Tính tích phân hàm chứa căn thức bằng phương pháp đổi biến số

Bài viết Tính tích phân hàm chứa căn thức bằng phương pháp đổi biến số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính tích phân hàm chứa căn thức bằng phương pháp đổi biến số.

Tính tích phân hàm chứa căn thức bằng phương pháp đổi biến số

Bài giảng: Cách tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

+ Phương pháp đổi biến số loại 1

Cho hàm số y = f[u(x)] liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b]; hàm số y = f(u) liên tục sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định. Khi đó, ta có:

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

+ Phương pháp đổi biến số dạng 2

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α) = a; φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α;β]. Khi đó:

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân thì nên đổi biến dạng 1.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 2. Giá trị của được viết dưới dạng phân số tối giản a/b (a; b là các số nguyên dương). Khi đó giá trị của a - 7b bằng:

A. 2.     B. 1.     C. 0.     D. -3.

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 3. Cho tích phân

Đặt ta được (với m, n ∈ Z). Tính T = m + n.

A. T = 1.     B. T = 2.     C. T = -1.     D. T = 3.

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 4. Tính

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 5. Tính

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 6. Tính

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 7. Tính

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 8. Tính

A. 4.     B. 5.     C. 6.     D. 8.

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 9. Tính

A. -12.     B. -8.     C. 10.     D. 16.

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 10. Tính

A. 1 - √2.

B. √2 + 2.

C. 4√2 - 10.

D. √2.

Lời giải

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính

Lời giải:

Chọn C.

Câu 2: Tính

Lời giải:

Chọn A.

Câu 3: Tính

Lời giải:

Chọn C.

Câu 4: Tìm

A. 3.     B. √3 - 1.     C. 1 + √5.     D. 2√6 - 3.

Lời giải:

Chọn B.

Câu 5: Tính

Lời giải:

Chọn D.

Câu 6: Tính

A. 2√3 - 2√2.

B. 3√2 - 2.

C. √5 - 2√2.

D. √5 - 2√3.

Lời giải:

Chọn A.

Câu 7: Tính

Lời giải:

Chọn D.

Câu 8: Tính

Lời giải:

Câu 9: Tính

Lời giải:

Chọn C.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Chọn B.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Chọn A.

Câu 12: Tính

Lời giải:

Chọn D.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính tích phân I = ${\int }_0^{1}x\sqrt{x^2+4}dx$.

Bài 2. Tính tích phân I = ${\int }_{-1}^{0}x\sqrt[3]{x+1}dx$.

Bài 3. Tính tích phân I = ${\int }_1^5\frac{x^2+1}{x\sqrt{3x+1}}dx$.

Bài 4. Tính tích phân I = ${\int }_0^3\frac{2x^2+x-1}{\sqrt{x+1}}dx$.

Bài 5. Tính tích phân I = ${\int }_0^4\frac{x+1}{{\left(1+\sqrt{1+2x}\right)}^2}dx$.

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Công thức tích phân
• Bài tập về tính chất của tích phân
• Bài tập tính tích phân cơ bản
• Tính tích phân hàm đa thức, phân thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tính tích phân hàm lượng giác bằng phương pháp đổi biến số
• Tính tích phân hàm số mũ, logarit bằng phương pháp đổi biến số
• Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 2

---