Bài tập tính tích phân nâng cao - Toán lớp 12

Bài tập tính tích phân nâng cao

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Phương pháp đổi biến số loại 1

Cho hàm số y = f[u(x)] liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b]; hàm số y = f(u) liên tục sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định. Khi đó, ta có:

Tính tích phân hàm đa thức, phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

Tính tích phân hàm đa thức, phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12 Tính tích phân hàm đa thức, phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

+ Phương pháp đổi biến số dạng 2

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α) = a; φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α;β]. Khi đó:

Tính tích phân hàm đa thức, phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:

Tính tích phân hàm đa thức, phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân Tính tích phân hàm đa thức, phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12 thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân Tính tích phân hàm đa thức, phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12 thì nên đổi biến dạng 1.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

với a, b, c ∈ N. Tính T = a + b + c.

A. T = 13.     B. T = 5.     C. T = 17.     D. T = 11.

Lời giải

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

với a, b, c ∈ N. Tính T = a + b + c.

A. 13.     B. 15.     C. 10.     D. 11.

Lời giải

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Chọn C.

Ví dụ 3. Cho

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

với a, b, c ∈ N. Tính T = abc.

A. –18.     B. 16.     C. 18.     D. -16.

Lời giải

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 4. Cho y = f(x) là hàm liên tục và a > 0. Giả sử rằng với mọi x ∈ [0;a], ta có f(x) > 0 và f(x).f(a - x) = 1.

Tính Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Lời giải

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Chọn D.

Ví dụ 5. Cho f(x) là hàm liên tục trên [0;1]. Giả sử rằng với mọi x ∈ [0;1], ta có f(x) > 0 và f(x).f(1 - x) = 4.

Tính Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

A. 1.     B. 2.     C. 1/2.     D. 1/4.

Lời giải

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Chọn D.

Ví dụ 6. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12 và 3f(-x) - 2f(x) = tan2x.

Tính Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Lời giải

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Chọn D.

Ví dụ 7. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(-x) + 2018f(x) = xsinx.

Tính Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Lời giải

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 8. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và thỏa mãn:

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Tính Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

A. I = -1.     B. I = 1.     C. I = -2.     D. I = 2.

Lời giải

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12 Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

thỏa mãn Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

và f(e2) = 3.

Tính giá trị của biểu thức Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

A. 3(ln2 + 1).

B. 2ln2.

C. 3ln2 + 1.

D. ln2 + 3.

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 2: Cho hàm số Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12 có đạo hàm là hàm số y = f'(x) với đồ thị như hình vẽ bên dưới. Biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Khi đó đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là:

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

A. -4.     B. 1.     C. 2.     D. 5.

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Chọn A.

Quảng cáo

Câu 3: Cho y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên R biết đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12.

Tính Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12.

A. I = 10.     B. I = -2.     C. I = 1.     D. I = -1.

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Chọn B.

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn điều kiện:

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Tính tích phân Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12
Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12 Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) liên tục với mọi x ≠ 1 thỏa mãn:

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Tính Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

A. I = 4e - 1.

B. I = e + 2.

C. I = 4e - 2.

D. I = e +3.

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 6: Cho tích phân Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12.

Tính tích phân Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

A. K = -8.     B. K = 4.     C. K = 8.     D. K = 16.

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 7: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R, thỏa mãn Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Tính Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

A. I = 1.     B. I = -1.     C. I = π/4.     D. -π/4.

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 8: Cho hàm số y = f(x) liên tục và thỏa mãn:

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Tính Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12
Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12 Bài tập tính tích phân nâng cao | Toán lớp 12

Chọn B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12