Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng

Bài viết Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng.

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định:

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f₁(x); y = f₂(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định:

* Những điểm cần lưu ý:

    1. Nếu trên đoạn [a;b], hàm số y = f(x) không đổi dấu thì:

    2. Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.

    3. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y); x = h(y) và hai đường thẳng y = c; y = d được xác định:

Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) ; y = g(x); x = a; x = b là:

Phương pháp giải toán:

    +) Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: f(x) = g(x) (1)

    +) Nếu (1) vô nghiệm thì:

    +) Nếu (1) có nghiệm α thuộc [a;b] thì:

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f(x) – g(x) trên đoạn [a;b] rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân.

Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x) là:

Trong đó α; β là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x) = g(x) (a ≤ α ≤ β ≤ b)

Phương pháp giải toán

    Bước 1. Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) tìm các giá trị α; β.

    Bước 2. Tính như trường hợp 1.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là:

Lời giải

Ví dụ 2. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x³, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 3 là:

A. 19.     B. 18.     C. 20.     D. 21.

Lời giải

Ví dụ 3. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 4 là:

Lời giải

Ví dụ 4. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 8 là:

Lời giải

Ví dụ 5. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng là:

A. 1.     B. 1/2.     C. 2.     D. 3/2.

Lời giải

Ví dụ 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -x² + 4, trục tung và trục hoành là:

Lời giải

Ví dụ 7. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (C₁): y = x³ + 11x - 6; (C₂): y = 6x²; x = 0; x = 2 (Đơn vị diện tích)

Lời giải

Ví dụ 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x³; y = 4x là:

A. 8.     B. 9.     C. 12.     D. 13.

Lời giải

Ví dụ 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x⁴ - 3x² - 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 3 là:

Lời giải

Ví dụ 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos2x, trục hoành và hai đường thẳng là:

A. 2.     B. 1.     C. 3.     D. 4.

Lời giải

Ví dụ 11. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x³ - 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = -3; x = 4 là:

Lời giải

Ví dụ 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) y = xlnx, trục hoành và đường thẳng x = e là:

Lời giải

Ví dụ 13. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x² + x - 2; y = x + 2 và hai đường thẳng x = -2; x = 3. Diện tích của (H) bằng:

Lời giải

Ví dụ 14. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = (1 + e^x).x; y = (1 + e)x. Diện tích của (H) bằng:

Lời giải

Ví dụ 15. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = |x² - 1|; y = |x| + 5. Diện tích của (H) bằng:

Lời giải

Ví dụ 16. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x² + 3, tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục tung bằng:

Lời giải

Ví dụ 17. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y² – 2y + x = 0 và x + y = 0 là:

Lời giải

Ví dụ 18. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số bằng:

A. 27ln2.     B. 27ln3.     C. 28ln3.     D. 29ln3.

Lời giải

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = tanx, trục hoành và hai đường thẳng là:

Lời giải:

Câu 2: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^2x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1 là:

Lời giải:

Câu 3: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x³ - 3x², trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 4 là:

Lời giải:

Câu 4: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng x = 2 là:

A. 3 + 2ln2.     B. 3 - ln2.     C. 3 - 2ln2.     D. 3 + ln2.

Lời giải:

Câu 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 - x² và đường thẳng y = -x là:

Lời giải:

Câu 6: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2x³ - 3x² + 1 và y = x³ - 4x² + 2x + 1 là:

Lời giải:

Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol là:

A. 7.     B. 8.     C. 9.     D. 6.

Lời giải:

Câu 8: Diện tích giới hạn bởi 2 đường cong: (C₁): y = x² + 1; (C₂): y = x² - 2x và đường thẳng x = -1 và x = 2.

Lời giải:

Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: y = x² - 2x + 2 tiếp tuyến với parabol tại điểm M(3;5) và trục tung:

A. 7.     B. 6.     C. 5.     D. 9.

Lời giải:

Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x(x – 1)(x – 2) và trục hoành:

Lời giải:

Câu 11: Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là:

Lời giải:

Câu 12: Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y = 8x; y = x và đồ thị hàm số y = x³ là a/b. Khi đó a + b bằng:

A. 68.    B. 67.    C. 66.     D. 65.

Lời giải:

Câu 13: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1; y = x và đồ thị hàm số trong miền x ≥ 0; y ≤ 1 là a/b. Khi đó b – a bằng:

A. 4.     B. 2.     C. 3.     D. 1.

Lời giải:

Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng

Khi đó a + 2b bằng:

A. 16.     B. 15.     C. 17.     D. 18.

Lời giải:

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Bài tập tính tích phân nâng cao
• Tính tích phân hàm lượng giác bằng phương pháp tích phân từng phần
• Tính tích phân hàm số mũ, logarit bằng phương pháp tích phân từng phần
• Tính tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ
• Hàm số dưới dấu tích phân là thương của hàm chẵn và hàm mũ
• Tích phân của hàm trị tuyệt đối
• Bài tập tích phân nâng cao
• Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay

---