2}}}{\int }}\frac{\cos \left(\ln x\right)}{x}dx$.

Bài 3. Tính tích phân I = $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^2\sqrt{4-x^2}dx$.

Bài 4. Tính tích phân I = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^2+1}dx.$

Bài 5. Tính tích phân I = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx$.

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản (cực hay)
• Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số (cực hay)
• Phương pháp tính nguyên hàm từng phần (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân cơ bản (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân từng phần (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối (cực hay)
• Phương pháp tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ (cực hay)
• 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc (cực hay)

---