3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Dạng 1. Diện tích hình phẳng

Dạng 1.1. Tính diện tích hình phẳng

1. Phương pháp giải

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] , trục hoành và hai đường thẳng x=a; x= b được xác định 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x=a; x= b được xác định 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

- Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x= g(y),x=h(y) và hai đường thẳng y = c; y= d được xác định: 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y= x2 + x − 1 và y = x4 + x − 1 là:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Đáp án: D

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 + x − 1 và y = x4 + x − 1 là :

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Ta có 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Do đó

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 − 4|x| + 3 và trục hoành?

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Đáp án: A

Phương trình hoành độ giao điểm

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Do hàm số y= x2 − 4 |x| + 3 là hàm chẵn nên diện tích hình phẳng cần tính là:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Vậy 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = |x2 − 1|, y = |x| + 5

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Đáp án: D

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

(Do hàm số y= |x|+ 5 là hàm số chẵn)

Bảng xét dấu

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Vậy 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Ví dụ 4. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = √x; d:y = x − 2; Ox là:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Đáp án: A

* Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong (C) với đường thẳng d là: √x = x − 2 ⇔ x = 4

*Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong (C) với trục hoành là: √x = 0 ⇔ x = 0

* Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d với trục hoành là: x − 2 = 0 ⇔ x= 2

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Ví dụ 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sinx, y = cosx, x = 0; x = π là:

A.2.    B.3.    C.3√2.    D. 2√2.

Đáp án: D

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y= sinx, y= cosx là:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Vì x ∈ [0; π] nên 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay .

Ta có:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Do đó:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Dạng 1.2. Tìm tham số m để diện tích hình phẳng bằng S0

1. Phương pháp giải

+ Bước 1. Tính diện tích hình phẳng (H).

+ Bước 2. Lập phương trình ẩn m, giải m.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y= m.x.cosx, trục Ox, x= 0 và x = π bằng 3π. Khi đó giá trị của m là:

A. m= − 3    B. m= 3    C. m = −4    D. ±3.

Đáp án: D

Ta có diện tích hình phẳng cần tính là:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Đặt 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Khi đó

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Theo giả thiết S = 3π ⇔ r|m| = 3π ⇔ m = ±3 .

Ví dụ 2. Cho 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay. Giá trị 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), y= 0; x= 0; x= 2 có diện tích bằng 4 là

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Đáp án: B

Với mọi 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay , xét hàm số 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay , 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Mặt khác,

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Do đó 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Diện tích hình phẳng là:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Theo giả thiết

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Vậy

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Ví dụ 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y2 = ax, x2 = ay ( a > 0) là 3. Tìm a.

A. 1    B. 2    C. 3    D. 6

Đáp án: C

Hệ phương trình tọa độ giao điểm của 2 đường cong trên là 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Khi đó hình phẳng cần tìm được tạo bởi đồ thị các hàm số: 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay và các đường thẳng x= 0; x= a (a > 0).

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Theo giả thiết, diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong đã cho là 3 nên ta có: 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay. Mà a > 0 nên a= 3.

Dạng 2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

1. Phương pháp giải

a. Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm a a ≤ x ≤ b. Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Thể tích của B là: 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

b. Thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số y= f(x) liên tục; không âm trên [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x); trục hoành và hai đường thẳng x=a; x=b quay quanh trục Ox tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích của nó là: 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x= g(y), trục tung và hai đường thẳng y=c; y= d quay quanh trục Oy là: 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f(x); y= g(x) và hai đường thẳng x=a; x= b quay quanh trục Ox:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y = (1 − x2); y = 0; x = 0 và x= 2 khi quay quanh trục Ox bằng:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Đáp án: C

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y= (1 − x2); y = 0 ; x= 0 và x=2 khi quay quanh trục Ox là:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Ví dụ 2. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay , trục Ox và trục Oy. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình (H) quay quanh trục Ox là:

A. 3π.    B. 4πln2.    C. (3 − 4ln2)π.    D. (4 − 3ln2)π.

Đáp án: C

Phương trình hoành độ giao điểm: 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Suy ra:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Ví dụ 3. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = −y2 + 5; x = 3 − y quay quanh Oy

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Đáp án: A

Tung độ giao điểm −y2 + 5 = 3 − y ⇔ −y2 + y + 2 = 0 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Vậy 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Ví dụ 4. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y= lnx, y=0, x= e quay quanh trục Ox có kết quả là:

A. πe.    B. π(e − 1).    C. π(e − 2).    D. π(e + 1).

Đáp án: C

Xét phương trình: lnx = 0, x > 0 ⇔ x= 1 .

Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Đặt u = ln2x 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Dạng 3. Ứng dụng của tích phân để tính quãng đường, vận tốc của chuyển động.

1. Phương pháp giải

* Cho vật chuyển động có phương trình vận tốc v= v(t). Quãng đường vật đi được từ t0 đến t1 là : 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)= 160 − 10t (m/s). Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm mà vật dừng lại là

A.1028 m    B. 1280 m    C. 1380 m    D.1308 m

Đáp án: B

Khi vật dừng lại thì v(t) = 160 − 10t ⇔ t = 16

Suy ra:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Ví dụ 2. Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc v(m/s), có gia tốc 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay . Vận tốc của ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị) là

A.4,6 m/s.    B. 7,2 m/s    C. 1,5 m/ s    D. 2,2 m/s

Đáp án: A

Vận tốc của ô tô sau 10 giây là:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Ví dụ 3. Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc ( theo cm2/s) là 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay (với t tính bằng giây).Tìm hàm vận tốc v theo t,biết rằng khi t=0 thì v=30 (cm/s)

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Đáp án: B

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Do v(0) = 30, suy ra 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Vậy, hàm 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Ví dụ 4. Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t)= 3t +t2. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Đáp án: A

Hàm vận tốc:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc => v(0)= 10 => C =10

Ta được: 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Sau 10 giây, quãng đường vật đi được là:

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Ví dụ 5. Gọi h(t) (cm) là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (chính xác đến 0,01 cm)

A. 2,67 cm    B. 2,66 cm    C. 2,65 cm    D. 2,68cm

Đáp án: B

Hàm 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Lúc t = 0, bồn không chứa nước.

Suy ra

3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Vậy, hàm 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Mức nước trong bồn sau 6 giây là 3 ứng dụng của tích phân: tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12