Công thức tích phân - Toán lớp 12

Công thức tích phân

I. Định nghĩa, công thức tích phân

Quảng cáo

1. Khái niệm tích phân

* Định nghĩa:

Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số:

F(b) - F(a)

Được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

* Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi Công thức tích phân | Toán lớp 12

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a; b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

* Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục; không âm trên đoạn [a;b]. Khi đó, diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b là:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

2. Tính chất của tích phân

Giả sử cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có :

Công thức tích phân | Toán lớp 12 Công thức tích phân | Toán lớp 12

II. Một số phương pháp tính tích phân

1. Phương pháp đổi biến số

1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1

Định lí

Nếu:

1) Hàm x = u(t) có đạo hàm liên tục trên [α;β].

2) Hàm hợp f [u(t)] được xác định trên [α;β].

3) u(α) = a; u(β) = b.

Khi đó: Công thức tích phân | Toán lớp 12

Phương pháp chung

Bước 1: Đặt x = u(t).

Bước 2: Tính vi phân hai vế: x = u(t) ⇒ dx = u'(t)dt.

Đổi cận: Công thức tích phân | Toán lớp 12

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t.

Vậy:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

1.2. Phương pháp đổi biến dạng 2

Định lí

Nếu hàm số u = u(x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho f(x)dx = g(u(x))u'(x)dx = g(u)du thì:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Phương pháp chung

Bước 1: Đặt u = u(x) ⇒ du = u’(x)dx

Bước 2: Đổi cận: Công thức tích phân | Toán lớp 12

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u.

Vậy:

Công thức tích phân | Toán lớp 12
Quảng cáo

2. Phương pháp tích phân từng phần

a. Định lí

Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

b. Phương pháp chung

Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv = u.v’dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv = v'(x)dx

Bước 2: Tính du = u'dx và v = ∫dv = ∫v'(x)dx

Bước 3: Tính Công thức tích phân | Toán lớp 12

* Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.

Công thức tích phân | Toán lớp 12

III. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản

3.1. Tích phân hàm hữu tỉ

Dạng 1

Công thức tích phân | Toán lớp 12

(với a ≠ 0)

Chú ý: Nếu

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Dạng 2

Công thức tích phân | Toán lớp 12

(ax2 + bx + c ≠ 0 với mọi x ∈ [α;β])

Xét Δ = b2 - 4ac.

• Nếu Δ > 0 thì Công thức tích phân | Toán lớp 12

Công thức tích phân | Toán lớp 12

thì:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

• Nếu Δ = 0 thì:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

thì:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

• Nếu Δ < 0 thì:

Công thức tích phân | Toán lớp 12 Công thức tích phân | Toán lớp 12

Dạng 3

Công thức tích phân | Toán lớp 12

(trong đó Công thức tích phân | Toán lớp 12 liên tục trên đoạn [α;β])

• Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

• Ta có:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Tích phân:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Tích phân: Công thức tích phân | Toán lớp 12 thuộc dạng 2.

Dạng 4

Công thức tích phân | Toán lớp 12 với P(x) và Q(x) là đa thức của x.

• Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.

• Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:

• Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn α1, α2, α3 ... thì đặt

Công thức tích phân | Toán lớp 12

• Khi Q(x) có nghiệm đơn và vô nghiệm:

Q(x) = (x - α)(x2 + px + q), Δ = p2 - 4q < 0 thì đặt:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

• Khi Q(x) có nghiệm bội:

Q(x) = (x - α)(x - β)2 với α ≠ β thì đặt:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Q(x) = (x - α)2(x - β)3 với α ≠ β thì đặt:

Công thức tích phân | Toán lớp 12
Quảng cáo

3.2. Tích phân hàm vô tỉ

Công thức tích phân | Toán lớp 12 - trong đó R(x; f(x)) có dạng:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Dạng 1

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Khi đó ta có:

• Nếu Δ < 0, a > 0 ⇒ f(x) = a(u2 + k2)

Công thức tích phân | Toán lớp 12

• Nếu: Δ = 0

Công thức tích phân | Toán lớp 12

• Nếu: Δ > 0

    Với a > 0: f(x) = a(x - x1)(x - x2)

Công thức tích phân | Toán lớp 12

    Với a < 0: f(x) = -a(x1 - x)(x2 - x)

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Căn cứ vào phân tích trên, ta có một số cách giải sau:

Phương pháp:

* Trường hợp: Δ < 0, a > 0 ⇒ f(x) = a(u2 + k2)

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Khi đó đặt:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

* Trường hợp: Δ = 0

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Khi đó:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

* Trường hợp: Δ > 0, a > 0. Đặt:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

* Trường hợp: Δ > 0, a < 0. Đặt:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Dạng 2

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Phương pháp:

Bước 1:

Phân tích:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Bước 2:

Quy đồng mẫu số, sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A, B

Bước 3:

Giải hệ tìm A, B thay vào (1)

Bước 4:

Tính:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Trong đó Công thức tích phân | Toán lớp 12 đã biết cách tính ở trên.

Dạng 3

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Phương pháp:

Bước 1:

Phân tích:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Bước 2:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Bước 3:

Thay tất cả vào (1) thì I có dạng:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Tích phân này chúng ta đã biết cách tính.

Dạng 4

Công thức tích phân | Toán lớp 12

(Trong đó: R(x,y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x, y và α, β, γ, δ là các hằng số đã biết)

Phương pháp:

Bước 1:

Đặt: Công thức tích phân | Toán lớp 12

Bước 2:

Tính x theo t: Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x = φ(t).

Bước 3:

Tính vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt và đổi cận.

Bước 4:

Tính: Công thức tích phân | Toán lớp 12

Quảng cáo

3.3. Tích phân hàm lượng giác

3.3.1. Một số công thức lượng giác

* Công thức cộng

Công thức tích phân | Toán lớp 12

* Công thức nhân đôi

Công thức tích phân | Toán lớp 12

* Công thức hạ bậc

Công thức tích phân | Toán lớp 12

* Công thức tính theo t

Công thức tích phân | Toán lớp 12

* Công thức biến đổi tích thành tổng

Công thức tích phân | Toán lớp 12

* Công thức biến đổi tổng thành tích

Công thức tích phân | Toán lớp 12

* Công thức thường dùng:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Hệ quả:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

3.3.2. Một số dạng tích phân lượng giác

• Nếu gặp dạng Công thức tích phân | Toán lớp 12 ta đặt t = sinx.

• Nếu gặp dạng Công thức tích phân | Toán lớp 12 ta đặt t = cosx.

• Nếu gặp dạng Công thức tích phân | Toán lớp 12 ta đặt t = tanx.

• Nếu gặp dạng Công thức tích phân | Toán lớp 12 ta đặt t = cotx.

Dạng 1

I1 = ∫(sinx)n dx; I2 = ∫(cosx)n dx

* Phương pháp

• Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc.

• Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi.

• Nếu n lẻ (n = 2p + 1) thì thực hiện biến đổi:

Công thức tích phân | Toán lớp 12 Công thức tích phân | Toán lớp 12

Dạng 2

I = ∫sinmx.cosnx dx (m, n ∈ N)

* Phương pháp

• Trường hợp 1: m, n là các số nguyên

a. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

b. Nếu m chẵn, n lẻ (n = 2p + 1) thì biến đổi:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

c. Nếu m lẻ (m = 2p + 1), n chẵn thì biến đổi:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Dạng 3

I1 = ∫(tanx)n dx; I2 = ∫(cotx)n dx (n ∈ N)

Công thức tích phân | Toán lớp 12

IV. Ứng dụng tích phân

1. Diện tích hình phẳng

a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định: Công thức tích phân | Toán lớp 12

Công thức tích phân | Toán lớp 12

b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định: Công thức tích phân | Toán lớp 12

Công thức tích phân | Toán lớp 12

- Nếu trên đoạn [a;b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: Công thức tích phân | Toán lớp 12

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y),x = h(y) và hai đường thẳng y = c; y = d được xác định:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

a. Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm a (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Thể tích của B là:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

b. Thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số y = f(x) liên tục; không âm trên [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục Ox tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích của nó là:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục tung và hai đường thẳng y = c; y = d quay quanh trục Oy là:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x) và hai đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục Ox:

Công thức tích phân | Toán lớp 12

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12