Cách giải bài tập tích phân nâng cao (cực hay)

Bài viết Cách giải bài tập tích phân nâng cao với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập tích phân nâng cao.

Cách giải bài tập tích phân nâng cao (cực hay)

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

+ Phương pháp đổi biến số loại 1

Cho hàm số y = f[u(x)] liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b]; hàm số y = f(u) liên tục sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định. Khi đó, ta có:

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

+ Phương pháp đổi biến số dạng 2

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α) = a; φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α;β]. Khi đó:

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân thì nên đổi biến dạng 1.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho

với a, b, c ∈ N. Tính T = a + b + c.

A. T = 13.     B. T = 5.     C. T = 17.     D. T = 11.

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho

với a, b, c ∈ N. Tính T = a + b + c.

A. 13.     B. 15.     C. 10.     D. 11.

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 3. Cho

với a, b, c ∈ N. Tính T = abc.

A. –18.     B. 16.     C. 18.     D. -16.

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 4. Cho y = f(x) là hàm liên tục và a > 0. Giả sử rằng với mọi x ∈ [0;a], ta có f(x) > 0 và f(x).f(a - x) = 1.

Tính

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 5. Cho f(x) là hàm liên tục trên [0;1]. Giả sử rằng với mọi x ∈ [0;1], ta có f(x) > 0 và f(x).f(1 - x) = 4.

Tính

A. 1.     B. 2.     C. 1/2.     D. 1/4.

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 6. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn và 3f(-x) - 2f(x) = tan²x.

Tính

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 7. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(-x) + 2018f(x) = xsinx.

Tính

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 8. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và thỏa mãn:

Tính

A. I = -1.     B. I = 1.     C. I = -2.     D. I = 2.

Lời giải

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng

thỏa mãn

và f(e²) = 3.

Tính giá trị của biểu thức

A. 3(ln2 + 1).

B. 2ln2.

C. 3ln2 + 1.

D. ln2 + 3.

Lời giải:

Chọn A.

Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm là hàm số y = f'(x) với đồ thị như hình vẽ bên dưới. Biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Khi đó đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là:

A. -4.     B. 1.     C. 2.     D. 5.

Lời giải:

Chọn A.

Câu 3: Cho y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên R biết đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm .

Tính .

A. I = 10.     B. I = -2.     C. I = 1.     D. I = -1.

Lời giải:

Chọn B.

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn điều kiện:

Tính tích phân

Lời giải:

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) liên tục với mọi x ≠ 1 thỏa mãn:

Tính

A. I = 4e - 1.

B. I = e + 2.

C. I = 4e - 2.

D. I = e +3.

Lời giải:

Chọn C.

Câu 6: Cho tích phân .

Tính tích phân

A. K = -8.     B. K = 4.     C. K = 8.     D. K = 16.

Lời giải:

Chọn C.

Câu 7: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R, thỏa mãn

Tính

A. I = 1.     B. I = -1.     C. I = π/4.     D. -π/4.

Lời giải:

Chọn A.

Câu 8: Cho hàm số y = f(x) liên tục và thỏa mãn:

Tính

Lời giải:

Chọn B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Tính tích phân hàm lượng giác bằng phương pháp tích phân từng phần
• Tính tích phân hàm số mũ, logarit bằng phương pháp tích phân từng phần
• Tính tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ
• Hàm số dưới dấu tích phân là thương của hàm chẵn và hàm mũ
• Tích phân của hàm trị tuyệt đối
• Bài tập tích phân nâng cao
• Ứng dụng tích phân: Tính diện tích hình phẳng
• Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay

---